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Drehung

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Abbildungen Im Koordinatensystem: Drehung
Abbildungen Im Koordinatensystem: Drehung
Wird ein Punkt $P(x\,\mid\,y)$ um den Koordinatenursprung $O(0\,\mid\,0)$ um den Winkel $\alpha$ auf seinen Bildpunkt $P'$ gedreht, so schreibt man $P\xrightarrow{O(0\,\mid\,0);\;\alpha}P'$.
Bei dieser Abbildung durch Drehung um den Koordinatenursprung gelten folgende Abbildungsgleichungen:
$\begin{array}[t]{lrll} &x'&=&x\cdot\cos\alpha-y\cdot\sin\alpha \\[5pt] &\wedge&=&x\cdot\sin\alpha+y\cdot\cos\alpha \end{array}$
$\dbinom{x'}{y'}=\biggl(\;\begin{matrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{matrix}\;\biggr)\odot\dbinom{x}{y}$.
Dabei wird der Winkel $\alpha$ immer in Richtung des mathematisch positiven Sinns, also entgegen dem Uhrzeigersinn gesehen.
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1.  Es gilt $P\xrightarrow{O(0\,\mid\,0);\;\alpha}P'$. Gib zu den angegebenen Winkelmaßen $\alpha$ die zugehörige Abbildungs- vorschrift in Matrixform an.
a)   $\alpha=30°$
b)   $\alpha=60°$
c)   $\alpha=270°$
d)   $\alpha=90°$
e)   $\alpha=180°$
2.  Es gilt $P\xrightarrow{O(0\,\mid\,0);\;\alpha}P'$. Berechne von den Größen $P\,(x\,\mid\,y)$, $P'\,(x'\,\mid\,y')$ und $\alpha$ die jeweils fehlenden.
(Hinweis bei fehlendem $P$ oder $\alpha$: Denke daran, wie du zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten in Klasse 9 gelöst hast!
a)   $P\,(2\,\mid\,4);\;\alpha=75°$
b)   $P\,(5\,\mid\,-3);\;\alpha=90°$
c)   $P\,(2\,\mid\,8);\;\alpha=-60°$
d)   $P'\,(-4\,\mid\,1);\;\alpha=135°$
e)   $P'\,(-1\,\mid-3);\;\alpha=180°$
f)   $P\,(2\,\mid\,4);\;\alpha=53,13°$
g)   $P\,(5\,\mid\,1);\;P'(2,83\,\mid\,4,24)$
h)   $P\,(4\,\mid-3);\;P'(2,26\,\mid\,4,46)$
i)   $P\,(3\,\mid\,2);\;P'(3,23\,\mid-1,60)$
3.  Auch die Punktspiegelung am Koordinatenursprung $O\,(0\,\mid\,0)$ kann als Drehung um diesen Punkt gesehen werden.
Um welches Winkelmaß muss man einen Punkt um $O$ drehen, damit die Drehung der Punktspiegelung an $O$ entspricht?
Gib für diese besondere Drehung (Punktspiegelung) die Abbildungsvorschrift an.
4.  Um die Gerade $g$: $y=0,5x+1$ um das Winkelmaß $\alpha=53,13°$ um den Ursprung drehen zu können, bildet man die Punkte $P_n\,(x\,\mid\,0,5x+1)$ auf $g$ auf ihre Bildpunkte $P_n'(x'\,\mid\,y')$ ab. Die Bildpunkte werden in Abhängigkeit von der $x$–Koordinate der Punkte $P_n$ angegeben. Die Gerade, auf der alle Bildpunkte $P_n'$ liegen, ist die Bildgerade von $g$.
Mit $P_n(x\,\mid\,0,5x+1)$ und $\alpha=53,13°$ folgt durch Einsetzen in die Abbildungsgleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \dbinom{x'}{y'}&=&\biggl(\;\begin{matrix} \cos53,13°&-\sin53,13°\\\sin53,13°&\cos53,13°\end{matrix}\;\biggr)\odot\dbinom{x}{0,5x+1} \\[5pt] &=&\biggl(\;\begin{matrix}0,6&-0,8\\0,8&0,6\end{matrix}\;\biggr)\odot\dbinom{x}{0,5x+1} \end{array}$
Für die Punkte $P_n'\,(x'\,\mid\,y')$ heißt das:
$\begin{array}[t]{lrll} &x'&=&0,6x-0,8(0,5x+1) \\[5pt] \wedge&y'&=&0,8x+0,6(0,5x+1) \end{array}$
bzw.
