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Ssw

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Kongruenzsatz Ssw
Wenn zwei Dreiecke paarweise in der Länge von zwei Seiten und der Größe des Winkels, welcher der längeren Seite gegenüberliegt, übereinstimmen, sind sie kongruent. Die Abkürzung Ssw steht für Seite - Seite - Winkel. Das erste „S“ ist groß geschrieben, da es für die längere Seite steht. Wenn du zwei Seiten und den der längeren Seite gegenüberliegenden Winkel eines Dreiecks kennst, ist es eindeutig konstruierbar.

Beispiele

Kongruenz: Ssw
Kongruenz: Ssw

Die beiden Dreiecke sind kongruent, da sie paarweise in der Länge von zwei Seiten und der Größe des Winkels, welcher der längeren Seite gegenüberliegt, übereinstimmen (Kongruenzsatz Ssw). Wir können das linke Dreieck spiegeln und erhalten so das rechte Dreieck.
Kongruenz: Ssw
Kongruenz: Ssw

Auch hier sind paarweise zwei Seiten gleich lang und der Winkel, welcher der längeren Seite gegenüberliegt, gleich groß. Die beiden Dreiecke sind kongruent (Kongruenzsatz Ssw). Wenn wir das linke Dreieck drehen und verschieben erhalten wir das rechte Dreieck.
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Aufgaben
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1. Konstruktionsbeschreibung
a)  Konstruiere ein Dreieck mit folgenden Angaben: $b=10,6\,\text{cm}$, $c=9\,\text{cm}$, $\beta=107 ^\circ$. Der Winkel $\beta$ liegt dabei der größeren Seite $b$ gegenüber. Beschreibe deine Konstruktion schrittweise.
b)  Jetzt ist nicht mehr der Winkel im Punkt $B$ gegeben, sondern der Winkel im Punkt $C$. Ist das Dreieck trotzdem eindeutig konstruierbar? Zeichne dafür ein Dreieck mit folgenden Angaben: $b=10,6\,\text{cm}$, $c=9\,\text{cm}$, $\gamma=54^\circ$. Beschreibe deine Konstruktion schrittweise.
2. Dreiecke im Koordinatensystem
Konstruiere das Dreieck $ABC$ im Koordinatensystem. Gib die Koordinaten des fehlenden Punktes näherungsweise an.
a)  $A\left( 9\mid1\right)$; $C\left( 6\mid5\right)$;
$c=8,4\,\text{cm}$; $\gamma=76^\circ$
b)  $B\left( -3\mid7\right)$; $C\left( 4\mid8\right)$;
$b=10\,\text{cm}$; $\beta=60^\circ$ stimmt noch nicht
3. Zwei Dreiecke
Konstruiere zwei Dreiecke mit $a=6,7\,\text{cm}$, $b=2\,\text{cm}$, $\beta=8,6^\circ$ . Die Dreiecke sollen nicht kongruent sein.
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Lösungen
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1. Konstruktionsbeschreibung
a)
  1. Zeichne eine Strecke $\overline{AB}$ der Länge $c=9\,\text{cm}$.
  2. Trage den Winkel $\beta=60 ^\circ$ im Punkt $B$ an. Du erhältst zwei freie Schenkel.
  3. Zeichne einen Kreis um $A$ mit dem Radius $b=10,6\,\text{cm}$. So erhältst du alle Punke mit einem Abstand von $10,6\,\text{cm}$ von $A$.
  4. Beschrifte die Schnittpunkte der beiden freien Schenkel mit dem Kreis um $A$ mit $C_1$ und $C_2$.
  5. Zeichne das Dreieck $ABC_1$ oder $ABC_2$.
Kongruenz: Ssw
Kongruenz: Ssw
Bei der Konstruktion kannst du zwischen zwei Dreiecken wählen. Diese Dreiecke sind kongruent, da sie paarweise zwei gleich lange Seiten haben und in der Größe des Winkels, welcher der längeren Seite gegenüberliegt, übereinstimmen (Kongruenzsatz Ssw). Somit ist das Dreieck eindeutig konstruierbar.
Zur Kontrolle: Die Seite $a$ des Dreiecks sollte ungefähr eine Länge von $3,6\; \text{cm}$ haben.
b)
  1. Zeichne eine Strecke $\overline{AC}$ der Länge $b=10,6\,\text{cm}$.
  2. Trage den Winkel $\gamma=54^\circ$ im Punkt $C$ an. Du erhältst zwei freie Schenkel.
  3. Zeichne einen Kreis um $A$ mit dem Radius $c=9\,\text{cm}$. So erhältst du alle Punke mit einem Abstand von $9\,\text{cm}$ von $A$.
  4. Beschrifte die Schnittpunkte der beiden freien Schenkel mit dem Kreis um $A$ mit $B_1$, $B_2$, $B_3$ und $B_4$.
  5. Zeichne das Dreieck $AB_1C$, $AB_2C$, $AB_3C$ und $AB_4C$.
Kongruenz: Ssw
Kongruenz: Ssw
Kongruenz: Ssw
Kongruenz: Ssw
Bei der Konstruktion erhältst du vier Dreiecke, welche nicht alle kongruent sind. Die Dreiecke $AB_1C$ und $AB_2C$, sowie $AB_3C$ und $AB_4C$ sind kongruent nach dem Kongruenzsatz Ssw. Jedoch sind zum Beispiel die Dreiecke $AB_1C$ und $AB_3C$ nicht kongruent. Somit ist das Dreieck nicht eindeutig konstruierbar. An diesem Beispiel siehst du, dass der Kongruenzsatz Ssw nur gilt, wenn der gegebene Winkel der größeren Seite gegenüberliegt.
2. Dreiecke im Koordinatensystem
Bei der Konstruktion kannst du zwischen zwei Dreiecken wählen. Nach dem Kongruenzsatz Ssw sind sie kongruent.
a)
Kongruenz: Ssw
Kongruenz: Ssw
Fehlende Koordinate: $B_1\left( 0,9\mid-1,2\right)$ oder $B_2\left( 13,4\mid8,2\right)$
b)
Kongruenz: Ssw
Kongruenz: Ssw
Fehlende Koordinate: $A_1\left( 4\mid-2\right)$ oder $A_2\left( 1,2\mid17,6\right)$
3. Zwei Dreiecke
Es sind zwei Seiten und ein Winkel gegeben. Der Winkel $\beta$ liegt der kleineren Seite $b$ gegenüber. Deswegen kannst du zwei nicht kongruente Dreiecke $A_1BC$ und $A_2BC$ mit den geforderten Angaben konstruieren.
Kongruenz: Ssw
Kongruenz: Ssw
Kongruenz: Ssw
Kongruenz: Ssw
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