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Orthogonale Affinität

Spickzettel
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Abbildungen im Koordinatensystem: Orthogonale Affinität
Abb. 1: Orthogonale Affinität
Abbildungen im Koordinatensystem: Orthogonale Affinität
Abb. 1: Orthogonale Affinität
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Einführungsaufgabe

a)
Die Punkte $A(1\mid 3)$ und $B(-2 \mid 1)$ bilden durch orthogonale Affinität mit dem Affinitätsmaßstab $k=-1$ auf die Bldpunkte $A'$ und $B'$. Bestimme die Koordinaten der Bildpunkte $A'$ und $B'$.
b)
Die Gerade $g: y=3x-2$ wird durch orthogonale Affinität mit dem Affinitätsmaßstab $k=-3$ auf die Bildgerade $g'$ abgebildet. Berechne die Geradengleichung der Bildgeraden $g'$.
#orthogonaleaffinität#geradengleichung

Aufgabe 1

Die gegebenen Punkte $A$ und $B$ werden durch orthogonale Affinität mit dem Affinitätsmaßstab $k$ auf die Bildpunkte $A'$ und $B'$ abgebildet. Bestimme die Koordinaten der Bildpunkte.
a)
$A(1 \mid -3)$, $B(4 \mid 1)$ und $k=2$.
b)
$A(2 \mid -1)$, $B(3 \mid 3)$ und $k=-3$.
c)
$A(5 \mid -7)$, $B(2 \mid 1)$ und $k=-1$.
#orthogonaleaffinität

Aufgabe 2

Die Punkte $A$, $B$ und $C$ werden durch orthogonale Affinität mit dem Affinitätsmaßstab $k$ auf die Bildpunkte $A'$, $B'$ und $C'$ abgebildet. Bestimme den Affinitätsmaßstab für die orthogonale Affinität des Dreiecks $ABC$ zu dem Dreieck $A'B'C'$.
a)
Abbildungen im Koordinatensystem: Orthogonale Affinität
Abb. 1: Dreieck $ABC$
Abbildungen im Koordinatensystem: Orthogonale Affinität
Abb. 1: Dreieck $ABC$
b)
Abbildungen im Koordinatensystem: Orthogonale Affinität
Abb. 2: Dreieck $ABC$
Abbildungen im Koordinatensystem: Orthogonale Affinität
Abb. 2: Dreieck $ABC$
#orthogonaleaffinität

Aufgabe 3

Die gegebenen Punkte $A$ und $B$ werden durch orthogonale Affinität mit dem Affinitätsmaßstab $k$ auf ihre Bildpunkte $A'$ und $B'$ abgebildet. Bestimme die fehlenden Affinitätsmaßstäbe und die fehlenden Koordinaten des Bildpunktes.
a)
$A(2 \mid 1)$, $B(-2 \mid 2)$ und $A'(2 \mid -7)$.
b)
$A(-3 \mid 4)$, $B(-7 \mid 5)$ und $B'(-7 \mid -15)$.
c)
$A(1 \mid 2)$, $B(0 \mid 4)$ und $A'(1 \mid 6)$.
#orthogonaleaffinität

Aufgabe 4

Der Graph der Funktion $f$ wird durch orthogonale Affinität mit dem Affinitätsmaßstab $k$ auf den Bildgraphen $f'$ abgebildet. Bestimme die Funktionsgleichung des Bildgraphen $f'$.
a)
$f: y=-x+2$ und $k=3$.
b)
$f: y=x^2-x+4$ und $k=-2$.
c)
$f: y=3x^2-12x$ und $k=-0,25$.
d)
$f: y=\sqrt{x+2}-2$ und $k=4$.
#funktionsgleichung#orthogonaleaffinität
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Bildpunkte bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Koordinaten der Bildpunkte $A'$ und $B'$ bestimmen. Du hast gegeben, dass die Punkte $A(1 \mid 3)$ und $B(-2 \mid 1)$ durch orthogonale Affinität mit dem Affinitätsmaßstab $k=-1$ auf ihre Bildpunkte $A'$ und $B'$ abbilden.