$\begin{array}[t]{lrll} &x'&=&0,2x-0,8 \\[5pt] \wedge&y'&=&1,1x+0,6 \end{array}$
Die Bildpunkte haben also die Koordinaten $P_n'\,(0,2x-0,8\,\mid\,1,1x+0,6)$.
Zeige damit, dass die Bildgerade die Gleichung $g'$: $y=5,5x+5$ besitzt.
Stelle für die nachfolgenden Funktionen die Bildpunkte $P_n'$ in Abhängigkeit von der $x$–Koordinate der Punkte $P_n$ dar und berechne die Gleichung der Bildfunktion.
a)  $g$: $y=2x-3$; $\alpha=-60°$
b)   $g$: $y=x-3$; $\alpha=30°$
c)   $g$: $y=\sqrt{2}\cdot x+1$; $\alpha=45°$
d)   $g$: $y=-0,5x-3$; $\alpha=90°$
e)   $f$: $y=2^x+1$; $\alpha=90°$
f)   $f$: $y=\log_5(x+7)$; $\alpha=180°$
5.  Nicht alle Funktionen können durch Drehung wieder auf Funktionen abgebildet werden.
a)  Erstelle eine Wertetabelle und zeichne die Graphen der Funktionen $f$: $y=x^2+6x+9$ und $g$: $y=\log_2(x+8)+1$ in jeweils ein Koordinatensystem.
(Für $f$: $-6\leq x\leq 6$ und $-1\leq y\leq7$; für $g$: $-9\leq x\leq6$ und $-3\leq y\leq9$)
b)  Drehe die Graphen um jeweils $\alpha=-90°$ und zeichne die entstehenden Bildgraphen. Werden die Bildgraphen jeweils durch eine Funktion beschrieben? Wenn ja, berechne die Gleichung der Bildfunktion.
c)  Um welchen Typ handelt es sich bei der Vorschrift des Bildgraphen, der nicht wieder durch eine Funktion beschrieben wird?
Ist es möglich, diesen Bildgraphen eventuell durch mehrere Funktionen darzustellen? Wenn ja, gib ihre Gleichungen an.
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Lösungen
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1. 
a)   Mit $\sin30°=0,5$ und $\cos30°=0,5\sqrt{3}$ ergibt sich:
$\dbinom{x'}{y'}=\biggl(\;\begin{matrix}\frac{1}{2}\sqrt{3}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\sqrt{3}\end{matrix}\;\biggr)\odot\dbinom{x}{y}$.
b)   Es gilt $\sin60°=0,5\sqrt{3}$ und $\cos60°=0,5$ und damit:
$\dbinom{x'}{y'}=\biggl(\;\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{3}\\\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\;\biggr)\odot\dbinom{x}{y}$.
c)   Mit $\sin270°=-1$ und $\cos270°=0$ erhält man:
$\dbinom{x'}{y'}=\biggl(\;\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}\;\biggr)\odot\dbinom{x}{y}$.
d)   Es ist $\sin90°=1$ und $\cos90°=0$ und damit:
$\dbinom{x'}{y'}=\biggl(\;\begin{matrix}0&-1\\1&0\end{matrix}\;\biggr)\odot\dbinom{x}{y}$.
e)   Mit $\sin180°=0$ und $\cos180°=-1$ ergibt sich letztlich:
$\dbinom{x'}{y'}=\biggl(\;\begin{matrix}-1&0\\0&-1\end{matrix}\;\biggr)\odot\dbinom{x}{y}$.
2.  
a)   Die Koordinaten von $P'$ erhalten wir durch Einsetzen in die Abbildungsgleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \dbinom{x'}{y'}&=&\biggl(\;\begin{matrix}\cos75°&-\sin75°\\\sin75°&\cos75°\end{matrix}\;\biggr)\odot\dbinom{2}{4} \\[5pt] &=&\dbinom{0,26\cdot2-0,97\cdot4}{0,97\cdot2+0,26\cdot4}\\[5pt] &=&\dbinom{-3,36}{2,98} \end{array}$
also $P'(-3,36\,\mid\,2,98)$.
