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Stammfunktionen

Spickzettel
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Einführung

Eine Stammfunktion $F$ einer Funktion $f$ ist eine Funktion deren Ableitung mit $f$ übereinstimmt: $F'(x) = f(x)$. Die Integration kann daher sozusagen als Umkehr der Ableitung gesehen werden. Beachte dabei, dass jede Funktion mehrere Stammfunktionen hat.

Beispiel

$F(x) = x^4 + 2x^3$ ist eine Stammfunktion von $f(x) = 4\cdot x^3 + 6x^2$, ebenfalls ist $G(x) = x^4 +2x^3+3$ eine Stammfunktion von $f$.

Grundlegende Integrationsregel

Die grundlegende Integrationsregel gibt eine Formel dafür an, wie Stammfunkionen von Potenzfuntionen, wie beispielsweise Polynomen, gebildet werden. Ist die Funktion $f(x) = a\cdot x^b$ gegeben, so bildest du eine Stammfunktion von $f$, indem du den Exponenten $b$ um eins erhöhst und den Vorfaktor $a$ durch diesen „neuen“ Exponenten teilst. Du kannst also alle Stammfunktionen von $f$ mit folgender Formel bilden:
$F(x)= \frac{a}{b+1}\cdot x^{b+1} +c $
$F(x)= \frac{a}{b+1}\cdot x^{b+1} +c $
Dabei ist $c$ eine Konstante, die nicht von $x$ abhängt und dadurch beim Ableiten wieder wegfällt. Daher sind die oben angegebenen Funktionen $F$ für jedes $c$ Stammfunktionen von $f$.

Beispiel

$f(x) = x$
$\Rightarrow F(x) = \frac{1}{2}\cdot x^2 + c$ mit $c\in \mathbb{R}$

Spezielle Stammfunktionen

  • $f(x) = \mathrm e^x$ $\Rightarrow F_c(x) = \mathrm e^x +c$
  • $f(x) = \sin(x)$ $\Rightarrow F_c(x) = -\cos(x) + c$
  • $f(x) = \cos(x)$ $\Rightarrow F_c(x) = \sin(x) + c$

Verkettete Funktionen

Es gibt auch eine hilfreiche Regel für das Bilden von Stammfunktionen von Funktionen der Form $f(x) = u\left(v(x)\right)$. Allerdings nur, wenn die innere Funktion $v(x)$ linear ist, das bedeutet, dass dort $x$ nur in der Form $a\cdot x +c$ mit $a,c \in \mathbb{R}$ vorkommt. Die Stammfunktionen von $f$ werden dann wie folgt gebildet:
$F(x)= U\left(v(x)\right)\cdot \frac{1}{v'(x)} +c $
$F(x)= U\left(v(x)\right)\cdot \frac{1}{v'(x)} +c $