Für die Koordinaten eines Bildpunktes $P'(x' \mid y')$, welcher durch orthogonale Affinität mit dem Affinitätsmaßstab $k$ von dem Punkt $P( x\mid y)$ abgebildet wird, gelten folgende Abbildungsgleichungen in Koordinatenform:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& x \\ \text{II}\quad& y'&=& k \cdot y \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& x \\ \text{II}\quad& y'&=& k \cdot y \\ \end{array}$
Damit folgen für die Koordinaten des Bildpunktes $A'$ mit $A(1 \mid 3)$ und $k=-1$ folgende Gleichungen:
$\begin{array}[t]{rll} x_A'&=& x_A \\[5pt] &=& 1 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y_A'&=& k \cdot y_A \\[5pt] &=& -1 \cdot 3 \\[5pt] &=& -3 \\[5pt] \end{array}$
Somit gilt $A'(1 \mid -3)$.
Entsprechend folgt für die Koordinaten des Bildpunktes $B'$ mit $B(-2 \mid 1)$ und $k=-1$ folgende Gleichungen:
$\begin{array}[t]{rll} x_B'&=& x_B \\[5pt] &=& -2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y_B'&=& k \cdot y_B \\[5pt] &=& -1 \cdot 1 \\[5pt] &=& -1 \\[5pt] \end{array}$
Dadurch gilt $B'(-2 \mid -1)$.
b)
$\blacktriangleright$  Geradengleichung der Bildgeraden bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Geradengleichung der Bildgeraden $g'$ bestimmen. Du hast gegeben, dass die Gerade mit der Funktionsgleichung $g: y=3x-2$ durch orthogonale Affinität mit dem Affinitätsmaßstab $k=-3$ auf ihre Bildgerade abbildet.
Für die Koordinaten eines Bildpunktes $P'(x' \mid y')$, welcher durch orthogonale Affinität mit dem Affinitätsmaßstab $k$ von dem Punkt $P( x\mid y)$ abgebildet wird, gelten folgende Abbildungsgleichungen in Koordinatenform:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& x \\ \text{II}\quad& y'&=& k \cdot y \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& x \\ \text{II}\quad& y'&=& k \cdot y \\ \end{array}$
Du kannst die Gleichungen nach den Koordinaten $x$ und $y$ umformen und in die ursprüngliche Geradengleichung $g: y=3x-2$ einsetzen und dadurch die Funktionsgleichung der Bildgeraden mit den Koordinaten $x'$ und $y'$ bestimmen.
Hierbei gilt $k=-3$. Daraus folgt für die Gleichungen der Koordinaten:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& x \\ \text{II}\quad& y'&=& -3 \cdot y &\quad \scriptsize\mid\; :(-3) \\ \hline \text{I}\quad& x'&=& x \\ \text{II}\quad& -\dfrac{1}{3} \cdot y'&=& y \\ \end{array}$
$\text{I}: x'= \dotsc$
Die Gleichungen $\text{I}$ und $\text{II}$ kannst du in die gegebene Geradengleichung $g: y=3x-2$ einsetzen und damit folgt für die Geradengleichung der Bildgerade:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 3x-2 \\[5pt] -\dfrac{1}{3} \cdot y' &=& 3 \cdot x' -2 & \quad \scriptsize \mid \, \cdot (-3)\\[5pt] y' &=& -9 \cdot x' +6 \\[5pt] \end{array}$
$y'=-9 x' +6 $
Somit gilt für die Geradengleichung der Bildgerade $g': y'=-9\cdot x'+6$.
#koordinatenform

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Bildpunkte bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Koordinaten der Bildpunkte $A'$ und $B'$ bestimmen. Du hast gegeben, dass die Punkte $A(1 \mid -3)$ und $B(4 \mid 1)$ durch orthogonale Affinität mit dem Affinitätsmaßstab $k=2$ auf ihre Bildpunkte $A'$ und $B'$ abbilden.
