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Maximaler Flächeninhalt

Spickzettel
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Einführung

Bei Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung benötigst du eine Zielfunktion, die du minimieren bzw. maximieren kannst.
Gehe folgendermaßen vor:
  • Fertige eine Skizze an.
  • Suche die Größe, die minimal bzw. maximal werden soll. Das ist hier der Flächeninhalt, schreibe die geometrische Formel dieser Fläche auf.
  • Stelle die Nebenbedingung auf. Überlege dir wie die Variablen der gesuchten Größe zusammenhängen.
    Falls ein entscheidender Punkt im Koordinatensystem auf dem Graphen liegt, schreibe ihn mit Hilfe des Funktionsterms des Graphen.
  • Bilde nun die Zielfunktion, indem du die Nebenbedingung nach einer der Variablen auflöst und in den Term für die extremale Größe einsetzt. Vereinfache diesen Term so weit wie möglich und bestimme den Definitionsbereich der Zielfunktion.
  • Bestimme die absoluten Extremstellen der Zielfunktion. Vergiss dabei nicht, zu überprüfen, ob diese Kandidaten auch relative Extremstellen sind. Außerdem muss überprüft werden, ob an den Randstellen des Definitionsbereichs noch kleinere/größere Werte für die extremale Größe auftreten.
  • Stelle nun die Verbindung zur Aufgabenstellung her, indem du die zweite Variable und den Extremwert berechnest.

Beispiel mit Lösungsskizze

Gegeben ist die Funktion $f (x) = -x^2 + 4$. Das Schaubild der Funktion $f$ schließt mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein. In dieser Fläche soll ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt konstruiert werden. Das Rechteck liegt mit einer Kante auf der $x$–Achse, mit einer anderen auf der $y$–Achse.
  • Skizze
    Extremwertaufgaben: Maximaler Flächeninhalt
    Extremwertaufgaben: Maximaler Flächeninhalt
  • Größe, die maximal werden soll:
    $A=a \cdot b$
  • Nebenbedingung:
    $b=f(a)=-a^2+4$
  • Zielfunktion:
    $A(a) =a\cdot f(a)$=$ a\cdot(-a^2 + 4) $=$ -a^3 + 4a$ mit Definitionsbereich $\mathbb{D} = [0,2]$.
  • Bestimme die absoluten Extremstellen der Zielfunktion.
    $A(a) =-a^3 + 4a$
    $A'(a) =-3a^2 + 4$
    $A''(a) =-6a$
    $\begin{array}[t]{rll} A'(a)&=&0 \\[5pt] -3a^2 + 4&=& 0\\[5pt] -3a^2 &=& -4\\[5pt] a^2 &=& \frac{4}{3}\\[5pt] a&=&\pm \dfrac{2}{\sqrt{3}} \end{array}$
    Für diese Aufgabe ist nur $a=\frac{2}{\sqrt{3}}$ interessant, da die andere Lösung nicht im Definitionsbereich liegt.
    $A''\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) $=$-6\dfrac{2}{\sqrt{3}}<0 $ es handelt sich also um ein Maximum.
    Der maximale Wert ist somit: $A\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = 3,08$
    Überprüfen der Randstellen:
    $A(0) = 0 < 3,08$
    $A(2) = 0 < 3,08$
  • Für die Seite $b$ gilt dann: $b $=$ -\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 + 4 $=$ \dfrac{8}{3} \approx 2,7$.
    Die maximale Fläche beträgt also $3,08$.
#extrempunkt
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Aufgaben
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1.
Bestimme den maximalen Flächeninhalt.
Gegeben ist die Funktion $f\left(x\right)=4-x^2$.
Im ersten Quadranten soll der Funktion ein rechtwinkliges Dreieck einbeschrieben werden. Zwei Eckpunkte liegen auf der $x$-Achse, einer dieser Eckpunkte ist der Ursprung, der dritte Eckpunkt $P$ liegt auf der Funktion $f.$ Die Seite des Dreiecks, die durch den Ursprung und den Punkt $P$ begrenzt wird, ist die Hypotenuse.
Bestimme die Lage von $P$ so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks maximal wird.
Wie groß ist der Flächeninhalt des Dreiecks?
#extrempunkt
2.
Bestimme den maximalen Flächeninhalt.
Gegeben ist die Funktion $f\left(x\right)=-\dfrac{1}{3}x^2+2x$.
Im ersten Quadranten wird der Funktion ein Rechteck einbeschrieben. Zwei Eckpunkte des Rechtecks liegen auf der $x$-Achse, die beiden anderen Eckpunkte $P$ und $Q$ befinden sich auf dem Graphen von $f$.
Bestimme die Lage von $P$ und $Q$ so, dass der Flächeninhalt des Rechtecks maximal wird.
Gib den maximalen Flächeninhalt an.
