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Schnittwinkel im Koordinatensystem

Spickzettel
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Zeichnest du eine Gerade in ein Koordinatensystem, so kannst du sehen, dass jede Gerade auch immer mindestens eine der Koordinatenachsen schneidet. Dabei entsteht ein Winkel, der sogenannte Schnittwinkel.
Der Schnittwinkel ist immer der kleinste Winkel, den die Gerade mit der jeweiligen Koordinatenachse einschließt:
Algebra: Schnittwinkel im Koordinatensystem
  • $\color{#87c800}{\alpha} =$ Schnittwinkel mit der $x$-Achse
  • $\color{#dc1400}{\beta} =$ Schnittwinkel mit der $y$-Achse
Algebra: Schnittwinkel im Koordinatensystem
  • $\color{#87c800}{\alpha} =$ Schnittwinkel mit der $x$-Achse
  • $\color{#dc1400}{\beta} =$ Schnittwinkel mit der $y$-Achse
Algebra: Schnittwinkel im Koordinatensystem
  • $\color{#87c800}{\delta} =$ Schnittwinkel mit der $x$-Achse
  • $\color{#dc1400}{\gamma} =$ Schnittwinkel mit der $y$-Achse
Algebra: Schnittwinkel im Koordinatensystem
  • $\color{#87c800}{\delta} =$ Schnittwinkel mit der $x$-Achse
  • $\color{#dc1400}{\gamma} =$ Schnittwinkel mit der $y$-Achse

Berechnung

Gegeben: Geradengleichung $y = mx + b$
Die Schnittwinkel mit den Achsen berechnest du mit Hilfe des Steigungswerts $m$ wie folgt:
  1. Berechne $\alpha = |\tan^{-1}(m)|$
  2. Da der Schnittwinkel immer den kleinsten eingeschlossenen Winkel bezeichnet, musst du noch überprüfen, ob dies auch der richtige Winkel ist. Ist der berechnete Wert bereits kleiner als $90\,^{\circ}$, ist dies bereits der Schnittwinkel mit der $x$-Achse. Wenn nicht, berechne $180\,^{\circ}-\alpha $ und erhalte so den Schnittwinkel mit der $x$-Achse.
  3. Der Schnittwinkel mit der $y$-Achse ist dann $90\,^{\circ}-$ Schnittwinkel mit der $x$-Achse.
Gegeben: Schaubild des Graphen
Du kannst die Schnittwinkel berechnen, indem du dir jeweils ein entsprechendes rechtwinkliges Dreieck einzeichnest und die Winkelfunktionen $\sin$, $\cos$ und $\tan$ nutzt.
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Aufgaben
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1.
Zeichne die Geraden jeweils in ein geeignetes Koordinatensystem und trage die Schnittwinkel mit den Koordinatenachsen ein.
b)
$h:\, y = -0,5x + 2$
d)
$j:\, x = 1$
2.
Bestimme die Schnittwinkel mit den Koordinatenachsen.
b)
$y = -0,3x+2$
d)
$y = 2x $
3.
Berechne die Schnittwinkel mit den Koordinatenachsen der jeweiligen Gerade.
b)
Algebra: Schnittwinkel im Koordinatensystem Algebra: Schnittwinkel im Koordinatensystem
d)
Algebra: Schnittwinkel im Koordinatensystem Algebra: Schnittwinkel im Koordinatensystem
4.
Bestimme jeweils eine Gleichung einer Gerade, die folgende Eigenschaften erfüllt.
a)
$g$ schneidet die $x$-Achse in einem Winkel von $90\,^{\circ}\,$ und verläuft durch den Punkt $\quad P(1\mid 4)$.
b)
$h$ schneidet die $y$-Achse in einem Winkel von $30\,^{\circ}$ und verläuft durch den Punkt $\quad Q(2\mid 3)$.
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Lösungen
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1.