Für die Koordinaten eines Bildpunktes $P'(x' \mid y')$, welcher durch orthogonale Affinität mit dem Affinitätsmaßstab $k$ von dem Punkt $P( x\mid y)$ abgebildet wird, gelten folgende Abbildungsgleichungen in Koordinatenform:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& x \\ \text{II}\quad& y'&=& k \cdot y \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& x \\ \text{II}\quad& y'&=& k \cdot y \\ \end{array}$
Damit folgen für die Koordinaten des Bildpunktes $A'$ mit $A(1 \mid -3)$ und $k=2$ folgende Gleichungen:
$\begin{array}[t]{rll} x_A'&=& x_A \\[5pt] &=& 1 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y_A'&=& k \cdot y_A \\[5pt] &=& 2 \cdot (-3) \\[5pt] &=& -6 \\[5pt] \end{array}$
Somit gilt $A'(1 \mid -6)$.
Entsprechend folgen für die Koordinaten des Bildpunktes $B'$ mit $B(4 \mid 1)$ und $k=2$ folgende Gleichungen:
$\begin{array}[t]{rll} x_B'&=& x_B \\[5pt] &=& 4 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y_B'&=& k \cdot y_B \\[5pt] &=& 2 \cdot 1 \\[5pt] &=& 2 \\[5pt] \end{array}$
Dadurch gilt $B'(4 \mid 2)$.
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Bildpunkte bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Koordinaten der Bildpunkte $A'$ und $B'$ bestimmen. Du hast gegeben, dass die Punkte $A(2 \mid -1)$ und $B(3 \mid 3)$ durch orthogonale Affinität mit dem Affinitätsmaßstab $k=-3$ auf ihre Bildpunkte $A'$ und $B'$ abbilden.
Für die Koordinaten eines Bildpunktes $P'(x' \mid y')$, welcher durch orthogonale Affinität mit dem Affinitätsmaßstab $k$ von dem Punkt $P( x\mid y)$ abgebildet wird, gelten folgende Abbildungsgleichungen in Koordinatenform:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& x \\ \text{II}\quad& y'&=& k \cdot y \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& x \\ \text{II}\quad& y'&=& k \cdot y \\ \end{array}$
Damit folgen für die Koordinaten des Bildpunktes $A'$ mit $A(3 \mid -1)$ und $k=-3$ folgende Gleichungen:
$\begin{array}[t]{rll} x_A'&=& x_A \\[5pt] &=& 2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y_A'&=& k \cdot y_A \\[5pt] &=& -3 \cdot (-1) \\[5pt] &=& 3 \\[5pt] \end{array}$
Somit gilt $A'(2 \mid 3)$.
Entsprechend folgen für die Koordinaten des Bildpunktes $B'$ mit $B(3 \mid 3)$ und $k=-3$ folgende Gleichungen:
$\begin{array}[t]{rll} x_B'&=& x_B \\[5pt] &=& 3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y_B'&=& k \cdot y_B \\[5pt] &=& -3 \cdot 3 \\[5pt] &=& -9 \\[5pt] \end{array}$
Dadurch gilt $B'(3 \mid -9)$.
c)
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Bildpunkte bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Koordinaten der Bildpunkte $A'$ und $B'$ bestimmen. Du hast gegeben, dass die Punkte $A(5 \mid -7)$ und $B(2 \mid 1)$ durch orthogonale Affinität mit dem Affinitätsmaßstab $k=-1$ auf ihre Bildpunkte $A'$ und $B'$ abbilden.
Für die Koordinaten eines Bildpunktes $P'(x' \mid y')$, welcher durch orthogonale Affinität mit dem Affinitätsmaßstab $k$ von dem Punkt $P( x \mid y)$ abgebildet wird, gelten folgende Abbildungsgleichungen in Koordinatenform:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& x \\ \text{II}\quad& y'&=& k \cdot y \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& x \\ \text{II}\quad& y'&=& k \cdot y \\ \end{array}$
Damit folgen für die Koordinaten des Bildpunktes $A'$ mit $A(5 \mid -7)$ und $k=-1$ folgende Gleichungen:
$\begin{array}[t]{rll} x_A'&=& x_A \\[5pt] &=& 5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y_A'&=& k \cdot y_A \\[5pt] &=& -1 \cdot (-7) \\[5pt] &=& 7 \\[5pt] \end{array}$
Somit gilt $A'(5 \mid 7)$.