b)   Die Koordinaten von $P'$ erhalten wir durch Einsetzen in die Abbildungsgleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \dbinom{x'}{y'}&=& \biggl(\;\begin{matrix}\cos90°&-\sin90°\\\sin90°&\cos90°\end{matrix}\;\biggr)\odot\dbinom{5}{-3}\\[5pt] &=&\dbinom{0\cdot5-1\cdot(-3)}{1\cdot5+0\cdot(-3)}\\[5pt] &=&\dbinom{3}{5} \end{array}$
also $P'(3\,\mid\,5)$.
c)   Die Koordinaten von $P'$ erhalten wir durch Einsetzen in die Abbildungsgleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \dbinom{x'}{y'}&=&\biggl(\;\begin{matrix}\cos(-60°)&-\sin(-60°)\\\sin(-60°)&\cos(-60°)\end{matrix}\;\biggr)\odot\dbinom{2}{8} \\[5pt] &=&\dbinom{0,5\cdot2+0,87\cdot8}{-0,87\cdot2+0,5\cdot8}\\[5pt] &=&\dbinom{7,96}{2,26} \end{array}$
also $P'(7,96\,\mid\,2,26)$.
d)   Mit $x'=-4$, $y'=1$, $\sin135°=0,71$ und $\cos135°=-0,71$ erhalten wir zunächst:
$\begin{array}[t]{lrll} &-4&=&-0,71x-0,71y \\[5pt] \wedge&1&=&0,71x-0,71y \end{array}$
Löst man die erste Gleichung nach $y$ auf, so erhält man $y=5,63-x$. Für die zweite Gleichung ergibt sich entsprechend $y=x-1,41$. Gleichsetzen ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} 5,63-x&=&x-1,41 \quad \scriptsize \mid\; +x;\ +1,41\\[5pt] 2x&=&7,04 \quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] x&=&3,52 \end{array}$
Wird dieser Wert in eine der ersten Gleichungen eingesetzt, so ergibt sich $y=2,11$.
Der ursprüngliche Punkt war $P(3,52\,\mid\,2,11)$.
e)   Mit $x'=-1$, $y'=-3$, $\sin180°=0$ und $\cos180°=-1$ erhalten wir zunächst:
$\begin{array}[t]{lrll} &-1&=&-x \\[5pt] \wedge&-3&=&-y \end{array}$
Es ergibt sich sofort $x=1$ und $y=3$. Der ursprüngliche Punkt hieß $P(1\,\mid\,3)$.
f)   Mit $x'=2$, $y'=4$, $\sin53,13°=0,8$ und $\cos53,13°=0,6$ erhalten wir zunächst:
$\begin{array}[t]{lrll} &2&=& 0,6x-0,8y \\[5pt] \wedge&4&=&0,8x+0,6y \end{array}$
Löst man die erste Gleichung nach $y$ auf, so erhält man $y=0,75x-2,5$. Für die zweite Gleichung ergibt sich entsprechend $y=6,67-1,33x$. Gleichsetzen ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} 0,75x-2,5&=&6,67-1,33x \quad \scriptsize \mid\; +1,33x;\ +2,5\\[5pt] 2,08x&=&9,17 \quad \scriptsize \mid\; :2,08\\[5pt] x&=&4,41 \end{array}$
Wird dieser Wert in eine der ersten Gleichungen eingesetzt, so ergibt sich $y=0,81$.
Der ursprüngliche Punkt war $P(4,41\,\mid\,0,81)$.
g)   Wir setzen zunächst die Koordinaten von $P$ und $P'$ in die Abbildungsgleichung ein:
$\begin{array}[t]{lrll} &2,83&=&5\cos\alpha-\sin\alpha \\[5pt] \wedge&4,24&=&5\sin\alpha+\cos\alpha \end{array}$
Aus der ersten Gleichung folgt $\sin\alpha=5\cos\alpha-2,83$, aus der zweiten Gleichung $\sin\alpha=0,85-0,2\cos\alpha$. Gleichsetzen ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} 5\cos\alpha-2,83&=&0,85-0,2\cos\alpha \quad \scriptsize \mid\; +0,2\cos\alpha;\ +2,83\\[5pt] 5,2\cos\alpha&=&3,68 \quad \scriptsize \mid\; :5,2\\[5pt] \cos\alpha&=&0,71\\[5pt] \alpha&=&44,77° \end{array}$
Daraus folgt letztlich $\alpha=44,77°$.