Gerade und Schnittwinkel einzeichnen
Die Geraden zeichnest du am einfachsten, indem du zwei Punkte berechnest, die darauf liegen und diese einzeichnest und dann die Gerade dadurch legst. Beachte hier, dass der Schnittwinkel mit der jeweiligen Achse immer der kleinere der entstehenden Winkel ist.
a)
$g:\, y = 2x+1 $
Setze zum Beispiel $x_1= 0$ und $x_2 =1$ ein, dann erhältst du die beiden Punkte $P(0\mid 1)$ und $Q(1\mid 3)$. Dann erhältst du folgende Lösung:
Algebra: Schnittwinkel im Koordinatensystem
Algebra: Schnittwinkel im Koordinatensystem
b)
$h:\, y = -0,5x + 2$
Setze zum Beispiel $x_1= 0$ und $x_2 =2$ ein, dann erhältst du die beiden Punkte $P(0\mid 2)$ und $Q(2\mid 1)$. Dann erhältst du folgende Lösung:
Algebra: Schnittwinkel im Koordinatensystem
Algebra: Schnittwinkel im Koordinatensystem
c)
$i:\, y = 2 $
Diese Gerade ist eine Parallele zur $x$-Achse, mit $y$-Achsenabschnitt $2$. Dementsprechend schneidet sie die $x$-Achse nicht, sodass es auch keinen Schnittwinkel mit der $x$-Achse gibt.
Algebra: Schnittwinkel im Koordinatensystem
Algebra: Schnittwinkel im Koordinatensystem
d)
$j:\, x = 1$
Diese Gerade ist eine Parallele zur $y$-Achse, mit $x$-Achsenabschnitt $1$. Dementsprechend schneidet sie die $y$-Achse nicht, sodass es auch keinen Schnittwinkel mit der $y$-Achse gibt.
Algebra: Schnittwinkel im Koordinatensystem
Algebra: Schnittwinkel im Koordinatensystem
2.
Schnittwinkel bestimmen
In dieser Aufgabe ist dir die Geradengleichung in der Form $y= mx+b$ gegeben. Du kannst die Schnittwinkel mit den Achsen dann wie folgt berechnen:
  1. Berechne $\alpha = |\tan^{-1}(m)|$
  2. Da der Schnittwinkel immer den kleinsten eingeschlossenen Winkel bezeichnet, musst du noch überprüfen, ob dies auch der richtige Winkel ist. Ist der berechnete Wert bereits kleiner als $90\,^{\circ}$, ist dies bereits der Schnittwinkel mit der $x$-Achse. Wenn nicht, berechne $180\,^{\circ}-\alpha $ und erhalte so den Schnittwinkel mit der $x$-Achse.
  3. Der Schnittwinkel mit der $y$-Achse ist dann $90\,^{\circ}-$ Schnittwinkel mit der $x$-Achse.
a)
$y = x + 1$
Gehe wie oben vor, hier ist $m = 1$:
  1. $\alpha = |\tan^{-1}(1)| = 45\,^{\circ}$
  2. $\alpha$ ist bereits kleiner als $90\,^{\circ}$, also ist dies genau der Schnittwinkel mit der $x$-Achse.
  3. Für den Schnittwinkel mit der $y$-Achse gilt damit $\beta= 90^{\circ}-45^{\circ} = 45^{\circ}$
Die beiden Schnittwinkel mit den Koordinatenachsen sind jeweils $45\,^{\circ}$ groß.
b)
$y = -0,3x+2$
Hier ist $m= -0,3$ und damit:
  1. $\alpha = |\tan^{-1}(-0,3)| \approx 16,7\,^{\circ}$
  2. $\alpha$ ist bereits kleiner als $90\,^{\circ}$, also ist dies gerade der Schnittwinkel mit der $x$-Achse.
  3. Für den Schnittwinkel mit der $y$-Achse gilt damit $\beta= 90^{\circ}-16,7^{\circ} = 73,3^{\circ}$
Die Gerade zu $y = -0,3x+2$ schneidet die $x$-Achse in einem Winkel von ca. $16,7\,^{\circ}$ und die $y$-Achse in einem Winkel von ca. $73,3\,^{\circ}$.
c)
$y = -1$
Diese Gerade ist eine Parallele zur $x$-Achse. Sie schneidet diese somit nicht. Das bedeutet wiederum, dass sie im rechten Winkel zur $y$-Achse verläuft. Der Schnittwinkel mit der $y$-Achse hat also eine Größe von $90\,^{\circ}$. Du kannst dies auch wie oben berechnen, indem du $m=0$ einsetzt:
  1. $\alpha = |\tan^{-1}(0)| = 0\,^{\circ}$
  2. $\alpha$ ist bereits kleiner als $90\,^{\circ}$, also ist dies gerade der Schnittwinkel mit der $x$-Achse.