Entsprechend folgen für die Koordinaten des Bildpunktes $B'$ mit $B(2 \mid 1)$ und $k=-1$ folgende Gleichungen:
$\begin{array}[t]{rll} x_B'&=& x_B \\[5pt] &=& 2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y_B'&=& k \cdot y_B \\[5pt] &=& -1 \cdot 1 \\[5pt] &=& -1 \\[5pt] \end{array}$
Dadurch gilt $B'(2 \mid -1)$.
#koordinatenform

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Affinitätsmaßstab bestimmen
Du hast gegeben, dass die Punkte $A$, $B$ und $C$ durch orthogonale Affinität mit dem Affinitätsmaßstab $k$ auf ihre Bildpunkte $A'$, $B'$ und $C'$ abgebildet werden. Du sollst zur gegebenen Abbildung den Affinitätsmaßstab $k$ bestimmen.
Lese dazu die Koordinaten der ursprünglichen Punkte $A$, $B$, $C$ und die zugehörigen Bildpunkte $A'$, $B'$ und $C'$ aus der gegebenen Abbildung ab und bestimme daraus den Affinitätsmaßstab $k$. Prüfe den Affinitätsmaßstab hierbei für alle gegebenen Punkte.
Für die Koordinaten eines Bildpunktes $P'(x' \mid y')$, welcher durch orthogonale Affinität mit dem Affinitätsmaßstab $k$ von dem Punkt $P( x\mid y)$ abgebildet wird, gelten folgende Abbildungsgleichungen in Koordinatenform:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& x \\ \text{II}\quad& y'&=& k \cdot y \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& x \\ \text{II}\quad& y'&=& k \cdot y \\ \end{array}$
Anhand der Abbildung gilt $A(1 \mid 2)$ und $A'(1 \mid 6)$. Damit folgt für den Affinitätsmaßstab $k$ anhand der Gleichung für die $y$-Koordinaten:
$\begin{array}[t]{rll} y_A'&=& k \cdot y_A \\[5pt] 6&=& k \cdot 2 & \quad \scriptsize \mid \, :2 \\[5pt] 3&=& k \\[5pt] \end{array}$
$k= 3$
Desweiteren gilt $B(6 \mid 3)$ und $B'(6 \mid 9)$. Dadurch folgt für den Affinitätsmaßstab $k$ anhand der Gleichung für die $y$-Koordinaten:
$\begin{array}[t]{rll} y_B'&=& k \cdot y_B \\[5pt] 9&=& k \cdot 3 & \quad \scriptsize \mid \, :3 \\[5pt] 3&=& k \\[5pt] \end{array}$
$k=3$
Zuletzt gilt $C(5 \mid -1)$ und $C'(5 \mid -3)$. Somit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} y_C'&=& k \cdot y_C \\[5pt] -3&=& k \cdot (-1) & \quad \scriptsize \mid \, :(-1) \\[5pt] 3&=& k \\[5pt] \end{array}$
$k=3$
Da der Affinitätsmaßstab für alle drei Punkte identisch ist gilt für den Affinitätsmaßstab $k=3$.
b)
$\blacktriangleright$  Affinitätsmaßstab bestimmen
Du hast gegeben, dass die Punkte $A$, $B$ und $C$ durch orthogonale Affinität mit dem Affinitätsmaßstab $k$ auf ihre Bildpunkte $A'$, $B'$ und $C'$ abgebildet werden. Du sollst zur gegebenen Abbildung den Affinitätsmaßstab $k$ bestimmen.
Lese dazu die Koordinaten der ursprünglichen Punkte $A$, $B$, $C$ und die zugehörigen Bildpunkte $A'$, $B'$ und $C'$ aus der gegebenen Abbildung ab und bestimme daraus den Affinitätsmaßstab $k$. Prüfe den Affinitätsmaßstab hierbei für alle gegebenen Punkte.
