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Einführung

Spickzettel
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Zwei Geraden verlaufen durch einen Scheitel $S$ und werden von zwei weiteren, zueinander parallelen Geraden geschnitten. Mit Hilfe der Strahlensätze können Streckenverhältnisse und unbekannte Streckenlängen ermittelt werden. Es gibt insgesamt $3$ Strahlensätze:
1. Strahlensatz:
$\dfrac{\overline{SA}}{\overline{SA'}} = \dfrac{\overline{SB}}{\overline{SB'}}$ und $\dfrac{\overline{SA}}{\overline{AA'}} = \dfrac{\overline{SB}}{\overline{BB'}}$ sowie $\dfrac{\overline{SA'}}{\overline{AA'}} = \dfrac{\overline{SB'}}{\overline{BB'}}$
2. Strahlensatz:
$\dfrac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \dfrac{\overline{SA}}{\overline{SA'}}$ und $\dfrac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \dfrac{\overline{SB}}{\overline{SB'}}$
Für den 3. Strahlensatz kommt nun eine weitere Gerade hinzu. Hier gilt nun nur noch die nebenstehende Abbdildung.
3. Strahlensatz:
$\dfrac{\overline{AC}}{\overline{CB}} = \dfrac{\overline{A'C'}}{\overline{C'B'}}$ und $\dfrac{\overline{AC}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{A'C'}}{\overline{A'B'}}$ sowie
$\dfrac{\overline{CB}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{C'B'}}{\overline{A'B'}}$

Beispiel

Hier kannst du beispielsweise den 1. Strahlensatz verwenden um die Länge der Strecke $\overline{CD}$ zu berechnen:
$\dfrac{\color{#A0321E}{\overline{SA}}}{\color{#2D6EC8}{\overline{AB}}}=\dfrac{\color{#A0321E}{\overline{SC}}}{\color{#2D6EC8}{\overline{CD}}} \Rightarrow \color{#2D6EC8}{\overline{CD}}= \dfrac{\color{#A0321E}{\overline{SC}} \cdot \color{#2D6EC8}{\overline{AB}}}{\color{#A0321E}{\overline{SA}}}$
Also:
$\overline{CD}= \dfrac{7\,\text{m} \cdot 2\,\text{m}}{5\,\text{m}}= 2,8 \,\text{m}$
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Aufgaben
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1.  Berechne die Länge der gesuchten Strecke.
a) 
$\overline{SA}=2\,\text{cm}$
$\overline{SC}=2,5\,\text{cm}$
$\overline{SB}=3\,\text{cm}$
$\overline{SD}= ?$
b) 
$\overline{AC}=1\,\text{cm}$
$\overline{SC}=2\,\text{cm}$
$\overline{BD}=1,5\,\text{cm}$
$\overline{SD}= ?$
c) 
$\overline{SA}=3\,\text{cm}$
$\overline{AB}=1\,\text{cm}$
$\overline{CD}=1,5\,\text{cm}$
$\overline{SC} = ? $
d) 
$\overline{SB}=2\,\text{cm}$
$\overline{BD}=2\,\text{cm}$
$\overline{AC}=1\,\text{cm}$
$\overline{SC} = ? $
2.  Berechne die gesuchte Streckenlänge.
a) 
$\overline{C'A'}=3\,\text{cm}$
$\overline{C'B'}=2\,\text{cm}$
$\overline{AB}=4\,\text{cm}$
$\overline{AC}= ?$
b) 
$\overline{XY}=2\,\text{cm}$
$\overline{SW}=2,5\,\text{cm}$
$\overline{SX}=3\,\text{cm}$
$\overline{WZ}= ?$
c) 
$\overline{SB}=4\,\text{cm}$
$\overline{AB}=2,5\,\text{cm}$
$\overline{SX}=2\,\text{cm}$
$\overline{XY} = ? $
d) 
$\overline{ST}=2\,\text{cm}$
$\overline{QR}=5\,\text{cm}$
$\overline{SR}=1,5\,\text{cm}$
$\overline{PT} = ? $
3. 
Eine Lochkamera ist das einfachste Gerät, um eine optische Abbildung zu erzeugen. Die Lichtstrahlen treffen durch ein kleines Loch auf die Rückwand der Kamera.
$a=5$ cm, $b=50$ cm, $c=25$ cm
Bestimme die Höhe $f$ der Abbildung.
3. 
Eine Lochkamera ist das einfachste Gerät, um eine optische Abbildung zu erzeugen. Die Lichtstrahlen treffen durch ein kleines Loch auf die Rückwand der Kamera.
$a=5$ cm, $b=50$ cm, $c=25$ cm
Bestimme die Höhe $f$ der Abbildung.