  3. Für den Schnittwinkel mit der $y$-Achse gilt damit $\beta= 90^{\circ}-0^{\circ} = 90^{\circ}$
Die Gerade zu $y = -1$ schneidet die $x$-Achse nicht und die $y$-Achse im rechten Winkel.
d)
$y = 2x $
Hier ist $m=2$, also entsprechend:
  1. $\alpha = |\tan^{-1}(2)| \approx 63,4 \,^{\circ}$
  2. $\alpha$ ist bereits kleiner als $90\,^{\circ}$, also ist dies gerade der Schnittwinkel mit der $x$-Achse.
  3. Für den Schnittwinkel mit der $y$-Achse gilt damit $\beta= 90^{\circ}-63,4 ^{\circ} = 26,6^{\circ}$
Die Gerade zu $y = 2x$ schneidet die $x$-Achse in einem Winkel von ca. $63,4\,^{\circ}$ und die $y$-Achse in einem Winkel von ca. $26,6\,^{\circ}$.
3.
Schnittwinkel berechnen
In dieser Aufgabe hast du nur das Schaubild eines Graphen gegeben, jedoch keine Funktionsgleichung. Betrachte also für jeden gesuchten Winkel ein geeignetes rechtwinkliges Dreieck, und lies mögliche Seitenlängen am Schaubild ab. Mit den trigonometrischen Funktionen $\tan$, $\sin$ und $\cos$ kannst du dann den gesuchten Winkel berechnen.
a)
Betrachte hier das grüne Dreieck für den Schnittwinkel mit der $x$-Achse.
Algebra: Schnittwinkel im Koordinatensystem
Algebra: Schnittwinkel im Koordinatensystem
$\blacktriangleright$   Schnittwinkel mit der $\boldsymbol{x}$-Achse
Zu berechnen ist $\alpha$. Ablesen kannst du mit Hilfe der Kästchen am besten die Länge der Ankathete mit $a= 2$ und die Länge der Gegenkathete mit $b= 1$. Verwende hierfür also den Tangens:
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=&\dfrac{l_{\text{Gegenkathete}}}{l_{\text{Ankathete}}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{b}{a}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}&\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1} \\[5pt] \alpha&=&\tan^{-1}\left(\dfrac{1}{2}\right) \approx 26,6\,^{\circ} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \alpha \approx 26,6\,^{\circ} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$   Schnittwinkel mit der $\boldsymbol{y}$-Achse
Du kannst den Schnittwinkel $ \beta$ mit der $y$-Achse wie gewohnt berechnen:
$\beta = 90\,^{\circ} -\alpha $$\approx 90\,^{\circ} - 26,6\,^{\circ} $$ =63,4\,^{\circ}$
Der Schnittwinkel mit der $x$-Achse ist ca. $26,6\,^{\circ}$ und der mit der $y$-Achse ca. $63,4\,^{\circ}$ groß.
b)
Betrachte hier das grüne Dreieck für den Schnittwinkel mit der $x$-Achse.
Algebra: Schnittwinkel im Koordinatensystem
Algebra: Schnittwinkel im Koordinatensystem
$\blacktriangleright$   Schnittwinkel mit der $\boldsymbol{x}$-Achse
Zu berechnen ist $\alpha$. Ablesen kannst du mit Hilfe der Kästchen am besten die Länge der Ankathete mit $a= 1$ und die Länge der Gegenkathete mit $b= 2$. Verwende hierfür also den Tangens:
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=&\dfrac{l_{\text{Gegenkathete}}}{l_{\text{Ankathete}}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{b}{a}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{2}{1}&\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1} \\[5pt] \alpha&=&\tan^{-1}\left(2\right) \approx 63,4\,^{\circ} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \alpha\approx 63,4\,^{\circ} \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$   Schnittwinkel mit der $\boldsymbol{y}$-Achse
Du kannst den Schnittwinkel $ \beta$ mit der $y$-Achse wie gewohnt berechnen:
$\beta = 90\,^{\circ} -\alpha $$\approx 90\,^{\circ} - 63,4\,^{\circ}$$ =26,6\,^{\circ}$
Der Schnittwinkel mit der $x$-Achse ist ca. $63,4\,^{\circ}$ und der mit der $y$-Achse ca. $26,6\,^{\circ}$ groß.
c)
Der Skizze kannst du entnehmen, dass es sich hier bei der Gerade $i$ um eine Parallele zur $x$-Achse handelt. Sie schneidet die $x$-Achse also nicht und schneidet die $y$-Achse im rechten Winkel.
d)
Betrachte hier das grüne Dreieck für den Schnittwinkel mit der $x$-Achse. Hier wird ein Stufenwinkel zum eigentlich gesuchten Winkel betrachtet. Dieser ist genauso groß, da er nur entlang der Gerade verschoben ist. Du kannst so die Kästchen einfacher zählen und erhältst ein genaueres Ergebnis.