#extrempunkt
3.
Bestimme den maximalen Flächeninhalt.
Gegeben ist die Funktion $f\left(x\right)=1-x^2$.
Innerhalb der Fläche, die die Funktion mit der $x$-Achse einschließt, soll ihr ein gleichschenkliges Trapez einbeschrieben werden. Die Grundseite des Trapezes ist fix und erstreckt sich zwischen den beiden Nullstellen. Die beiden Punkte $P$ und $Q$ bilden die zwei anderen Eckpunkte des Trapezes.
Bestimme $P$ und $Q$ so, dass der Flächeninhalt des Trapezes maximal wird.
Wie groß ist der Flächeninhalt des Trapezes?
#extrempunkt
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Lösungen
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1.
Den maximalen Flächeninhalt bestimmen
Zunächst muss eine Funktionsgleichung aufgestellt werden, mit der wir den Flächeninhalt eines solchen Dreiecks berechnen können. Hierfür verdeutlichen wir uns die Aufgabe noch einmal mit Hilfe einer Skizze (das eingezeichnete Dreieck ist nicht das ideale, sondern ein beliebiges!). Um dies korrekt tun zu können, benötigen wir die Nullstellen von $f$:
Extremwertaufgaben: Maximaler Flächeninhalt
Extremwertaufgaben: Maximaler Flächeninhalt
$\begin{array}[t]{rll} f\left(x\right)=&0\\ 4-x^2=&0&\quad\mid\;+x^2\\ 4=&x^2&\quad\mid\;\sqrt{\;}\\ \pm2=&x \end{array}$
Der Flächeninhalt $A$ eines Dreiecks ist immer $A=\dfrac{1}{2}g\cdot h$:
$A\left(u\right)=\dfrac{1}{2}u\cdot f\left(u\right)$
Mit dieser Funktionsgleichung, die uns den Flächeninhalt des Dreiecks in Abhängigkeit von $u$ angibt, können wir nun weiter rechnen und die Werte einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} A\left(u\right)=&\dfrac{1}{2}u\cdot\left(4-u^2\right)\\ =&\dfrac{1}{2}\cdot\left(4u-u^3\right)\\ A\left(u\right)=&2u-\dfrac{1}{2}u^3 \end{array}$
Um den maximalen Flächeninhalt zu berechnen, wird nun der Hochpunkt dieser Umfangsfunktion bestimmt:
$\begin{array}[t]{rll} A\left(u\right)=&2u-\dfrac{1}{2}u^3\\ A'\left(u\right)=&2-\dfrac{3}{2}u^2\\ A''\left(u\right)=&-3u \end{array}$
Maximalstellen bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} A'\left(u\right)=&0\\ 2-\dfrac{3}{2}u^2=&0&\quad\mid\;+\dfrac{3}{2}u^2\\ 2=&\dfrac{3}{2}u^2&\quad\mid\;\cdot\dfrac{2}{3}\\ \dfrac{4}{3}=&u^2&\quad\mid\;\sqrt{\;}\\ \pm\sqrt{\dfrac{4}{3}}=&u_{1,2} \end{array}$
Da das Dreieck nur im ersten Quadranten einbeschrieben werden soll, hat für uns nur der Wert $x=\dfrac{4}{3}$ Bedeutung, der andere Wert liegt nicht mehr in diesem Quadranten.
Überprüfen der hinreichenden Bedingung:
$\begin{array}[t]{rll} f''\left(\sqrt{\dfrac{4}{3}}\right)=&-3\sqrt{\dfrac{4}{3}}&<0 \end{array}$
Für $u=\sqrt{\dfrac{4}{3}}$ wird der Flächeninhalt des Dreiecks also maximal. Den Flächeninhalt selbst liefert uns die Flächenfunktion:
$\begin{array}[t]{rll} A\left(\sqrt{\dfrac{4}{3}}\right)=&2\cdot\sqrt{\dfrac{4}{3}}-\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{\dfrac{4}{3}}\right)^3\\ =&2\sqrt{\dfrac{4}{3}}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot\sqrt{\dfrac{4}{3}}\\ =&2\sqrt{\dfrac{4}{3}}-\dfrac{2}{3}\sqrt{\dfrac{4}{3}}\\ A\left(\sqrt{\dfrac{4}{3}}\right)=&\dfrac{4}{3}\sqrt{\dfrac{4}{3}} \end{array}$
Der maximale Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $\dfrac{4}{3}\sqrt{\dfrac{4}{3}}$ LE.
Die $y$-Koordinate von $P$ lautet:
$\begin{array}[t]{rll} f\left(\sqrt{\dfrac{4}{3}}\right)=&4-\left(\sqrt{\dfrac{4}{3}}\right)^2\\ =&4-\dfrac{4}{3}\\ f\left(\sqrt{\dfrac{4}{3}}\right)=&\dfrac{8}{3} \end{array}$
Daraus folgt der Punkt $P\left(\sqrt{\dfrac{4}{3}}\mid\dfrac{8}{3}\right)$.