Beispiel

Schreibe dir bei einer solchen Aufgabe am besten zuerst $u(x)$, $v(x)$, $U(x)$ und $v'(x)$ auf.
$f(x) = 3\cdot (2x +3)^4$ $\Rightarrow F(x) = \frac{1}{5}\cdot 3 \cdot(2x +3)^5 \cdot \frac{1}{2} +c $ $= \frac{3}{10}\cdot(2x+3)^5 +c $
Tipp: Du kannst dein Ergebnis überprüfen, indem du $F(x)$ ableitest.
#stammfunktion
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1.
Bilde eine Stammfunktion von $f$ (grundlegende Integrationsregeln).
b)
$f(x)=2x$
d)
$f(x)=2x^3$
f)
$f(x)=x^{-1}$
h)
$f(x)=-5x^{-3}$
j)
$f(x)=\dfrac{1}{3}x^{-2}$
l)
$f(x)=\dfrac{1}{5}x^6$
#stammfunktion
2.
Bilde eine Stammfunktion von $f$ (Exponentialfunktionen).
b)
$f(x)=2\mathrm e^x$
d)
$f(x)=3\mathrm e^{2x}+2$
f)
$f(x)=-2\mathrm e^{-4}$
h)
$f(x)=-3\mathrm e^{5x}$
3.
Bilde eine Stammfunktion von $f$ (trigonometrische Funktionen).
b)
$f(x)=\cos(x)$
d)  $f(x)=3\sin(4x)$
f)
$f(x)=3\cos(4x)$
h)
$f(x)=2\cos(3x)$
j)
$f(x)=3\sin(4x-2)$
l)
$f(x)=\sin(3x+8)+\cos(2x)$
n)
$f(x)=\sin(x) + x^3+\mathrm e^{-4x}$
p)
$f(x)=\cos(5x+3)+\sin(3x)$
r)
$f(x)=\sin(3x-5)+\mathrm e^{3x+1}$
4.
Bilde eine Stammfunktion von $f$ (Ganzrationale Funktionen, Wurzelfunktionen).
b)
$f(x)=x^2+4x^3$
d)
$f(x)=5x-\dfrac{8}{x^2}$
f)
$f(x)=\dfrac{1}{4}(3x^2+x)$
h)
$f(x)=\dfrac{x^2+2x+1}{x+1}+\sqrt{x}$
j)
$f(x)=\dfrac{x-x^{\frac{5}{2}}}{\sqrt{x}}$
l)
$f(x)=\sqrt{-x-4}+5x$
5.
Bilde eine Stammfunktion von $f$ ($\mathrm{e}$-/ $\ln$- Funktionen).
b)
$f(x)=2x+\mathrm e^{x+1}+\sqrt {x}$
d)
$f(x)=(x+2)^3+\mathrm e^{-3x}$
f)
$f(x)=\sqrt{4x-7}+\mathrm e^{\frac{1}{2}x}$
h)
$f(x)=5x+\mathrm e^{-3x}$
j)
$f(x)=x^{-3}+\dfrac{3}{x}$
l)
$f(x)=x^5+\dfrac{x}{2x^2}+7$
n)
$f(x)=x^{-3}+\dfrac{3}{x+2}$
p)
$f(x)=\dfrac{2}{4-3x}-\cos(3x+1)$
6.
$G$ ist eine Stammfunktion der Funktion $g$ mit $g(x)=4x+4\mathrm{e}^{-2x}$. Der Punkt $(0|2)$ liegt auf dem Schaubild von $G$. Bestimme einen Funktionsterm von $G$.
7.
$G$ ist eine Stammfunktion der Funktion $g$ mit $g(x)=2\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x}+3x^2$. Der Punkt $(0|0)$ liegt auf dem Schaubild von $G$. Bestimme einen Funktionsterm von $G$.
8.
$G$ ist eine Stammfunktion der Funktion $g$ mit $g(x)=2x^4+\dfrac{1}{x^2}-2\mathrm{e}^{-3x}$. Bestimme einen möglichen Funktionsterm von $G$.
9.
$G$ ist eine Stammfunktion der Funktion $g$ mit $g(x)=3x^3-\cos(2x+1)$. Gib einen möglichen Funktionsterm von $G$ an.
10.
$G$ ist eine Stammfunktion der Funktion $g$ mit $g(x) = 4x - \dfrac{1}{2} \sin(2x)$. Der Punkt $(0|1)$ liegt auf dem Schaubild von $G$. Bestimme einen Funktionsterm von $G$.
11.
$G$ ist eine Stammfunktion der Funktion $g$ mit $g(x)=2\cdot\cos(4x)-(x+1)^2$. Der Punkt $(0|2)$ liegt auf dem Schaubild von $G$. Bestimme einen Funktionsterm von $G$.
12.
Gib eine Stammfunktion $F$ der Funktion $f$ mit $f(x) =\dfrac{2}{x^2} - \dfrac{1}{2}\sin(4x)$ an.
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1.
