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Drehung um den Ursprung

Spickzettel
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Abbildungen im Koordinatensystem: Drehung um den Ursprung
Abb. 1: Drehung um den Ursprung
Abbildungen im Koordinatensystem: Drehung um den Ursprung
Abb. 1: Drehung um den Ursprung
#drehwinkel#drehung
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Es gilt $P\xrightarrow{O(0\,\mid\,0);\;\alpha}P'$. Gib zu den angegebenen Winkelmaßen von $\alpha$ die zugehörige Abbildungsgleichung in Matrixform an.
a)
$\alpha = 30°$
b)
$\alpha = 60°$
c)
$\alpha = 270°$
d)
$\alpha = 90°$
e)
$\alpha = 180°$
f)
$\alpha = 45°$
#winkel#matrix

Aufgabe 1

Drehe die Punkte $A \, (2 \mid 4), \, B \, (5 \mid -3), \, C \, (-4 \mid 3),$ $D \, (-3 \mid -8)$ im Winkel $\alpha$ um $O$. Berechne die neuen Koordinaten. Runde wenn nötig auf $2$ Nachkommastellen.
a)
$\alpha = 30°$
b)
$\alpha = 60°$
c)
$\alpha = 270°$
d)
$\alpha = 90°$
e)
$\alpha = 180°$
f)
$\alpha = 45°$
#winkel#koordinaten

Aufgabe 2

Gib an, ob es sich bei den folgenden Matrizen um die Matrix einer Drehung handelt und bestimme, falls die Antwort ja ist, das Drehwinkelmaß $\alpha$.
a)
$\begin{pmatrix}0,4&0,6\\-0,6&0,4\end{pmatrix}$
b)
$\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}&-\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}\\\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}&\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}\end{pmatrix}$
c)
$\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3}&-\frac{1}{2} \\\frac{1}{2} &\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3}\end{pmatrix}$
d)
$\begin{pmatrix} \frac{2}{5} \cdot \sqrt{3}&-\frac{2}{3} \cdot \sqrt{2}\\\frac{2}{3} \cdot \sqrt{2}&\frac{2}{5} \cdot \sqrt{3}\end{pmatrix}$
#matrix#drehung

Aufgabe 3

a)
Wie kannst du die Umkehrabbildung einer Drehung um $O$ mit dem Drehwinkelmaß $\alpha$ definieren?
b)
Was gilt für die Gleichung der Umkehrabbildung?
c)
Kontrolliere dein Ergebnis, indem du den Punkt $A \, (3 \mid 7)$, den Bildpunkt bei Drehung um $O$ mit $\alpha = 70°$ sowie die Umkehrabbildung in ein Koordinatensystem einzeichnest.
#drehwinkel#kartesischeskoordinatensystem#drehung

Aufgabe 4

a)
Bestimme die Gleichung der dargestellten Drehung ($A$ zu $A'$), sowie deren Umkehrabbildung.
b)
Identifiziere die Koordinaten des Punktes $B$.
c)
Identifiziere die Koordinaten des Punktes $C'$.
d)
Zeichne alle gerade ermittelten Punkte ($A'' \, B, C'$) in das Koordinatensytem.
Abbildungen im Koordinatensystem: Drehung um den Ursprung
Abb. 1: Drehung um den Ursprung
Abbildungen im Koordinatensystem: Drehung um den Ursprung
Abb. 1: Drehung um den Ursprung
#kartesischeskoordinatensystem#drehung#koordinaten
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Einführungsaufgabe

