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Parallelverschiebung

Spickzettel
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Wird ein Punkt $P(x\,|\,y)$ entlang eines bestimmten Vektors $\vec{v}=\dbinom{v_x}{v_y}$ auf seinen Bildpunkt $P'(x'\,|\,y')$ verschoben, spricht man von einer Parallelverschiebung des Punktes $P$ mit dem Vektor $\vec{v}$.
Wir schreiben dafür $P\xrightarrow{\vec{v}=\binom{v_x}{v_y}}P'$.
Die Abbildungsgleichung bei der Parallelverschiebung lautet:
$ \begin{array}{lrcl} &x'&=&x+v_x\\[5pt] \wedge\;\;&y'&=&y+v_y \end{array} $
bzw.
$\dbinom{x'}{y'}=\biggl(\;\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\;\biggr)\odot\dbinom{x}{y}\oplus\dbinom{v_x}{v_y}$.
Abbildungen Im Koordinatensystem: Parallelverschiebung
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1.   Es gilt $P\xrightarrow{\vec{v}=\binom{v_x}{v_y}}P'$. Gib $P$, $P'$ bzw. $\vec{v}$ an.
a)   $P\,(3\mid4)$; $\vec{v}=\dbinom{-10}{2}$
b)   $P\,(6\mid3)$; $P'(1\,|\,5)$
c)   $\,P'(-5\mid-3)$; $\vec{v}=\dbinom{-10}{-7}$
d)   $P\,(\sqrt{2}\mid4)$; $\vec{v}=\dbinom{\sqrt{2}}{-2}$
e)   $P\left(\frac{1}{2}\mid\frac{7}{8}\right)$; $\vec{v}=\dbinom{\frac{1}{3}}{\frac{9}{10}}$
f)   $P=P'$
2.  Durch die Parallelverschiebung lassen sich auch die Graphen ganzer Funktionen verschieben.
a)  Zeige, dass der Graph der allgemeinen Funktion $f$: $y=f(x)$ mit $x\in\mathbb{D}_f$ nach der Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v}=\dbinom{x_0}{y_0}$ durch die Gleichung $y=f(x-x_0)+y_0$ beschrieben wird.
b)  Beschreibe, was mit dem Graphen hierbei geschieht.
c)  Die Funktion $f$: $y=x^{-1}$ geht durch Parallelverschiebung mit $\vec{v}=\dbinom{4}{2}$ in die Funktion $f'$ über.
Gib nun mithilfe der obigen allgemeinen Beziehung die Gleichung von $f'$ an.
d)  Zeichne die Graphen von $f$ und $f'$ in ein Koordinatensystem.
(Platzbedarf: $-4\leq x\leq8$; $-4\leq y\leq 6$)
Zeichne auch die Asymptoten der Graphen ein.
Gib Definitionsmenge, Wertemenge und die Gleichungen der Asymptoten der Graphen zu $f$ bzw. $f'$ an.
3.  Es gilt $f\xrightarrow{\vec{v}=\binom{v_x}{v_y}}f'$. Gib die Gleichung von $f'$ sowie, falls vorhanden, die Gleichungen sämtlicher Asymptoten von $f'$ an.
a)  $f$: $y=x^2$; $\vec{v}=\dbinom{4}{-2}$
b)   $f$: $y=\log_2(x)$; $\vec{v}=\dbinom{-5}{1}$
c)   $f$: $y=2^x$; $\vec{v}=\dbinom{1}{-4}$
d)   $f$: $y=2x+1$; $\vec{v}=\dbinom{2}{-3}$
e)   $f$: $y=2\cdot\log_2(x+4)+2$; $\vec{v}=\dbinom{2}{-4}$
f)   $f$: $y=x^2+5x+2$; $\vec{v}=\dbinom{3}{-4}$
g)   $f$: $y=3(x-5)^{-7}-8$; $\vec{v}=\dbinom{2}{5}$
h)   $f$: $y=2^{3x+5}$; $\vec{v}=\dbinom{1}{-3}$
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1.   Es gilt: $\overrightarrow{OP}'=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{v}$.
a)
$ \begin{array}[t]{rcl} \overrightarrow{OP}'&=&\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{v}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-10\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\\6\end{pmatrix}\\[5pt] &\Longrightarrow&P'(-7\mid6) \end{array} $
b)
$ \begin{array}[t]{rcl} \overrightarrow{OP}'&=&\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{v}&\scriptsize{\mid\; -\overrightarrow{OP}}\\[5pt] \overrightarrow{v}&=&\overrightarrow{OP}'-\overrightarrow{OP}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\2\end{pmatrix}\\[5pt] &\Longrightarrow&\vec{v}=\dbinom{-5}{2} \end{array} $
c)
$ \begin{array}[t]{rcl} \overrightarrow{OP}'&=&\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{v}&\scriptsize{\mid\; -\overrightarrow{v}}\\[5pt] \overrightarrow{OP}&=&\overrightarrow{OP}'-\overrightarrow{v}\\[5pt] \overrightarrow{OP}&=&\begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-10\\-7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}\\[5pt] &\Longrightarrow&P(5\,\mid\,4) \end{array} $
d)
$ \begin{array}[t]{rcl} \overrightarrow{OP}'&=&\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{v}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}\sqrt2\\4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\sqrt2\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\sqrt2\\2\end{pmatrix}\\[5pt] &\Longrightarrow&P'(2\sqrt{2}\,\mid\,2) \end{array} $
e)
$ \begin{array}[t]{rcl} \overrightarrow{OP}'&=&\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{v}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\\frac{7}{8}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\\frac{9}{10}\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}\frac{3}{6}+\frac{2}{6}\\\frac{35}{40}+\frac{36}{40}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{5}{6}\\\frac{71}{40}\end{pmatrix}\\[5pt] &\Longrightarrow&P'\left(\frac{5}{6}\,\mid\,\frac{71}{40}\right) \end{array} $
f)
$ \begin{array}[t]{rcl} \overrightarrow{OP}'&=&\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{v}&\scriptsize{\mid\;-\overrightarrow{OP}} \\[5pt] \overrightarrow{v}&=&\overrightarrow{OP}'-\overrightarrow{OP}&\scriptsize{\mid\; \overrightarrow{OP}'=\overrightarrow{OP}} \\[5pt] \overrightarrow{v}&=&\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\\[5pt] &\Longrightarrow&\vec{v}=\dbinom{0}{0} \end{array} $
2.