b)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=2x\\[5pt] F(x)&=2x^2 \cdot \dfrac{1}{2}\\[5pt] &=x^2 \end{array}$
d)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=2x^3\\[5pt] F(x)&=2x^4\cdot\dfrac{1}{4}\\[5pt] &=\dfrac{1}{2}x^4 \end{array}$
f)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=x^{-1}\\[10pt] F(x)&=\ln(\left|x\right|) \end{array}$
h)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=-5x^{-3}\\[5pt] F(x)&=(-5x^{-2})\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)\\[5pt] &=\dfrac{5}{2}x^{-2} \end{array}$
j)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\dfrac{1}{3}x^{-2}\\[5pt] F(x)&=\dfrac{1}{3}x^{-1}\cdot\left(-\dfrac{1}{1}\right)\\[5pt] &=-\dfrac{1}{3}x^{-1} \end{array}$
l)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\dfrac{1}{5}x^6\\[5pt] F(x)&=\dfrac{1}{5}x^7\cdot\dfrac{1}{7}\\[5pt] &=\dfrac{1}{35}x^7 \end{array}$
2.
b)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=2\mathrm e^x\\[5pt] F(x)&=2\mathrm e^x\cdot \dfrac{1}{1}\\[5pt] &=2\mathrm e^x \end{array}$
d)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=3\mathrm e^{2x}+2\\[5pt] F(x)&=3\mathrm e^{2x}\cdot\dfrac{1}{2} + 2x\\[5pt] &=\dfrac{3}{2}\mathrm e^{2x} + 2x \end{array}$
f)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=-2\mathrm e^{-4}\\[10pt] F(x)&=-2\mathrm e^{-4}x\\[5pt] \end{array}$
h)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=-3\mathrm e^{5x}\\[5pt] F(x)&=(-3\mathrm e^{5x})\cdot\dfrac{1}{5}\\[5pt] &=-\dfrac{3}{5}\mathrm e^{5x} \end{array}$
3.
b)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\cos(x)\\[5pt] F(x)&=\sin(x) \cdot\dfrac{1}{1}\\[5pt] &=\sin(x) \end{array}$
d)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=3\sin(4x)\\[5pt] F(x)&=(-3\cos(4x))\cdot\dfrac{1}{4}\\[5pt] &=-\dfrac{3}{4}\cos(4x) \end{array}$
f)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=3\cos(4x)\\[5pt] F(x)&=3\sin(4x)\cdot\dfrac{1}{4}\\[5pt] &=\dfrac{3}{4}\sin(4x) \end{array}$
h)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=2\cos(3x)\\[5pt] F(x)&=2\sin(3x)\cdot\dfrac{1}{3}\\[5pt] &=\dfrac{2}{3}\sin(3x) \end{array}$
j)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=3\sin(4x-2)\\[5pt] F(x)&=-3\cos(4x-2) \cdot\dfrac{1}{4}\\[5pt] &=-\dfrac{3}{4}\cos(4x-2) \end{array}$
l)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\sin(3x+8)+\cos(2x)\\[5pt] F(x)&=-\cos(3x+8)\cdot\dfrac{1}{3}+\\ & \sin(2x)\cdot\dfrac{1}{2}\\[5pt] &=-\dfrac{1}{3}\cos(3x+8) + \dfrac{1}{2}\sin(2x) \end{array}$
n)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\sin(x) + x^3+\mathrm e^{-4x}\\[5pt] F(x)&=-\cos(x)+x^4\cdot\dfrac{1}{4}\\ & +\mathrm e^{-4x}\cdot\left(-\dfrac{1}{4}\right)\\[5pt] &=-\cos(x)+\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{1}{4}\mathrm e^{-4x} \end{array}$