Die Abbildungsgleichung der Drehung um $Z \, (0 \mid 0)$ in Matrixform sieht immer so aus:
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \text{cos} (\alpha)&-\text{sin}(\alpha)\\\text{sin} (\alpha)&\text{cos}(\alpha)\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
Rechne den jeweiligen Wert für $\alpha$ aus und setze ihn in die Gleichung ein.
b)
$\begin{array}[t]{rll} \text{sin}(60°)&=& \frac{1}{2}\sqrt{3}&\quad \scriptsize \\[5pt] \text{cos}(60°)&=&\frac{1}{2} \end{array}$
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{3}\\\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2}\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} \text{sin}(90°)&=& 1&\quad \scriptsize \\[5pt] \text{cos}(90°)&=&0 \end{array}$
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&-1\\1&0\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
f)
$\begin{array}[t]{rll} \text{sin}(45°)&=& \frac{1}{2}\sqrt{2}&\quad \scriptsize \\[5pt] \text{cos}(45°)&=&\frac{1}{2}\sqrt{2} \end{array}$
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{2}\\\frac{1}{2}\sqrt{2}&\frac{1}{2}\sqrt{2}\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$

Aufgabe 1

In der Einführungsaufgabe hast du bereits die Abbildungsgleichungen zu den jeweiligen Werten von $\alpha$ gebildet. Setze dazu passend die Punkte $A$, $B$, $C$ und $D$ ein und rechne aus. Runde dein Ergebnis wenn nötig auf $2$ Nachkommastellen.
a)
$\alpha = 30°$, $B \, (5 \mid -3)$
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{3}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\sqrt{3}\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}5\\-3\end{pmatrix}&\quad \scriptsize \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{3} \cdot 5-\frac{1}{2} \cdot (-3)\\\frac{1}{2} \cdot 5+\frac{1}{2}\sqrt{3} \cdot (-3)\end{pmatrix} &\quad \scriptsize \ \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix} 5,83\\-0,1\end{pmatrix} \end{array}$
$\alpha = 30°$, $D \, (-3 \mid -8)$
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{3}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\sqrt{3}\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}-3\\-8\end{pmatrix}&\quad \scriptsize \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{3} \cdot (-3)-\frac{1}{2} \cdot (-8)\\\frac{1}{2} \cdot (-3)+\frac{1}{2}\sqrt{3} \cdot (-8)\end{pmatrix} &\quad \scriptsize \ \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix} 1,4\\-8,43\end{pmatrix} \end{array}$
b)
$\alpha = 60°$, $B \, (5 \mid -3)$
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} \frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{3}\\\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2}\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}5\\-3\end{pmatrix}&\quad \scriptsize \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \cdot 5-\frac{1}{2}\sqrt{3} \cdot (-3)\\\frac{1}{2}\sqrt{3} \cdot 5+\frac{1}{2} \cdot (-3)\end{pmatrix} &\quad \scriptsize \ \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix} 5,1\\2,83\end{pmatrix} \end{array}$
$ \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5,1\\2,83\end{pmatrix} $
$\alpha = 60°$, $D \, (-3 \mid -8)$
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} \frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{3}\\\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2}\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}-3\\-8\end{pmatrix}&\quad \scriptsize \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \cdot (-3)-\frac{1}{2}\sqrt{3} \cdot (-8)\\\frac{1}{2}\sqrt{3} \cdot (-3) + \frac{1}{2} \cdot (-8)\end{pmatrix} &\quad \scriptsize \ \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix} 5,43\\-6,6\end{pmatrix} \end{array}$
$ \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5,43\\-6,6\end{pmatrix} $
c)
$\alpha = 270°$, $B \, (5 \mid -3)$