h)   Einsetzen der Koordinaten von $P$ und $P'$ in die Abbildungsgleichung ergibt:
$\begin{array}[t]{lrll} &2,26&=&4\cos\alpha+3\sin\alpha \\[5pt] \wedge&4,46&=&4\sin\alpha-3\cos\alpha \end{array}$
Aus der ersten Gleichung folgt $\sin\alpha=0,75-1,33\cos\alpha$, aus der zweiten Gleichung $\sin\alpha=1,12+0,75\cos\alpha$. Gleichsetzen ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} 0,75-1,33\cos\alpha&=&1,12+0,75\cos\alpha \quad \scriptsize \mid\; +1,33\cos\alpha;\ -1,12\\[5pt] 2,08\cos\alpha&=&-0,37 \quad \scriptsize \mid\; :2,08\\[5pt] \cos\alpha&=&-0,18\\[5pt] \alpha&=&100,37° \end{array}$
Daraus folgt letztlich $\alpha=100,37°$.
i)   Wir setzen zunächst die Koordinaten von $P$ und $P'$ in die Abbildungsgleichung ein:
$\begin{array}[t]{lrll} &3,23&=&3\cos\alpha-2\sin\alpha \\[5pt] \wedge&-1,60&=&3\sin\alpha+2\cos\alpha \end{array}$
Aus der ersten Gleichung folgt $\sin\alpha=1,5\cos\alpha-1,62$, aus der zweiten Gleichung folgt $\sin\alpha=-0,67\cos\alpha-0,53$. Gleichsetzen ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} 1,5\cos\alpha-1,62&=&-0,67\cos\alpha-0,53 \quad \scriptsize \mid\; +0,67\cos\alpha;\ +1,62\\[5pt] 2,17\cos\alpha&=&1,09 \quad \scriptsize \mid\; :2,17\\[5pt] \cos\alpha&=&0,5\\[5pt] \alpha&=&60° \end{array}$
Daraus folgt letztlich $\alpha=60°$.
3.  Die Punktspiegelung entspricht der Drehung um $O$ um 180°. Die Abbildungsgleichung dazu lautet nach Aufgabe 1 e) $\dbinom{x'}{y'}=\biggl(\;\begin{matrix}-1&0\\0&-1\end{matrix}\;\biggr)\odot\dbinom{x}{y}$.
4.  Für die Koordinaten der Punkte $P_n'$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} &x'&=&0,2x-0,8\\[5pt] \wedge&y'&=&1,1x+0,6 \end{array}$
Aus der ersten Gleichung folgt $x=5x'+4$. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:
$y'=1,1(5x'+4)+0,6=5,5x'+4,4+0,6=5,5x'+5$.
Die Bildgerade hat also die Gleichung $g'$: $y=5,5x+5$.
a)  Mit $P_n(x\,\mid\,2x-3)$ und $\alpha=-60°$ folgt für die Bildpunkte $P_n'$:
$\begin{array}[t]{rll} \dbinom{x'}{y'}&=&\biggl(\;\begin{matrix}\cos(-60°)&-\sin(-60°)\\\sin(-60°)&\cos(-60°)\end{matrix}\;\biggr)\odot\dbinom{x}{2x-3} \\[5pt] &=&\biggl(\;\begin{matrix}0,5&0,87\\-0,87&0,5\end{matrix}\;\biggr)\odot\dbinom{x}{2x-3}\\[5pt] &=&\dbinom{0,5x+0,87(2x-3)}{-0,87x+0,5(2x-3)}\\[5pt] &=&\dbinom{2,24x-2,61}{0,13x-1,5} \end{array}$
Es gilt also $P_n'(2,24x-2,61\,\mid\,0,13x-1,5)$.
Aus der $x'$–Koordinate von $P_n'$ erhalten wir $x=0,45x'+1,17$. Einsetzen in $y'$ ergibt:
$y'=0,13(0,45x'+1,17)-1,5=0,06x'+0,15-1,5=0,06x'-1,35$.
Die Bildgerade hat die Gleichung $g'$: $y=0,06x-1,35$.
b)   Mit $P_n(x\,\mid\,x-3)$ und $\alpha=30°$ folgt für die Bildpunkte $P_n'$:
$\begin{array}[t]{rll} \dbinom{x'}{y'}&=&\biggl(\;\begin{matrix}\cos30°&-\sin30°\\\sin30°&\cos30°\end{matrix}\;\biggr)\odot\dbinom{x}{x-3}\\[5pt] &=&\biggl(\;\begin{matrix}0,87&-0,5\\0,5&0,87\end{matrix}\;\biggr)\odot\dbinom{x}{x-3}\\[5pt] &=&\dbinom{0,87x-0,5(x-3)}{0,5x+0,87(x-3)}\\[5pt] &=&\dbinom{0,37x+1,5}{1,37x-2,61} \end{array}$
Es gilt also $P_n'(0,37x+1,5\,\mid\,1,37x-2,61)$.