© SchulLV 2015
4. 
Es soll ein Carport mit schräger Dachneigung aufgebaut werden.
Welche Länge $d$ muss der Balken haben?
Es soll ein Carport mit schräger Dachneigung aufgebaut werden.
Welche Länge $d$ muss der Balken haben?
5. 
Der Förster Sebastian will die Höhe eines Baumes bestimmen. Dafür stellt er einen $2$ m hohen Pfahl auf den Boden. Er visiert den Pfahl und die Baumspitze an. Er geht einige Schritte zurück, bis sich der Pfahl mit dem Baum deckt. Von diesem Punkt aus misst er die Strecke zum Pfahl und zum Baum.
Wie hoch ist der Baum, wenn der Förster 1,80 m groß ist?
Der Förster Sebastian will die Höhe eines Baumes bestimmen. Dafür stellt er einen $2$ m hohen Pfahl auf den Boden. Er visiert den Pfahl und die Baumspitze an. Er geht einige Schritte zurück, bis sich der Pfahl mit dem Baum deckt. Von diesem Punkt aus misst er die Strecke zum Pfahl und zum Baum.
Wie hoch ist der Baum, wenn der Förster 1,80 m groß ist?
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Lösungen
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1.  Fehlende Streckenlänge berechnen
a)  Du kannst die Aufgabe mit dem ersten Strahlensatz lösen:
$\begin{array}{rll} \dfrac{\overline{SA}}{\overline{SB}}&=&\dfrac{\overline{SC}}{\overline{SD}}&\scriptsize\; \text{Werte einsetzen} \\[5pt] \dfrac{2}{3}&=&\dfrac{2{,}5}{x}&\scriptsize\mid\;\cdot x \\[5pt] x\cdot\dfrac{2}{3}&=&2{,}5&\scriptsize\mid\;:\dfrac{2}{3} \\[5pt] x&=&3{,}75 \end{array}$
Die Strecke $\overline{SD}$ ist $3,75\,$cm lang.
b)  Du kannst die Aufgabe mit dem zweiten Strahlensatz lösen:
$\begin{array}{rll} \dfrac{\overline{SC}}{\overline{AC}}&=&\dfrac{\overline{SD}}{\overline{BD}}&\scriptsize\; \text{Werte einsetzen} \\[5pt] \dfrac{2}{1}&=&\dfrac{x}{1{,}5}&\scriptsize\mid\;\cdot 1{,}5 \\[5pt] 3&=&x \end{array}$
Die Strecke $\overline{SD}$ ist $3\,$cm lang.
c)  Du kannst die Aufgabe mit dem ersten Strahlensatz lösen. Wir schreiben $x$ für die Länge der Strecken $\overline{SC}$. Achte zunächst auf Folgendes:
$\overline{SB}=\overline{SA}+\overline{AB}=3\,\text{cm}+1\,\text{cm}=4\,\text{cm}$
und
$\overline{SD}=\overline{SC}+\overline{CD}=x\,\text{cm}+1{,}5\,\text{cm}$.
Wende jetzt den Strahlensatz an:
$\begin{array}{rll} \dfrac{\overline{SA}}{\overline{SB}}&=&\dfrac{\overline{SC}}{\overline{SD}}&\scriptsize\; \text{Werte einsetzen} \\[5pt] \dfrac{3}{4}&=&\dfrac{x}{1{,}5+x}&\scriptsize\mid\;\cdot (1{,}5+x) \\[5pt] \dfrac{3}{4}\cdot(1{,}5+x)&=&x&\scriptsize\; \text{ausmultiplizieren} \\[5pt] 1{,}125+\dfrac{3}{4}x&=&x&\scriptsize\mid\;-\dfrac{3}{4}x \\[5pt] 1{,}125&=&0{,}25x&\scriptsize\mid\;:0{,}25 \\[5pt] 4{,}5&=&x \end{array}$
Die Strecke $\overline{SC}$ ist $4,5\,$cm lang.
d)  Du kannst die Aufgabe mit dem zweiten Strahlensatz lösen:
$\begin{array}{rll} \dfrac{\overline{SB}}{\overline{BD}}&=&\dfrac{\overline{SC}}{\overline{AC}}&\scriptsize\; \text{Werte einsetzen} \\[5pt] \dfrac{2}{2}&=&\dfrac{x}{1} \\[5pt] 1&=&x \end{array}$
Die Strecke $\overline{SC}$ ist $1\,$cm lang.