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 0&1\\-1&0\end{pmatrix}\odot \begin{pmatrix}5\\-3\end{pmatrix}&\quad \scriptsize \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 0 \cdot 5 + 1 \cdot (-3)\\-1 \cdot 5 + 0 \cdot -3\end{pmatrix} &\quad \scriptsize \ \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix} -3\\-5\end{pmatrix} \end{array}$
$\alpha = 270°$, $D \, (-3 \mid -8)$
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 0&1\\-1&0\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}-3\\-8\end{pmatrix}&\quad \scriptsize \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 0 \cdot (-3) + 1 \cdot (-8)\\-1 \cdot (-3) + 0 \cdot (-8)\end{pmatrix}&\quad \scriptsize \ \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix} -8\\3\end{pmatrix} \end{array}$
$ \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -8\\3\end{pmatrix} $
d)
$\alpha = 90°$, $B \, (5 \mid -3)$
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 0&-1\\1&0\end{pmatrix}\odot \begin{pmatrix}5\\-3\end{pmatrix}&\quad \scriptsize \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 0 \cdot 5 + (-1) \cdot (-3)\\1 \cdot 5 + 0 \cdot -3\end{pmatrix} &\quad \scriptsize \ \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix} 3\\5\end{pmatrix} \end{array}$
$\alpha = 90°$, $D \, (-3 \mid -8)$
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 0&-1\\1&0\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}-3\\-8\end{pmatrix}&\quad \scriptsize \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 0 \cdot (-3) + (-1) \cdot (-8)\\1 \cdot (-3) + 0 \cdot (-8)\end{pmatrix}&\quad \scriptsize \ \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix} 8\\-3\end{pmatrix} \end{array}$
e)
$\alpha = 180°$, $B \, (5 \mid -3)$
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} -1&0\\0&-1\end{pmatrix}\odot \begin{pmatrix}5\\-3\end{pmatrix}&\quad \scriptsize \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} (-1) \cdot 5 + 0 \cdot (-3)\\0 \cdot 5 + (-1) \cdot -3\end{pmatrix} &\quad \scriptsize \ \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix} -5\\3\end{pmatrix} \end{array}$
$\alpha = 180°$, $D \, (-3 \mid -8)$
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} -1&0\\0&-1\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}-3\\-8\end{pmatrix}&\quad \scriptsize \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} (-1) \cdot (-3) + 0 \cdot (-8)\\0 \cdot (-3) + (-1) \cdot (-8)\end{pmatrix}&\quad \scriptsize \ \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix} 3\\8\end{pmatrix} \end{array}$
f)
$\alpha = 45°$, $B \, (5 \mid -3)$
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} &=&\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{2}\\\frac{1}{2}\sqrt{2}&\frac{1}{2}\sqrt{2}\end{pmatrix}\odot \begin{pmatrix}5\\-3\end{pmatrix}&\quad \scriptsize \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{2} \cdot 5 + (-\frac{1}{2}\sqrt{2}) \cdot (-3)\\\frac{1}{2}\sqrt{2} \cdot 5 + \frac{1}{2}\sqrt{2} \cdot -3\end{pmatrix} &\quad \scriptsize \ \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix} 5,66\\1,41\end{pmatrix} \end{array}$
$ \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5,66\\1,41\end{pmatrix} $
$\alpha = 45°$, $D \, (-3 \mid -8)$
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{2}\\\frac{1}{2}\sqrt{2}&\frac{1}{2}\sqrt{2}\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}-3\\-8\end{pmatrix}&\quad \scriptsize \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{2} \cdot (-3) + (-\frac{1}{2}\sqrt{2}) \cdot (-8)\\\frac{1}{2}\sqrt{2} \cdot (-3) + \frac{1}{2}\sqrt{2} \cdot (-8)\end{pmatrix}&\quad \scriptsize \ \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix} 3,54\\-7,78\end{pmatrix} \end{array}$
$ \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3,54\\-7,78\end{pmatrix} $