Aus der $x'$–Koordinate von $P_n'$ erhalten wir $x=2,7x'-4,05$. Einsetzen in $y'$ ergibt:
$y'=1,37(2,7x'+4,05)-2,61=3,7x'+5,55-2,61=3,7x'+2,94$.
Die Bildgerade hat die Gleichung $g'$: $y=3,7x+2,94$.
c)   Mit $P_n(x\,\mid\,\sqrt{2}x+1)$ und $\alpha=45°$ folgt für die Bildpunkte $P_n'$:
$\begin{array}[t]{rll} \dbinom{x'}{y'}&=&\biggl(\;\begin{matrix}\cos45°&-\sin45°\\\sin45°&\cos45°\end{matrix}\;\biggr)\odot\dbinom{x}{\sqrt{2}x+1} \\[5pt] &=&\biggl(\;\begin{matrix}0,71&-0,71\\0,71&0,71\end{matrix}\;\biggr)\odot\dbinom{x}{1,41x+1}\\[5pt] &=&\dbinom{0,71x-0,71(1,41x+1)}{0,71x+0,71(1,41x+1)}\\[5pt] &=&\dbinom{-0,29x-0,71}{1,71x-0,71} \end{array}$
Es gilt also $P_n'(-0,29x-0,71\,\mid\,1,71x-0,71)$.
Aus der $x'$–Koordinate von $P_n'$ erhalten wir $x=-3,45x'-2,45$. Einsetzen in $y'$ ergibt:
$y'=1,71(-3,45x'-2,45)-0,71=-5,9x'-4,19-0,71=-5,9x'-4,9$.
Die Bildgerade hat die Gleichung $g'$: $y=-5,9x-4,9$.
d)   Mit $P_n(x\,\mid-0,5x-3)$ und $\alpha=90°$ folgt für die Bildpunkte $P_n'$:
$\begin{array}[t]{rll} \dbinom{x'}{y'}&=&\biggl(\;\begin{matrix}\cos90°&-\sin90°\\\sin90°&\cos90°\end{matrix}\;\biggr)\odot\dbinom{x}{-0,5x-3} \\[5pt] &=&\biggl(\;\begin{matrix}0&-1\\1&0\end{matrix}\;\biggr)\odot\dbinom{x}{-0,5x-3}\\[5pt] &=&\dbinom{0,5x+3}{x} \end{array}$
Es gilt also $P_n'(0,5x+3\,\mid\,x)$.
Aus der $x'$–Koordinate von $P_n'$ erhalten wir $x=2x'-6$. Einsetzen in $y'$ ergibt:
$y'=x=2x'-6$.
Die Bildgerade hat die Gleichung $g'$: $y=2x-6$.
e)   Für die Punkte $P_n(x\,\mid\,2^x+1)$ gilt nach Drehung um $\alpha=90°$:
$\begin{array}[t]{rll} \dbinom{x'}{y'}&=& \biggl(\;\begin{matrix}0&-1\\1&0\end{matrix}\;\biggr)\odot\dbinom{x}{2^x+1} \\[5pt] &=&\dbinom{-2^x-1}{x} \end{array}$
Die Bildpunkte sind $P_n'(-2^x-1\,\mid\,x)$.
Für sie gilt $x'=-2^x-1\;\;\wedge\;\;y'=x$. Löst man $x'$ nach $x$ auf, so ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} x'&=&-2^x-1 \\[5pt] 2^x&=&-x'-1\\[5pt] x&=&\log_2(-x'-1) \end{array}$
Daraus folgt $y'=x=\log_2(-x'-1)$. Die Bildfunktion ist Gleichung $f'$: $y=\log_2(-x-1)$.
f)   Für die Punkte $P_n(x\,\mid\,\log_5(x+7))$ gilt nach Drehung um $\alpha=180°$:
$\begin{array}[t]{rll} \dbinom{x'}{y'}&=&\biggl(\;\begin{matrix}-1&0\\0&-1\end{matrix}\;\biggr)\odot\dbinom{x}{\log_5(x+7)} \\[5pt] &=&\dbinom{-x}{-\log_5(x+7)} \end{array}$
Die Bildpunkte sind $P_n'(-x\,\mid-\log_5(x+7))$.