p)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\cos(5x+3)+\sin(3x)\\[5pt] F(x)&=\sin(5x+3)\cdot\dfrac{1}{5}-\cos(3x)\cdot\dfrac{1}{3}\\[5pt] &=\dfrac{1}{5}\sin(5x+3)-\dfrac{1}{3}\cos(3x) \end{array}$
r)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\sin(3x-5)+\mathrm e^{3x+1}\\[5pt] F(x)&=-\cos(3x-5)\cdot\dfrac{1}{3}+\mathrm e^{3x+1}\cdot\dfrac{1}{3}\\[5pt] &=-\dfrac{1}{3} \cos(3x-5) + \dfrac{1}{3} \mathrm e^{3x+1} \end{array}$
4.
a)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=-\dfrac{1}{2}x^3+2x\\[5pt] F(x)&=-\dfrac{1}{2}x^4\cdot\dfrac{1}{4}+2x^2\cdot\dfrac{1}{2}\\[5pt] &=-\dfrac{1}{8}x^4+x^2 \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} f(x)=-\dfrac{1}{2}x^3+2x\\[5pt] F(x) =-\dfrac{1}{8}x^4+x^2 \end{array}$
b)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=x^2+4x^3\\[5pt] F(x)&=x^3\cdot\dfrac{1}{3}+4x^4\cdot\dfrac{1}{4}\\[5pt] &=\dfrac{1}{3}x^3+x^4 \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=x^2+4x^3\\[5pt] F(x)&=\dfrac{1}{3}x^3+x^4 \end{array}$
c)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\dfrac{1}{2}x^3-2x\\[5pt] F(x)&=\dfrac{1}{2}x^4\cdot\dfrac{1}{4}-2x^2\cdot\dfrac{1}{2}\\[5pt] &=\dfrac{1}{8}x^4-x^2 \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=x^2+4x^3\\[5pt] F(x)&=\dfrac{1}{3}x^3+x^4 \end{array}$
d)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=5x-\dfrac{8}{x^2}\\[5pt] &=5x-8x^{-2}\\[5pt] F(x)&=5x^2\cdot\dfrac{1}{2}-8x^{-1}\cdot\left(-\dfrac{1}{1}\right)\\[5pt] &=\dfrac{5}{2}x^2+\dfrac{8}{x} \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=5x-8x^{-2}\\[5pt] F(x)&=\dfrac{5}{2}x^2+\dfrac{8}{x} \end{array}$
e)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=(x^3-2)^2\\[5pt] &=x^6-4x^3+4\\[5pt] F(x)&=x^7\cdot\dfrac{1}{7}-4x^4\cdot\dfrac{1}{4}+4x\cdot\dfrac{1}{1}\\[5pt] &=\dfrac{1}{7}x^7-x^4+4x \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=x^6-4x^3+4\\[5pt] F(x)&=\dfrac{1}{7}x^7-x^4+4x \end{array}$
f)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\dfrac{1}{4}(3x^2+x)\\[5pt] &=\dfrac{3}{4}x^2+\dfrac{1}{4}x\\[5pt] F(x)&=\dfrac{3}{4}x^3\cdot\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}x^2\cdot\dfrac{1}{2}\\[5pt] &=\dfrac{1}{4}x^3+\dfrac{1}{8}x^2 \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\dfrac{3}{4}x^2+\dfrac{1}{4}x\\[5pt] F(x)&=\dfrac{1}{4}x^3+\dfrac{1}{8}x^2 \end{array}$
g)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\dfrac{1}{2}(3x^4+2x)^2\\[5pt] &=\dfrac{1}{2} (9x^8+12x^5+4x^2)\\[5pt] F(x)&=\left(9x^9\cdot\dfrac{1}{9}+12x^6\cdot\dfrac{1}{6}+4x^3\cdot\dfrac{1}{3}\right)\\ & \cdot\dfrac{1}{2} \\[5pt] &=\dfrac{1}{2} \left(x^9+2x^6+\dfrac{4}{3}x^3\right) \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} f(x)=\dfrac{1}{2} (9x^8+12x^5+4x^2)\\[5pt] F(x)=\dfrac{1}{2} \left(x^9+2x^6+\dfrac{4}{3}x^3\right) \end{array}$