2.  Fehlende Streckenlänge berechnen
a)  Du kannst die Aufgabe mit dem dritten Strahlensatz lösen:
$\begin{array}{rll} \dfrac{\overline{AC}}{\overline{AB}}&=&\dfrac{\overline{C'A'}}{\overline{A'B'}}&\scriptsize \mid\; \overline{A'B'}=\overline{C'A'}+\overline{C'B'} \\[5pt] \dfrac{\overline{AC}}{4}&=&\dfrac{3}{3+2}&\scriptsize\mid\;\cdot 4 \\[5pt] \overline{AC}&=&\dfrac{12}{5}&\scriptsize \\[5pt] &=&2,4 \end{array}$
Die Strecke $\overline{AC}$ ist $2,4\,$cm lang.
b)  Du kannst die Aufgabe mit dem ersten Strahlensatz lösen:
$\begin{array}{rll} \dfrac{\overline{SX}}{\overline{XY}}&=&\dfrac{\overline{SW}}{\overline{WZ}}&\scriptsize\; \text{Werte einsetzen} \\[5pt] \dfrac{3}{2}&=&\dfrac{2,5}{\overline{WZ}}&\scriptsize\mid\;\cdot \overline{WZ}\\[5pt] \dfrac{3}{2}\overline{WZ}&=&2,5&\scriptsize\mid\;\cdot \dfrac{2}{3}\\[5pt] \overline{WZ}&=&\dfrac{5}{3} \approx 1,7 \end{array}$
Die Strecke $\overline{WZ}$ ist ca. $1,7\,$cm lang.
c)  Du kannst die Aufgabe mit dem zweiten Strahlensatz lösen.
$\begin{array}{rll} \dfrac{\overline{XY}}{\overline{AB}}&=&\dfrac{\overline{SX}}{\overline{SB}}&\scriptsize\; \text{Werte einsetzen} \\[5pt] \dfrac{\overline{XY}}{2,5}&=&\dfrac{2}{4}&\scriptsize\mid\;\cdot 2,5 \\[5pt] \overline{XY}&=&1,25&\scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Strecke $\overline{XY}$ ist $1,25\,$cm lang.
d)  Du kannst die Aufgabe mit dem zweiten Strahlensatz lösen:
$\begin{array}{rll} \dfrac{\overline{ST}}{\overline{PT}}&=&\dfrac{\overline{SR}}{\overline{QR}}&\scriptsize\; \text{Werte einsetzen} \\[5pt] \dfrac{2}{\overline{PT}}&=&\dfrac{1,5}{5} &\mid\; \cdot \overline{PT} \\[5pt] 2&=&\dfrac{1,5}{5}\overline{PT} &\mid\;\cdot \dfrac{5}{1,5} \\[5pt] 6,7&\approx&\overline{PT} \\[5pt] \end{array}$
Die Strecke $\overline{PT}$ ist ca. $6,7\,$cm lang.
3.  Höhe der Abbildung berechnen
Du kannst die Aufgabe mit dem zweiten Strahlensatz lösen:
$\begin{array}{rll} \dfrac{b}{c}&=&\dfrac{a}{f}&\scriptsize\; \text{Werte einsetzen} \\[5pt] \dfrac{50}{25}&=&\dfrac{5}{f} \\[5pt] 2&=&\dfrac{5}{f}&\scriptsize\mid\;\cdot f \\[5pt] 2f&=&5&\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] f&=&2{,}5 \end{array}$
Die Abbildung ist $2,5\,$cm hoch.
© SchulLV 2015
4.  Länge des Balkens berechnen
Du kannst die Aufgabe mit dem zweiten Strahlensatz lösen.
$\begin{array}{rll} \dfrac{a}{d}&=&\dfrac{b}{c}&\scriptsize\;\text{Werte einsetzen} \\[5pt] \dfrac{4}{d}&=&\dfrac{8}{3}&\scriptsize\mid\;\cdot d \\[5pt] 4&=&\dfrac{8}{3}\cdot d&\scriptsize\mid\;:\dfrac{8}{3} \\[5pt] 1{,}5&=&d \end{array}$
Der Balken muss $1,5\,$m lang sein.
5.  Höhe des Baums berechnen
Fertige zu dieser Aufgabe zunächst eine Skizze an:
Gesucht ist also die Länge $x$. Die Höhe des Baumes ist dann $x+1{,}80$. Mit dem zweiten Strahlensatz kannst die Länge $x$ berechnen:
$\begin{array}{rll} \dfrac{1{,}5}{0{,}20}&=&\dfrac{6+1{,}5}{x} \\[5pt] 7{,}5&=&\dfrac{7{,}5}{x}&\scriptsize\mid\;\cdot x \\[5pt] 7{,}5x&=&7{,}5&\scriptsize\mid\;:7{,}5 \\[5pt] x&=&1 \end{array}$
Berechne jetzt die Höhe des Baumes: $1+1{,}80=2{,}80$. Der Baum ist $2,80\,$m hoch.
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