Für die Koordinaten eines Bildpunktes $P'(x' \mid y')$, welcher durch orthogonale Affinität mit dem Affinitätsmaßstab $k$ von dem Punkt $P( x\mid y)$ abgebildet wird, gelten folgende Abbildungsgleichungen in Koordinatenform:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& x \\ \text{II}\quad& y'&=& k \cdot y \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& x \\ \text{II}\quad& y'&=& k \cdot y \\ \end{array}$
Anhand der Abbildung gilt $A(-2 \mid 4)$ und $A'(-2 \mid 2)$. Damit folgt für den Affinitätsmaßstab $k$ anhand der Gleichung für die $y$-Koordinaten:
$\begin{array}[t]{rll} y_A'&=& k \cdot y_A \\[5pt] 2&=& k \cdot 4 & \quad \scriptsize \mid \, :4 \\[5pt] \dfrac{1}{2}&=& k \\[5pt] \end{array}$
$k= \dfrac{1}{2}$
Desweiteren gilt $B(2 \mid -4)$ und $B'(2 \mid -2)$. Dadurch folgt für den Affinitätsmaßstab $k$ anhand der Gleichung für die $y$-Koordinaten:
$\begin{array}[t]{rll} y_B'&=& k \cdot y_B \\[5pt] -2&=& k \cdot (-4) & \quad \scriptsize \mid \, :(-4) \\[5pt] \dfrac{1}{2}&=& k \\[5pt] \end{array}$
$k=\dfrac{1}{2}$
Zuletzt gilt $C(6 \mid 8)$ und $C'(6 \mid 4)$. Somit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} y_C'&=& k \cdot y_C \\[5pt] 4&=& k \cdot 8 & \quad \scriptsize \mid \, :8 \\[5pt] \dfrac{1}{2}&=& k \\[5pt] \end{array}$
$k=\dfrac{1}{2}$
Da der Affinitätsmaßstab für alle drei Punkte identisch ist gilt für den Affinitätsmaßstab $k=\dfrac{1}{2}$.
#koordinatenform

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Affinitätsmaßstab und Koordinaten des Bildpunktes bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du den Affinitätsmaßstab $k$ und die Koordinaten des Bildpunktes bestimmen. Hierfür hast du gegeben, dass die Punkte $A(2 \mid 1)$ und $B(-2 \mid 2)$ durch orthogonale Affinität mit dem Affinitätsmaßstab $k$ auf die Bildpunkte $A'(2 \mid -7)$ und $B'$ abgebildet werden.
Für die Koordinaten eines Bildpunktes $P'(x' \mid y')$, welcher durch orthogonale Affinität mit dem Affinitätsmaßstab $k$ von dem Punkt $P( x\mid y)$ abgebildet wird, gelten folgende Abbildungsgleichungen in Koordinatenform:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& x \\ \text{II}\quad& y'&=& k \cdot y \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& x \\ \text{II}\quad& y'&=& k \cdot y \\ \end{array}$
Hierbei hast du die Koordinaten des Bildpunktes $A'(2 \mid -7)$ und den ursprünglichen Punkt $A(2 \mid 1)$ gegeben. Somit kannst du den Affinitätsmaßstab $k$ mit der Gleichung für die $y$-Koordinate wie folgt bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} y_A'&=& k \cdot y_A \\[5pt] -7&=& k \cdot 1 \\[5pt] -7&=& k \\[5pt] \end{array}$
Somit gilt $k=-7$ und damit folgen für die Koordinaten des Bildpunktes $B'$ mit dem Punkt $B(-2 \mid 2)$ folgende Gleichungen:
$\begin{array}[t]{rll} x_B'&=& x_B \\[5pt] &=& -2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y_B'&=& k \cdot y_B \\[5pt] &=& -7 \cdot 2 \\[5pt] &=& -14 \\[5pt] \end{array}$
Dadurch gilt $B'(-2 \mid -14)$.
b)
$\blacktriangleright$  Affinitätsmaßstab und Koordinaten des Bildpunktes bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du den Affinitätsmaßstab $k$ und die Koordinaten des Bildpunktes bestimmen. Hierfür hast du gegeben, dass die Punkte $A(-3 \mid 4)$ und $B(-7 \mid 5)$ durch orthogonale Affinität mit dem Affinitätsmaßstab $k$ auf die Bildpunkte $A'$ und $B'(-7 \mid -15)$ abgebildet werden.