Aufgabe 2

Wenn du prüfen willst, ob es sich bei den jeweiligen Matrizen um die Matrix einer Drehung handelt, musst du herausfinden, ob die Zahlen darin die Besonderheiten einer Matrix einer Drehung erfüllen.
Die Matrix einer Drehung sieht immer so aus:
$\begin{pmatrix}\text{cos}(\alpha)&-\text{sin}(\alpha)\\\text{sin}(\alpha)&\text{cos}(\alpha)\end{pmatrix}$
Wende die Umkehrfunktion - den Arkussinus und den Arkuscosinus - an, um herauszufinden, ob die angegebenen Werte aus demselben Winkel $\alpha$ entstanden sein können.
a)
Bei dieser Matrix handelt es sich nicht um die Matrix einer Drehung.
b)
Bei dieser Matrix handelt es sich um die Matrix einer Drehung. Das Drehwinkelmaß $\alpha$ beträgt $45°$.
c)
Bei dieser Matrix handelt es sich um die Matrix einer Drehung. Das Drehwinkelmaß $\alpha$ beträgt $30°$.
d)
Bei dieser Matrix handelt es sich nicht um die Matrix einer Drehung.
#sinus#kosinus

Aufgabe 3

a)
Die Umkehrabbildung einer Drehung um $O$ mit dem Drehwinkelmaß $\alpha$ kannst du als eine Drehung um $O$ mit $\alpha' = 360° - \alpha$ bezeichnen.
Eine Drehung um $O$ mit $\alpha' = 360°$ würde denselben Bildpunkt wie den Ausgangspunkt abbilden, da dies ein voller Winkel ist. Wenn du davon das Drehwinkelmaß von $\alpha$ abziehst, bekommst du genau die Umkehrabbildung der Drehung um $O$ mit dem Drehwinkelmaß $\alpha$.
b)
Um herauszufinden, was für die Gleichung der Umkehrabbildung gilt, probiere es am besten an einem selbstgewählten Beispiel aus. Du kannst dir einen Wert aus Aufgabe $1$ nehmen und überprüfen, was du an der Gleichung verändern musst, um die Umkehrabbildung zu erhalten. Hier wird dir die Überprüfung am Beispiel der Teilaufgabe $1c)$ mit dem Punkt $A$ gezeigt.
Die Drehung des Punktes $A \, (2 \mid 4)$ mit dem Drehwinkel $\alpha = 270°$ um den Ursprung ergibt den Bildpunkt $A' \, (4 \, -2)$. Die Umkehrabbildung ist die Drehung um $O$ mit $\alpha' = 360° - \alpha$ also mit $\alpha' = 360° - 270° = 90°$. Eine Drehung mit dem Drehwinkel $\alpha' = 90°$ ergibt den Bildpunkt $A'' \, (-4 \mid 2)$ (das hast du bereits in Teilaufgabe $1d)$ ausgerechnet).
Deine normale Abbildungsgleichung lautet so:
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \text{cos} (\alpha)&-\text{sin}(\alpha)\\\text{sin} (\alpha)&\text{cos}(\alpha)\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
Nach Einsetzen der Werte, sieht die Gleichung so aus:
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} &=&\begin{pmatrix} 0&1\\-1&0\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}&\quad \scriptsize \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 0 \cdot 2 + 1 \cdot 4\\-1 \cdot 2 + 0 \cdot 4\end{pmatrix} &\quad \scriptsize \ \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix} 4\\-2\end{pmatrix} \end{array}$