Für sie gilt $x'=-x\;\;\wedge\;\;y'=-\log_5(x+7)$. Löst man $x'$ nach $x$ auf, so ergibt sich $x=-x'$.
Daraus folgt $y'=-\log_5(-x'+7)$. Die Bildfunktion ist $f'$: $y=-\log_5(-x+7)$.
5.  
a)  Für die Funktion $f$: $y=x^2+6x+9=(x+3)^2$ ist eine Wertetabelle nicht unbedingt notwendig: Scheitelpunkt der Normalparabel ist $S(-3\,\mid0)$, sie ist nach oben geöffnet.
$x$$-5,5$$-5$$-4$$-3$$-2$$-1$$-0,5$
$y$$6,25$$4$$1$$0$$1$$4$$6,25$
Abbildungen Im Koordinatensystem: Drehung
Abbildungen Im Koordinatensystem: Drehung
Für die Funktion $g$: $y=\log_2(x+8)+1$ ist folgende Wertetabelle nützlich:
$x$$-7,7$$-7,6$$-7$$-6$$-5$$-4$$-3$ $-2$$0$$2$$4$
$y$$-0,74$$-0,32$$1$$2$$2,58$$3$$3,32$ $3,58$$4$$4,32$$4,58$
Abbildungen Im Koordinatensystem: Drehung
Abbildungen Im Koordinatensystem: Drehung
b)  Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Das heißt, dass jedem $x$–Wert genau ein $y$–Wert zugeordnet wird.
An der Zeichnung von $f$ und $f'$ sieht man, dass das bei $f'$ nicht der Fall ist: An $x=1$ beispielsweise gibt es zwei $y$-Werte ($y=2$ und $y=4$). Die Funktion $f$ wird durch die Abbildung nicht wieder in eine Funktion überführt.
Der Graph der Bildfunktion $g'$ wird allerdings wieder durch eine Funktion beschrieben: Jedem $x$–Wert wird genau ein $y$–Wert zugeordnet.
Um die Gleichung zu $g'$ zu finden, werden von allen Punkten $P_n(x\,\mid\,\log_2(x+8)+1)$ auf $g$ die Bildpunkte ermittelt:
$\begin{array}[t]{rll} \dbinom{x'}{y'}&=&\biggl(\;\begin{matrix}\cos(-90°)&-\sin(-90°)\\\sin(-90°)&\cos(-90°)\end{matrix}\;\biggr)\odot\dbinom{x}{\log_2(x+8)+1} \\[5pt] &=&\biggl(\;\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}\;\biggr)\odot\dbinom{x}{\log_2(x+8)+1}\\[5pt] &=&\dbinom{\log_2(x+8)+1}{-x} \end{array}$
Die Bildpunkte sind also $P_n'(\log_2(x+8)+1\,\mid-x)$. Die $x'$–Koordinate wird nun nach $x$-aufgelöst, um die Gleichung der Bildfunktion $g'$ zu ermitteln:
$\begin{array}[t]{rll} x'&=&\log_2(x+8)+1 \\[5pt] x'-1&=&\log_2(x+8) \quad \scriptsize{\mid\; 2^{(…)}}\\[5pt] 2^{x'-1}&=&x+8\\[5pt] x&=&2^{x'-1}-8 \end{array}$
Daraus ergibt sich $y'=-x=-2^{x'-1}+8$.
Die Bildfunktion hat die Gleichung $y=-2^{x-1}+8$.
c)  Der Bildgraph $f'$ wird laut Teilaufgabe b) nicht durch eine Funktion beschrieben, weil einem $x$–Wert mehrere $y$–Werte zugeordnet sind. Man spricht in diesem Fall von einer Relation.
Du kannst den Bildgraphen zu $f'$ allerdings durch zwei Funktionen darstellen, wenn du den Graphen in den oberen und den unteren Teil aufteilst. Diese Teile werden jeweils durch einfache Wurzelfunktionen beschrieben, nämlich durch $f'_1$: $y=\sqrt{x}+3$ und $f_2'$: $y=-\sqrt{x}+3$.
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