Für die Koordinaten eines Bildpunktes $P'(x' \mid y')$, welcher durch orthogonale Affinität mit dem Affinitätsmaßstab $k$ von dem Punkt $P( x\mid y)$ abgebildet wird, gelten folgende Abbildungsgleichungen in Koordinatenform:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& x \\ \text{II}\quad& y'&=& k \cdot y \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& x \\ \text{II}\quad& y'&=& k \cdot y \\ \end{array}$
Hierbei hast du die Koordinaten des Bildpunktes $B'(-7 \mid -15)$ und den ursprünglichen Punkt $B(-7 \mid 5)$ gegeben. Somit kannst du den Affinitätsmaßstab $k$ mit der Gleichung für die $y$-Koordinate wie folgt bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} y_A'&=& k \cdot y_A \\[5pt] -15&=& k \cdot 5 & \quad \scriptsize \mid \, :5 \\[5pt] -3&=& k \\[5pt] \end{array}$
$k=-3 $
Somit gilt $k=-3$ und damit folgen für die Koordinaten des Bildpunktes $A'$ mit dem Punkt $A(-3 \mid 4)$ folgende Gleichungen:
$\begin{array}[t]{rll} x_A'&=& x_A \\[5pt] &=& -3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y_A'&=& k \cdot y_A \\[5pt] &=& -3 \cdot -3 \\[5pt] &=& 9 \\[5pt] \end{array}$
Dadurch gilt $B'(-3 \mid 9)$.
c)
$\blacktriangleright$  Affinitätsmaßstab und Koordinaten des Bildpunktes bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du den Affinitätsmaßstab $k$ und die Koordinaten des Bildpunktes bestimmen. Hierfür hast du gegeben, dass die Punkte $A(1 \mid 2)$ und $B(0 \mid 4)$ durch orthogonale Affinität mit dem Affinitätsmaßstab $k$ auf die Bildpunkte $A'(1 \mid 6)$ und $B'$ abgebildet werden.
Für die Koordinaten eines Bildpunktes $P'(x' \mid y')$, welcher durch orthogonale Affinität mit dem Affinitätsmaßstab $k$ von dem Punkt $P( x\mid y)$ abgebildet wird, gelten folgende Abbildungsgleichungen in Koordinatenform:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& x \\ \text{II}\quad& y'&=& k \cdot y \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& x \\ \text{II}\quad& y'&=& k \cdot y \\ \end{array}$
Hierbei hast du die Koordinaten des Bildpunktes $A'(1 \mid 6)$ und den ursprünglichen Punkt $A(1 \mid 2)$ gegeben. Somit kannst du den Affinitätsmaßstab $k$ mit der Gleichung für die $y$-Koordinate wie folgt bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} y_A'&=& k \cdot y_A \\[5pt] 6&=& k \cdot 2 & \quad \scriptsize \mid \, :2 \\[5pt] 3&=& k \\[5pt] \end{array}$
$k=3$
Somit gilt $k=3$ und damit folgen für die Koordinaten des Bildpunktes $B'$ mit dem Punkt $B(0 \mid 4)$ folgende Gleichungen:
$\begin{array}[t]{rll} x_B'&=& x_B \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y_B'&=& k \cdot y_B \\[5pt] &=& 3 \cdot 4 \\[5pt] &=& 12 \\[5pt] \end{array}$
Dadurch gilt $B'(0 \mid 12)$.
#koordinatenform

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Du sollst die Funktionsgleichung des Bildgraphen $f'$ bestimmen. Hierfür hast du gegeben, dass der Graph der Funktion $f$ durch orthogonale Affinität mit dem Affinitätsmaßstab $k=3$ auf den Bildgraphen $f'$ abgebildet wird. Hierfür ist die Funktionsgleichung der Funktion $f$ durch $f: y=-x+2$ gegeben.
Für die Koordinaten eines Bildpunktes $P'(x' \mid y')$, welcher durch orthogonale Affinität mit dem Affinitätsmaßstab $k$ von dem Punkt $P( x\mid y)$ abgebildet wird, gelten folgende Abbildungsgleichungen in Koordinatenform:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& x \\ \text{II}\quad& y'&=& k \cdot y \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& x \\ \text{II}\quad& y'&=& k \cdot y \\ \end{array}$
Du kannst die gegebenen Gleichungen nach den Koordinaten $x$ und $y$ umformen und in die ursprüngliche Funktionsgleichung $f: y=-x+2$ einsetzen und dadurch die Funktionsgleichung des Bildgraphen mit den Koordinaten $x'$ und $y'$ bestimmen.