a)  Für alle Bildpunkte $P'(x'\,\mid\,y')$ der Punkte $P(x\,\mid\,f(x))$ auf dem Graphen von $f$ gilt nach der Parallelverschiebung:
$ \begin{array}{lrcl} &x'&=&x+x_0\\[5pt] \wedge\;\;\;&y'&=&f(x)+y_0 \end{array} $
Aus der ersten Gleichung folgt: $x=x'-x_0$.
Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt $y'=f(x'-x_0)+y_0$.
Die Bildfunktion ist also $f'$: $y=f(x-x_0)+y_0$.
b)  Die Parallelverschiebung bewirkt, dass Graphen von Funktionen um $(x_0)$ Einheiten nach rechts in Richtung der positiven $x$–Achse verschoben werden, ebenso um $(y_0)$ Einheiten nach oben entlang der positiven $y$–Achse.
Sind $x_0$ bzw. $y_0$ negative Zahlen, so erfolgt die Verschiebung jeweils in Richtung der negativen Koordinatenachsen.
c)  Nach der in Teil a) hergeleiteten „Formel“ muss im Funktionsterm von $f$ der Wert $x$ durch $(x-x_0)$ ersetzt und $y_0$ hinzuaddiert werden. Das heißt:
$f'$: $y=(x-4)^{-1}+2=\dfrac{1}{x-4}+2$.
d)  Die Funktion $f$ besitzt
  • die Definitionsmenge $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{0\}$ und
  • die Wertemenge $\mathbb{W}_f=\mathbb{R}\backslash\{0\}$.
  • Asymptoten sind die $x$–Achse ($y=0$) und die $y$–Achse ($x=0$).
Die Funktion $f'$ hat
  • die Definitionsmenge $\mathbb{D}_{f'}=\mathbb{R}\backslash\{4\}$,
  • die Wertemenge $\mathbb{W}_{f'}=\mathbb{R}\backslash\{2\}$ und
  • als Asymptoten eine Parallele zur $x$–Achse mit $y=2$ und eine Parallele zur $y$–Achse mit $x=4$.
Abbildungen Im Koordinatensystem: Parallelverschiebung
Abbildungen Im Koordinatensystem: Parallelverschiebung
3.  Man erhält die Gleichungen der neuen Funktionen nach der Parallelverschiebung entlang $\vec{v}=\dbinom{x_0}{y_0}$ jeweils, indem man im Funktionsterm $x$ durch $(x-x_0)$ ersetzt und $y_0$ hinzuaddiert.
a)  Mit $x_0=4$ und $y_0=-2$ erhält man:
$f'$: $y=(x-4)^2-2=x^2-8x+16-2=x^2-8x+14$.
b)  Hier ist $x_0=-5$ und $y_0=1$. Es ergibt sich:
$f'$: $y=\log_2(x-(-5))+1=\log_2(x+5)+1$.
Als Logarithmusfunktion hat der Graph zu $f'$ die Parallele zur $y$–Achse mit $x=-5$ als Asymptote.
c)  Es ist $x_0=1$ und $y_0=-4$.
$f'$: $y=2^{x-1}-4$.
Diese Exponentialkurve hat die waagrechte Gerade $y=-4$ als waagrechte Asymptote.
d)  Mit $x_0=2$ und $y_0=-3$ erhält man:
$f'$: $y=2(x-2)+1-3=2x-4+1-3=2x-6$.
e)  Es ist $x_0=2$ und $y_0=-4$. Für die neue Funktion gilt:
$f'$: $y=2\cdot\log_2((x-2)+4)+2-4=2\cdot\log_2(x+2)-2$.
Asymptote ist die Parallele zur $y$–Achse mit $x=-2$.
f)  Mit $x_0=3$ und $y_0=-4$ erhält man:
$f'$: $y=(x-3)^2+5(x-3)+2=x^2-6x+9+5x-15+2=x^2-x-4$.
g)  Mit $x_0=2$ und $y_0=5$ erhält man:
$f'$: $y=3((x-2)-5)^{-7}-8+5=3(x-7)^{-7}-3$.
Asymptoten sind die Parallele zur $x$–Achse mit $y=-3$ und die Parallele zur $y$–Achse mit $x=7$.
h)  Mit $x_0=1$ und $y_0=-3$ erhält man:
$f'$: $y=2^{3(x-1)+5}-3=2^{3x-3+5}-3=3^{3x+2}-3$.
Asymptote ist die Parallele zur $x$–Achse mit $y=-3$.
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