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sss

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Zwei Dreiecke heißen kongruent, wenn sie deckungsgleich sind. Das bedeutet, dass du sie durch Verschiebung, Drehung oder Spiegelung ineinander überführen kannst. Wenn du die Dreiecke also ausschneiden würdest und dann deckungsgleich aufeinander legen kannst, sind sie kongruent.
Mathematisch kann man Kongruenz von Dreiecken mit den vier Kongruenzsätzen sss, wsw, Ssw und sws zeigen. Dabei musst du dir überlegen, welche Angaben du von einem Dreieck brauchst, damit es eindeutig konstruierbar ist. Welche der sechs Größen (drei Winkel, drei Seiten) eines Dreiecks musst du also kennen?
Kongruenzsatz sss
Wenn zwei Dreiecke paarweise in den Längen von drei Seiten übereinstimmen, sind sie kongruent. Die Abkürzung sss steht für Seite - Seite - Seite. Wenn du also drei Seiten eines Dreiecks kennst, ist es eindeutig konstruierbar.

Beispiele


Die beiden Dreiecke sind kongruent, da sie paarweise in den Längen aller drei Seiten übereinstimmen (Kongruenzsatz sss). Wir können das linke Dreieck spiegeln und erhalten so das rechte Dreieck.


Auch hier sind paarweise die Seiten gleich lang und die beiden Dreiecke somit kongruent (Kongruenzsatz sss). Wenn wir das linke Dreieck drehen und verschieben erhalten wir das rechte Dreieck.
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Aufgaben
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1. Konstruktionsbeschreibung
Konstruiere ein Dreieck mit folgenden Seitenlängen: $a=3,4\,\text{cm}$, $b=3,9\,\text{cm}$, $c=5,2\,\text{cm}$. Beschreibe deine Konstruktion schrittweise.
2. Dreiecke im Koordinatensystem
Konstruiere das Dreieck $ABC$ im Koordinatensystem. Gib die Koordinaten des fehlenden Punktes näherungsweise an. Bestimme alle drei Winkel und berechne die Winkelsumme. Warum kommst du eventuell nicht auf die Winkelsumme eines Dreiecks?
a)  $A\left( 1\mid1\right)$; $B\left( 4\mid2\right)$; $a=1,7\,\text{cm}$; $b=1,8\,\text{cm}$
b)  $A\left( 1\mid3 \right)$; $C\left( 2\mid0 \right)$; $a=1,3\,\text{cm}$; $c=2,3\,\text{cm}$
3. Kongruenz
Welche Dreiecke sind kongruent und warum?
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Lösungen
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1. Konstruktionsbeschreibung
  1. Zeichne eine Strecke $\overline{AB}$ der Länge $c=5,2\,\text{cm}$.
  2. Zeichne um $A$ einen Kreis mit dem Radius $b=3,9\,\text{cm}$. So erhältst du alle Punkte mit dem Abstand $3,9\,\text{cm}$ von $A$.
  3. Zeichne um $B$ einen Kreis mit dem Radius $a=3,4\,\text{cm}$. So erhältst du alle Punkte mit dem Abstand $3,4\,\text{cm}$ von $B$.
  4. Bezeichne die Schnittpunkte mit $C_1$ und $C_2$. Zeichne das Dreieck $ABC_1$ oder $ABC_2$.
Bei der Konstruktion kannst du zwischen zwei Dreiecken wählen. Diese Dreiecke sind kongruent, da sie paarweise drei gleich lange Seiten haben (Kongruenzsatz sss). Somit ist das Dreieck eindeutig konstruierbar.
2. Dreiecke im Koordinatensystem
a)
$C\left( 2,4\mid 2,3\right)$; $\alpha=23,9^\circ$; $\beta=26,5^\circ$; $\gamma=129,6^\circ$
Winkelsumme: $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$
Alternative Lösung:
$C\left( 2,8\mid 0,8\right)$; $\alpha=23,9^\circ$; $\beta=26,5^\circ$; $\gamma=129,6^\circ$
Winkelsumme: $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$
Eine leichte Abweichung der Winkelsumme ist in Ordnung. Sie entsteht durch Fehler beim Ablesen der Winkel.
b)
$B\left( 2,4\mid1,2\right)$ $\alpha=20,2^\circ$ $\beta=121,4^\circ$ $\gamma=38,4^\circ$
Winkelsumme: $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$
Alternative Lösung:
$B\left( 0,9\mid 0,7\right)$; $\alpha=20,2^\circ$ $\beta=121,4^\circ$ $\gamma=38,4^\circ$
Winkesumme: $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$
3. Kongruenz
Die Dreiecke 1, 3 und 6 sind kongruent, da sie paarweise in den Längen der drei Seiten übereinstimmen (Kongruenzsatz sss).
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