Um den Punkt $A'' \, (-4 \mid 2)$ siehst du, dass du die Vorzeichen vor den Sinussen je umkehren musst.
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} &=&\begin{pmatrix} 0&-1\\1&0\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}&\quad \scriptsize \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 0 \cdot 2 + (-1) \cdot 4\\1 \cdot 2 + 0 \cdot 4\end{pmatrix} &\quad \scriptsize \ \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix} -4\\2\end{pmatrix} \end{array}$
Somit lautet die Gleichung der Umkehrabbildung folgendermaßen:
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \text{cos} (\alpha)&\text{sin}(\alpha)\\-\text{sin} (\alpha)&\text{cos}(\alpha)\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
c)
Du hast den Punkt $A \, (3 \mid 7)$ gegeben, den du mit dem Drehwinkelmaß $\alpha = 70°$ um den Ursprung drehen und in einem Koordinatensystem darstellen sollst. Zusätzlich sollst du die Umkehrabbildung einzeichnen. Berechne dazu die beiden Bildpunkte $A'$ (Drehung um $\alpha = 70°$) und $A''$ (Drehung um $\alpha' = 360°-70° = 290°$).
1. Schritt: Koordinaten $A'$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} &=&\begin{pmatrix} \text{cos} (70°)&-\text{sin}(70°)\\\text{sin} (70°)&\text{cos}(70°)\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}3\\7\end{pmatrix}&\quad \scriptsize \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}\text{cos} (70°) \cdot 3-\text{sin}(70°) \cdot 7\\\text{sin} (70°) \cdot 3+\text{cos}(70°) \cdot 7\end{pmatrix} &\quad \scriptsize \ \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&\approx& \begin{pmatrix} -5,55\\5,21\end{pmatrix} \end{array}$
$ \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}\approx \begin{pmatrix} -5,55\\5,21\end{pmatrix} $
2. Schritt: Koordinaten $A''$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} &=&\begin{pmatrix} \text{cos} (70°)&+\text{sin}(70°)\\-\text{sin} (70°)&\text{cos}(70°)\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}3\\7\end{pmatrix}&\quad \scriptsize \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}\text{cos} (70°) \cdot 3+\text{sin}(70°) \cdot 7\\-\text{sin} (70°) \cdot 3+\text{cos}(70°) \cdot 7\end{pmatrix} &\quad \scriptsize \ \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&\approx& \begin{pmatrix} 7,6\\-0,42\end{pmatrix} \end{array}$
$ \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}\approx \begin{pmatrix} 7,6\\-0,42\end{pmatrix} $
3. Schritt: In Koordinatensystem einzeichnen
Abbildungen im Koordinatensystem: Drehung um den Ursprung
Abb. 1: Abbildung im Koordinatensystem
Abbildungen im Koordinatensystem: Drehung um den Ursprung
Abb. 1: Abbildung im Koordinatensystem