2.
Den maximalen Flächeninhalt bestimmen
Zunächst muss eine Funktionsgleichung der Funktion bestimmt werden, mit der wir den Flächeninhalt eines solchen Rechtecks berechnen können. Hierfür verdeutlichen wir uns die Aufgabe noch einmal mit Hilfe einer Skizze (das eingezeichnete Rechteck ist nicht das ideale, sondern ein beliebiges!). Um dies korrekt tun zu können, benötigen wir die Nullstellen von $f$:
Extremwertaufgaben: Maximaler Flächeninhalt
Extremwertaufgaben: Maximaler Flächeninhalt
$\begin{array}[t]{rll} f\left(x\right)=&0\\ -\dfrac{1}{3}x^2+2x=&0&\quad\mid\;x\;\small{\text{ausklammern}}\\ x\left(-\dfrac{1}{3}x+2\right)=&0 \end{array}$
$x\left(-\dfrac{1}{3}x+2\right)=0$
Ein Produkt ist 0, wenn einer seiner Faktoren 0 wird (Satz vom Nullprodukt):
$\begin{array}[t]{rll} x_1=&0\\ -\dfrac{1}{3}x+2=&0&\quad\mid\;-2\\ -\dfrac{1}{3}x=&-2&\quad\mid\;\cdot\left(-3\right)\\ x_2=&6 \end{array}$
Da der betrachtete Graphausschnitt achsensymmetrisch zur Gerade $x = 3$ ist, haben die beiden $x$-Koordinaten von $P$ und $Q$ jeweils den gleichen Abstand $u$ von der jeweiligen Nullstelle. Somit beträgt die Länge der Grundseite des Rechtecks $a=6-2\cdot u$.
Der Flächeninhalt $A$ eines Rechtecks ist immer $A=a\cdot b$:
$A\left(u\right)=\left(6-2u\right)\cdot f\left(u\right)$
Mit dieser Funktionsgleichung, die uns den Flächeninhalt des Rechtecks in Abhängigkeit von $u$ angibt, können wir nun weiter rechnen und die Werte einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} A\left(u\right)=&\left(6-2u\right)\left(-\dfrac{1}{3}u^2+2u\right)\\ =&-2u^2+12u+\dfrac{2}{3}u^3-4u^2\\ A\left(u\right)=&\dfrac{2}{3}u^3-6u^2+12u \end{array}$
Um den maximalen Flächeninhalt zu berechnen, wird nun die Maximalstelle dieser Flächenfunktion bestimmt:
$\begin{array}[t]{rll} A\left(u\right)=&\dfrac{2}{3}u^3-6u^2+12u\\ A'\left(u\right)=&2u^2-12u+12\\ A''\left(u\right)=&4u-12 \end{array}$
Maximalstelle bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} A'\left(u\right)=&0\\ 2u^2-12u+12=&0&\quad\mid\;:2\\ u^2-6u+6=&0 \end{array}$
$p$-$q$-Formel anwenden:
$\begin{array}[t]{rll} u_{1,2}=&3\pm\sqrt{9-6}\\ u_{1,2}=&3\pm\sqrt{3} \end{array}$
Überprüfen der hinreichenden Bedingung:
$\begin{array}[t]{rll} f''\left(3-\sqrt{3}\right)=&4\left(3-\sqrt{3}\right)-12\\ =&12-4\sqrt{3}-12\\ =&-4\sqrt{3}&<0\;\small{\text{Maximum}}\\ f''\left(3+\sqrt{3}\right)=&4\left(3+\sqrt{3}\right)-12\\ =&12+4\sqrt{3}-12\\ =&4\sqrt{3}&>0\;\small{\text{Minimum}} \end{array}$
$f''\left(3-\sqrt{3}\right)=4\sqrt{3}>0$
Für $u=3-\sqrt{3}$ wird der Flächeninhalt des Rechtecks also maximal. Den Flächeninhalt selbst liefert uns die Flächenfunktion:
$\begin{array}[t]{rll} A\left(3-\sqrt{3}\right)=&\dfrac{2}{3}\left(3-\sqrt{3}\right)^3-6\left(3-\sqrt{3}\right)^2+12\left(3-\sqrt{3}\right)\\ A\left(3-\sqrt{3}\right)\approx&6,93\\ \end{array}$
$ A\left(3-\sqrt{3}\right)\approx6,93$
Der maximale Flächeninhalt des Rechtecks beträgt $6,93$ LE.