Hierbei gilt $k=3$. Daraus folgt für die Gleichungen der Koordinaten:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& x \\ \text{II}\quad& y'&=& 3 \cdot y &\quad \scriptsize\mid\; :3 \\ \hline \text{I}\quad& x'&=& x \\ \text{II}\quad& \dfrac{1}{3} \cdot y'&=& y \\ \end{array}$
$\text{I}: x'=\dotsc $
Die Gleichungen $\text{I}$ und $\text{II}$ kannst du in die gegebene Funktionsgleichung $f: y=-x+2$ einsetzen und damit folgt für die Funktionsgleichung des Bildgraphen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -x+2 \\[5pt] \dfrac{1}{3} \cdot y' &=& - x' +2 & \quad \scriptsize \mid \, \cdot 3\\[5pt] y' &=& -3 \cdot x' +6 \\[5pt] \end{array}$
$y'=-3x'+6$
Somit gilt für die Funktionsgleichung des Bildgraphen $f': y'=-3\cdot x'+6$.
b)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Du sollst die Funktionsgleichung des Bildgraphen $f'$ bestimmen. Hierfür hast du gegeben, dass der Graph der Funktion $f$ durch orthogonale Affinität mit dem Affinitätsmaßstab $k=-2$ auf den Bildgraphen $f'$ abgebildet wird. Hierfür ist die Funktionsgleichung der Funktion $f$ durch $f: y=x^2-x+4$ gegeben.
Für die Koordinaten eines Bildpunktes $P'(x' \mid y')$, welcher durch orthogonale Affinität mit dem Affinitätsmaßstab $k$ von dem Punkt $P( x\mid y)$ abgebildet wird, gelten folgende Abbildungsgleichungen in Koordinatenform:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& x \\ \text{II}\quad& y'&=& k \cdot y \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& x \\ \text{II}\quad& y'&=& k \cdot y \\ \end{array}$
Du kannst die gegebenen Gleichungen nach den Koordinaten $x$ und $y$ umformen und in die ursprüngliche Funktionsgleichung $f: y=x^2-x+4$ einsetzen und dadurch die Funktionsgleichung des Bildgraphen mit den Koordinaten $x'$ und $y'$ bestimmen.
Hierbei gilt $k=-2$. Daraus folgt für die Gleichungen der Koordinaten:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& x \\ \text{II}\quad& y'&=& -2 \cdot y &\quad \scriptsize\mid\; :(-2) \\ \hline \text{I}\quad& x'&=& x \\ \text{II}\quad& -\dfrac{1}{2} \cdot y'&=& y \\ \end{array}$
$\text{I}: x'=\dotsc $
Die Gleichungen $\text{I}$ und $\text{II}$ kannst du in die gegebene Funktionsgleichung $f: y=-x+2$ einsetzen und damit folgt für die Funktionsgleichung des Bildgraphen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-x+4 \\[5pt] -\dfrac{1}{2} \cdot y'&=& x'^2-x'+4 & \quad \scriptsize \mid \, \cdot (-2)\\[5pt] y' &=& -2 \cdot x'^2 +2 \cdot x' -8 \\[5pt] \end{array}$
$y'=-2x'^2 +\dotsc$
Somit gilt für die Funktionsgleichung des Bildgraphen $f': y'= -2 x'^2 +2 x' -8$.
c)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Du sollst die Funktionsgleichung des Bildgraphen $f'$ bestimmen. Hierfür hast du gegeben, dass der Graph der Funktion $f$ durch orthogonale Affinität mit dem Affinitätsmaßstab $k=-0,25$ auf den Bildgraphen $f'$ abgebildet wird. Hierfür ist die Funktionsgleichung der Funktion $f$ durch $f: y=3x^2-12x$ gegeben.