h)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\dfrac{x^2+2x+1}{x+1}+\sqrt{x}\\[5pt] &=\dfrac{(x+1)^2}{x+1}+\sqrt{x}\\[5pt] &=x+1+x^{\frac{1}{2}}\\[5pt] F(x)&=x^2\cdot\dfrac{1}{2}+x+x^{\frac{3}{2}}\cdot\dfrac{1}{\frac{3}{2}}\\[5pt] &=\dfrac{1}{2}x^2+x+\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=x+1+x^{\frac{1}{2}}\\[5pt] F(x)&=\dfrac{1}{2}x^2+x+\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \end{array}$
i)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\dfrac{x^2-1}{x+1}-3x\\[5pt] &=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x+1}-3x\\[5pt] &=(x-1)-3x\\[5pt] &=-2x-1\\[5pt] F(x)&=-2x^2\cdot\dfrac{1}{2}-x\\[5pt] &=-x^2-x \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=-2x-1\\[5pt] F(x)&=-x^2-x \end{array}$
j)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\dfrac{x-x^{\frac{5}{2}}}{\sqrt{x}}\\[5pt] &=\dfrac{x}{x^{\frac{1}{2}}}-\dfrac{x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}\\[5pt] &=x^{\frac{1}{2}}-x^{2}\\[5pt] F(x)&=x^{\frac{3}{2}}\cdot\dfrac{1}{\frac{3}{2}}-x^{3}\cdot\dfrac{1}{3}\\[5pt] &=\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-\dfrac{1}{3}x^{3} \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=x^{\frac{1}{2}}-x^{2}\\[5pt] F(x)&=\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-\dfrac{1}{3}x^{3} \end{array}$
k)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=(2x^3+1)^2+1\\[5pt] &=4x^6+4x^3+1+1\\[5pt] F(x)&=4x^7\cdot\dfrac{1}{7}+4x^4\cdot\dfrac{1}{4}+2x\\[5pt] &=\dfrac{4}{7}x^7+x^4+2x \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=4x^6+4x^3+1+1\\[5pt] F(x)&=\dfrac{4}{7}x^7+x^4+2x \end{array}$
l)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\sqrt{-x-4}+5x\\[5pt] &=(-x-4)^{\frac{1}{2}}+5x\\[5pt] F(x)&=(-x-4)^{\frac{3}{2}}\cdot\dfrac{1}{\frac{3}{2}}\cdot\left(-\dfrac{1}{1}\right)+5x^2\cdot\dfrac{1}{2}\\[5pt] &=-\dfrac{2}{3}(-x-4)^{\frac{3}{2}}+\dfrac{5}{2}x^2 \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=(-x-4)^{\frac{1}{2}}+5x\\[5pt] F(x)&=-\dfrac{2}{3}(-x-4)^{\frac{3}{2}}+\dfrac{5}{2}x^2 \end{array}$
m)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\sqrt{2x+1}+5\\[5pt] &=(2x+1)^{\frac{1}{2}}+5\\[5pt] F(x)&=(2x+1)^{\frac{3}{2}}\cdot\dfrac{1}{\frac{3}{2}}\cdot\dfrac{1}{2}+5x\\[5pt] &=(2x+1)^{\frac{3}{2}}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}+5x\\[5pt] &=\dfrac{1}{3}(2x+1)^{\frac{3}{2}}+5x \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=(2x+1)^{\frac{1}{2}}+5\\[5pt] F(x)&=\dfrac{1}{3}(2x+1)^{\frac{3}{2}}+5x \end{array}$
5.
a)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\dfrac{2}{3}x^4+\mathrm e^{2x}\\[5pt] F(x)&=\dfrac{2}{3}x^5\cdot\dfrac{1}{5}+\mathrm e^{2x}\cdot\dfrac{1}{2}\\[5pt] &=\dfrac{2}{15}x^5+\dfrac{1}{2}\mathrm e^{2x} \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\dfrac{2}{3}x^4+\mathrm e^{2x}\\[5pt] F(x)&=\dfrac{2}{15}x^5+\dfrac{1}{2}\mathrm e^{2x} \end{array}$