Die $y$-Koordinate von $P$ lautet:
$\begin{array}[t]{rll} f\left(3-\sqrt{3}\right)=&-\dfrac{1}{3}\left(3-\sqrt{3}\right)^2+2\left(3-\sqrt{3}\right)\\ =&-\dfrac{1}{3}\left(9-6\sqrt{3}+3\right)+6-2\sqrt{3}\\ =&-3+2\sqrt{3}-1+6-2\sqrt{3}\\ f\left(\sqrt{\dfrac{4}{3}}\right)=&2 \end{array}$
$ f\left(\sqrt{\dfrac{4}{3}}\right)=2$
Daraus folgt der Punkt $P\left(3-\sqrt{3}\mid2\right)$.
$Q$ muss aus Symmetriegründen die gleiche $y$-Koordinate haben. Seine $x$-Koordinate ist $6-u$:
$\begin{array}[t]{rll} 6-u=&6-\left(3-\sqrt{3}\right)\\ =&6-3+\sqrt{3}\\ =&3+\sqrt{3} \end{array}$
Daraus folgt der Punkt: $Q\left(3+\sqrt{3}\mid2\right)$.
3.
Den maximalen Flächeninhalt bestimmen
Zunächst muss eine Funktionsgleichung bestimmt werden, mit der wir den Flächeninhalt eines solchen Trapezes berechnen können. Hierfür verdeutlichen wir uns die Aufgabe noch einmal mit Hilfe einer Skizze (das eingezeichnete Trapez ist nicht das ideale, sondern ein beliebiges!). Um dies korrekt tun zu können, benötigen wir die Nullstellen von $f$:
Extremwertaufgaben: Maximaler Flächeninhalt
Extremwertaufgaben: Maximaler Flächeninhalt
$\begin{array}[t]{rll} f\left(x\right)=&0\\ 1-x^2=&0&\quad\mid\;+x^2\\ 1=&x^2&\quad\mid\;\sqrt{\;}\\ \pm1=&x_{1,2} \end{array}$
Die Grundseite ist fix zwischen den beiden Nullstellen von $f$ eingeschlossen und hat daher die Länge $a=2$.
Da die Kurve achsensymmetrisch ist, haben die beiden $x$-Koordinaten von $P$ und $Q$ jeweils den gleichen Abstand $u$ von der jeweiligen Nullstelle. Somit beträgt die Länge der oberen Kante des Trapezes $c=2\cdot u$.
Der Flächeninhalt $A$ eines Trapezes ist immer $A=\dfrac{1}{2}\cdot\left(a+c\right)\cdot h$:
$A\left(u\right)=\dfrac{1}{2}\left(2+2u\right)\cdot f\left(u\right)$
Mit dieser Funktionsgleichung, die uns den Flächeninhalt in Abhängigkeit von $u$ angibt, können wir nun weiter rechnen und die Werte einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} A\left(u\right)=&\dfrac{1}{2}\left(2+2u\right)\left(1-u^2\right)\\ =&\left(1-u\right)\left(1-u^2\right)\\ =&1+u-u^2-u^3\\ \end{array}$
Um den maximalen Flächeninhalt zu berechnen, wird nun der Extremstelle dieser Umfangsfunktion bestimmt
$\begin{array}[t]{rll} A\left(u\right)=&-u^3-u^2+u+1\\ A'\left(u\right)=&-3u^2-2u+1\\ A''\left(u\right)=&-6u-2 \end{array}$
Extremstelle berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} A'\left(u\right)=&0\\ -3u^2-2u+1=&0&\quad\mid\;:(-3)\\ u^2+\dfrac{2}{3} \cdot u-\dfrac{1}{3}=&0 \end{array}$
$p$-$q$-Formel anwenden:
$\begin{array}[t]{rll} u_{1,2}=&-\dfrac{1}{3}\pm\sqrt{\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{3}}\\ =&-\dfrac{1}{3}\pm\sqrt{\dfrac{4}{9}}\\ u_{1,2}=&-\dfrac{1}{3}\pm\dfrac{2}{3}\\ \end{array}$
Überprüfen der hinreichenden Bedingung:
$\begin{array}[t]{rll} f''\left(\dfrac{1}{3}\right)=&-6\left(\dfrac{1}{3}\right)-2\\ =&-4 &<0\\ f''\left(-1\right)=&-6\left(-1\right)-2\\ =&+4 &<0\\ \end{array}$
Für $u=\dfrac{1}{3}$ wird der Flächeninhalt des Rechtecks also maximal. Den Flächeninhalt selbst liefert uns die Flächenfunktion:
$\begin{array}[t]{rll} A\left(\dfrac{1}{3}\right)=&-\left(\dfrac{1}{3}\right)^3-\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+\dfrac{1}{3}+1\\ A=&\left(\dfrac{32}{27}\right)\\ \end{array}$
$A=\left(\dfrac{32}{27}\right)$
Der maximale Flächeninhalt des Trapezes beträgt $\dfrac{32}{27}$ LE.
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