Aufgabe 4

a)
Aus dem Koordinatensystem kannst du die Koordinaten der Punkte $A$ und $A'$ ablesen. Sie lauten $A \, (3 \mid -8)$ und $A' \, (8 \mid 3)$. Setze die Koordinaten in die Abbildungsgleichung in Matrizenform ein und berechne, welchen Wert du für $\alpha$ einsetzen muss, damit die Gleichung erfüllt wird. Ersetze dafür $\text{sin}(\alpha)$ und $\text{cos}(\alpha)$ durch die Variablen $x$ und $y$. Danach kannst du den Wert von $\alpha$ mit dem Arkussinus und dem Arkuskosinus berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}8\\3\end{pmatrix} &=&\begin{pmatrix}\text{cos} (\alpha)&-\text{sin}(\alpha)\\\text{sin} (\alpha)&\text{cos}(\alpha)\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}3\\-8\end{pmatrix}&\quad \scriptsize \\[5pt] \begin{pmatrix}8\\3\end{pmatrix} &=&\begin{pmatrix} x&-y\\y&x\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}3\\-8\end{pmatrix}&\quad \scriptsize \\[5pt] \begin{pmatrix}8\\3\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} x \cdot 3 - y \cdot (-8)\\y \cdot 3 + x \cdot (-8)\end{pmatrix} &\quad \scriptsize \ \\[5pt] \end{array}$
$ \begin{pmatrix}8\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \cdot 3 - y \cdot (-8)\\y \cdot 3 + x \cdot (-8)\end{pmatrix} $
An der Gleichung erkennst du, dass $x = 0$ und $y = 1$ sein muss. Rechne mit dem Arkussinus und dem Arkuskosinus um den Wert von $\alpha$ herauszufinden.
$\begin{array}[t]{rll} \text{arccos}(0)&=&90° &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{arcsin}(1)&=&90° \end{array}$
Der Punkt $A$ wird also um den Drehwinkel $\alpha = 90°$ gedreht. Die vollständige Gleichung der dargestellten Drehung lautet wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}8\\3\end{pmatrix} &=&\begin{pmatrix}\text{cos} (90°)&-\text{sin}(90°)\\\text{sin} (90°)&\text{cos}(90°)\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}3\\-8\end{pmatrix}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ vollständige Abbildungsgleichung $
Die Gleichung der Umkehrabbildung kennst du. Setze deine Werte ein. So kannst du die Koordinaten des Bildpunkts $A''$ der Umkehrabbildung berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}x''\\y''\end{pmatrix} &=&\begin{pmatrix}\text{cos} (90°)&\text{sin}(90°)\\-\text{sin} (90°)&\text{cos}(90°)\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}8\\3\end{pmatrix}&\quad \scriptsize \\[5pt] \begin{pmatrix}x''\\y''\end{pmatrix} &=&\begin{pmatrix} 0+1\\-1+0\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}3\\-8\end{pmatrix}&\quad \scriptsize \\[5pt] \begin{pmatrix}x''\\y''\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 0 \cdot 3 + 1 \cdot (-8)\\(-1) \cdot 3 + 0 \cdot (-8)\end{pmatrix} &\quad \scriptsize \ \\[5pt] \begin{pmatrix}x''\\y''\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} -8\\-3\end{pmatrix} &\quad \scriptsize \ \\[5pt] \end{array}$
$ \begin{pmatrix}x''\\y''\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -8\\-3\end{pmatrix} $
Die Koordinaten des Bildpunkts $A''$ der Umkehrabbildung betragen $A'' \, (-8 \mid -3)$.
b)
Die Koordinaten des Punktes $B'$ betragen $B' \, (4 \mid 5)$. Du sollst die Koordinaten des Punktes $B$ bestimmen, wenn $B'$ unter dem gleichen Drehwinkel $\alpha$ wie der Punkt $A$ um den Ursprung gedreht wurde.
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix} &=&\begin{pmatrix}\text{cos} (90°)&-\text{sin}(90°)\\\text{sin} (90°)&\text{cos}(90°)\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}&\quad \scriptsize \\[5pt] \begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix} &=&\begin{pmatrix} 0-1\\1+0\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}&\quad \scriptsize \\[5pt] \begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 0 \cdot x - 1 \cdot y\\1 \cdot x + 0 \cdot y\end{pmatrix} &\quad \scriptsize \ \\[5pt] \end{array}$
$ \begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \cdot x - 1 \cdot y\\1 \cdot x + 0 \cdot y\end{pmatrix}$
Jetzt musst du die Gleichungen auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} -y&=&4 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \\[5pt] y&=& -4 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x&=&5 \end{array}$
Die Koordinaten des Punktes $B$ betragen folglich $B \, (5 \mid -4)$.
c)
Die Koordinaten des Punktes $C$ betragen $C \, (-6 \mid -1)$. Du sollst die Koordinaten des Punktes $C'$ bestimmen, wenn $C$ unter dem gleichen Drehwinkel $\alpha$ wie der Punkt $A$ um den Ursprung gedreht wird.
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} &=&\begin{pmatrix}\text{cos} (90°)&-\text{sin}(90°)\\\text{sin} (90°)&\text{cos}(90°)\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}-6\\-1\end{pmatrix}&\quad \scriptsize \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} &=&\begin{pmatrix} 0-1\\1+0\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}-6\\-1\end{pmatrix}&\quad \scriptsize \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 0 \cdot (-6) - 1 \cdot (-1)\\1 \cdot (-6)+ 0 \cdot (-1)\end{pmatrix} &\quad \scriptsize \ \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 1\\-6\end{pmatrix} &\quad \scriptsize \ \\[5pt] \end{array}$
$ \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\-6\end{pmatrix} $
Die Koordinaten des Punktes $C$ betragen folglich $C \, (1 \mid (-6))$.
d)
Trage die Punkte, deren Koordinaten du gerade ermittelt hast, in ein Koordinatensystem ein. Zur Überprüfung kannst du die Punkte mit dem Ursprung verbinden und den Drehwinkel $\alpha$ nachmessen.
Abbildungen im Koordinatensystem: Drehung um den Ursprung
Abb. 2: Punkte einzeichnen
Abbildungen im Koordinatensystem: Drehung um den Ursprung
Abb. 2: Punkte einzeichnen
#matrix
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