Algebra: Schnittwinkel im Koordinatensystem
Algebra: Schnittwinkel im Koordinatensystem
$\blacktriangleright$   Schnittwinkel mit der $\boldsymbol{x}$-Achse
Zu berechnen ist $\alpha$. Ablesen kannst du mit Hilfe der Kästchen am besten die Länge der Ankathete mit $a= 2$ und die Länge der Gegenkathete mit $b= 1,5$. Verwende hierfür also den Tangens:
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=&\dfrac{l_{\text{Gegenkathete}}}{l_{\text{Ankathete}}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{b}{a}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{1,5}{2}&\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1} \\[5pt] \alpha&=&\tan^{-1}\left(\dfrac{3}{4}\right) \approx 36,9\,^{\circ} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \alpha \approx 36,9\,^{\circ} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$   Schnittwinkel mit der $\boldsymbol{y}$-Achse
Du kannst den Schnittwinkel $ \beta$ mit der $y$-Achse wie gewohnt berechnen:
$\beta = 90\,^{\circ} -\alpha $$\approx 90\,^{\circ} - 36,9\,^{\circ}$$ =53,1\,^{\circ}$
Der Schnittwinkel mit der $x$-Achse ist ca. $36,9\,^{\circ}$ und der mit der $y$-Achse ca. $53,1\,^{\circ}$ groß.
4.
Geradengleichung bestimmen
Bestimme mit Hilfe des angegebenen Winkels eine geeignete Steigung für die Gerade. Setze diese dann zusammen mit den Koordinaten des Punkts in die Punkt-Steigungsform ein, um eine Geradengleichung zu erhalten:
$y = m\cdot (x-x_1)+y_1$
$y = m\cdot (x-x_1)+y_1$
a)
Der Schnittwinkel mit der $x$-Achse soll $90\,^{\circ}$ betragen, es ist also ein rechter Winkel. Eine Gerade, die im rechten Winkel zur $x$-Achse verläuft ist immer eine Parallele zur $y$-Achse. Hier gibt es also keine Steigung. Die Gleichung einer solchen Gerade besitzt die Form $x = a$. Bestimme also noch $a$ mit Hilfe des gegebenen Punkts.
$P(1\mid 4)$ soll auf der Gerade liegen, also muss die Gerade auf jeden Fall die Stelle $x =1$ treffen.
Eine Gleichung der gesuchten Gerade ist $g:\; x=1$.
b)
$h$ soll die $y$-Achse in einem Winkel von $\beta = 30\,^{\circ}$ schneiden. Du kannst die Berechnung für den Schnittwinkel auch „rückwärts“ ausführen. Berechne zuerst den Schnittwinkel $\alpha$ mit der $x$-Achse und mit Hilfe dessen anschließend einen passenden Steigungswert:
$\begin{array}[t]{rll} \beta&=& 90\,^{\circ}-\alpha &\quad \scriptsize \\[5pt] \alpha&=& 90\,^{\circ}-\beta&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 90\,^{\circ}-30\,^{\circ} = 60\,^{\circ}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \alpha&=& 60\,^{\circ} \\[5pt] \end{array}$
Du kannst nun die Formel zur Berechnung des Schnittwinkels mit der $x$-Achse nutzen. Da du nur ein mögliches $m$ suchst, kannst du die Betragsstriche jetzt auch weglassen.
$\begin{array}[t]{rll} \alpha&=&\tan^{-1}(m) &\quad \scriptsize \mid\; \tan \\[5pt] \tan(\alpha)&=& m &\quad \scriptsize \\[5pt] \tan\left(60\,^{\circ}\right)&=& m &\quad \scriptsize \\[5pt] m&=& \sqrt{3} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} m&=& \sqrt{3} \\[5pt] \end{array}$
Setze nun in die Punkt-Steigungsform ein:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& m\cdot (x-x_1)+y_1 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \sqrt{3}\cdot(x-2)+3&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \sqrt{3}x+3-2\cdot \sqrt{3}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& \sqrt{3}x+3-2\cdot \sqrt{3} \\[5pt] \end{array}$
Eine Gleichung der Gerade $h$ lautet also beispielsweise $h: \; y= \sqrt{3}x+3-2\cdot \sqrt{3}$.
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