Für die Koordinaten eines Bildpunktes $P'(x' \mid y')$, welcher durch orthogonale Affinität mit dem Affinitätsmaßstab $k$ von dem Punkt $P( x\mid y)$ abgebildet wird, gelten folgende Abbildungsgleichungen in Koordinatenform:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& x \\ \text{II}\quad& y'&=& k \cdot y \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& x \\ \text{II}\quad& y'&=& k \cdot y \\ \end{array}$
Du kannst die gegebenen Gleichungen nach den Koordinaten $x$ und $y$ umformen und in die ursprüngliche Funktionsgleichung $f: y=3x^2-12x$ einsetzen und dadurch die Funktionsgleichung des Bildgraphen mit den Koordinaten $x'$ und $y'$ bestimmen.
Hierbei gilt $k=-0,25$. Daraus folgt für die Gleichungen der Koordinaten:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& x \\ \text{II}\quad& y'&=& -0,25 \cdot y &\quad \scriptsize\mid\; :(-0,25) \\ \hline \text{I}\quad& x'&=& x \\ \text{II}\quad& -4 \cdot y'&=& y \\ \end{array}$
$\text{I}: x'=\dotsc $
Die Gleichungen $\text{I}$ und $\text{II}$ kannst du in die gegebene Funktionsgleichung $f: y=3x^2-12x$ einsetzen und damit folgt für die Funktionsgleichung des Bildgraphen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 3x^2-12x \\[5pt] -4 \cdot y'&=& 3x'^2-12x' & \quad \scriptsize \mid \, : (-4)\\[5pt] y' &=& -0,75 \cdot x'^2 +3 \cdot x' \\[5pt] \end{array}$
$y'=-0,75 \cdot x'^2 +\dotsc$
Somit gilt für die Funktionsgleichung des Bildgraphen $f': y'= -0,75 x'^2 +3 x' $.
d)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Du sollst die Funktionsgleichung des Bildgraphen $f'$ bestimmen. Hierfür hast du gegeben, dass der Graph der Funktion $f$ durch orthogonale Affinität mit dem Affinitätsmaßstab $k=4$ auf den Bildgraphen $f'$ abgebildet wird. Hierfür ist die Funktionsgleichung der Funktion $f$ durch $f: y=\sqrt{x+2} -2$ gegeben.
Für die Koordinaten eines Bildpunktes $P'(x' \mid y')$, welcher durch orthogonale Affinität mit dem Affinitätsmaßstab $k$ von dem Punkt $P( x\mid y)$ abgebildet wird, gelten folgende Abbildungsgleichungen in Koordinatenform:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& x \\ \text{II}\quad& y'&=& k \cdot y \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& x \\ \text{II}\quad& y'&=& k \cdot y \\ \end{array}$
Du kannst die gegebenen Gleichungen nach den Koordinaten $x$ und $y$ umformen und in die ursprüngliche Funktionsgleichung $f: y=\sqrt{x+2} -2$ einsetzen und dadurch die Funktionsgleichung des Bildgraphen mit den Koordinaten $x'$ und $y'$ bestimmen.
Hierbei gilt $k=4$. Daraus folgt für die Gleichungen der Koordinaten:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& x \\ \text{II}\quad& y'&=& 4 \cdot y &\quad \scriptsize\mid\; :4 \\ \hline \text{I}\quad& x'&=& x \\ \text{II}\quad& \dfrac{1}{4} \cdot y'&=& y \\ \end{array}$
$\text{I}: x'=\dotsc $
Die Gleichungen $\text{I}$ und $\text{II}$ kannst du in die gegebene Funktionsgleichung $f: y=\sqrt{x+2} -2$ einsetzen und damit folgt für die Funktionsgleichung des Bildgraphen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& \sqrt{x+2} -2\\[5pt] \dfrac{1}{4} \cdot y'&=& \sqrt{x'+2} -2 & \quad \scriptsize \mid \, \cdot 4\\[5pt] y' &=& 4 \cdot \sqrt{x'+2} -8 \\[5pt] \end{array}$
$y'= \dotsc $
Somit gilt für die Funktionsgleichung des Bildgraphen $f': y'= 4 \cdot \sqrt{x'+2} -8 $.
#koordinatenform
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