b)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=2x+\mathrm e^{x+1}+\sqrt{x}\\[5pt] &=2x+\mathrm e^{x+1}+x^{\frac{1}{2}}\\[5pt] F(x)&=2x^2\cdot\dfrac{1}{2}+\mathrm e^{x+1}\cdot\dfrac{1}{1} +x^{\frac{3}{2}}\cdot\dfrac{1}{\frac{3}{2}}\\[5pt] &=x^2+\mathrm e^{x+1}+\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=2x+\mathrm e^{x+1}+x^{\frac{1}{2}}\\[5pt] F(x)&=x^2+\mathrm e^{x+1}+\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \end{array}$
c)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=3(x^2-5\mathrm e^{2x})\\[5pt] &=3x^2-15\mathrm e^{2x}\\[5pt] F(x)&=3x^3\cdot\dfrac{1}{3}-15\mathrm e^{2x}\cdot\dfrac{1}{2}\\[5pt] &=x^3-\dfrac{15}{2}\mathrm e^{2x} \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=3x^2-15\mathrm e^{2x}\\[5pt] F(x)&=x^3-\dfrac{15}{2}\mathrm e^{2x} \end{array}$
d)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=(x+2)^3+\mathrm e^{-3x}\\[5pt] F(x)&=(x+2)^4\cdot\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{1}+\mathrm e^{-3x}\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)\\[5pt] &=\dfrac{1}{4}(x+2)^4-\dfrac{1}{3}\mathrm e^{-3x} \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=(x+2)^3+\mathrm e^{-3x}\\[5pt] F(x)&=\dfrac{1}{4}(x+2)^4-\dfrac{1}{3}\mathrm e^{-3x} \end{array}$
e)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=-\dfrac{1}{3}x^2+2\mathrm e^x\\[5pt] F(x)&=-\dfrac{1}{3}x^3\cdot\dfrac{1}{3}+2\mathrm e^x\\[5pt] &=-\dfrac{1}{9}x^3+2\mathrm e^x \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=-\dfrac{1}{3}x^2+2\mathrm e^x\\[5pt] F(x)&=-\dfrac{1}{9}x^3+2\mathrm e^x \end{array}$
f)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\sqrt{4x-7}+\mathrm e^{\frac{1}{2}x}\\[5pt] &=(4x-7)^{\frac{1}{2}}+\mathrm e^{\frac{1}{2}x}\\[5pt] F(x)&=(4x-7)^{\frac{3}{2}}\cdot\dfrac{1}{\frac{3}{2}}\cdot\dfrac{1}{4} +\mathrm e^{\frac{1}{2}x}\cdot\dfrac{1}{\frac{1}{2}}\\[5pt] &=(4x-7)^{\frac{3}{2}}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{4} +2\mathrm e^{\frac{1}{2}x}\\[5pt] &=\dfrac{1}{6}(4x-7)^{\frac{3}{2}} +2\mathrm e^{\frac{1}{2}x} \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=(4x-7)^{\frac{1}{2}}+\mathrm e^{\frac{1}{2}x}\\[5pt] F(x)&=\dfrac{1}{6}(4x-7)^{\frac{3}{2}} +2\mathrm e^{\frac{1}{2}x} \end{array}$
g)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=4(x^3-5\mathrm e^{3x})\\[5pt] &=4x^3-20\mathrm e^{3x}\\[5pt] F(x)&=4x^4\cdot\dfrac{1}{4}-20\mathrm e^{3x}\cdot\dfrac{1}{3}\\[5pt] &=x^4-\dfrac{20}{3}\mathrm e^{3x} \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=4x^3-20\mathrm e^{3x}\\[5pt] F(x)&=x^4-\dfrac{20}{3}\mathrm e^{3x} \end{array}$
h)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=5x+\mathrm e^{-3x}\\[5pt] F(x)&=5x^2\cdot\dfrac{1}{2}+\mathrm e^{-3x}\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)\\[5pt] &=\dfrac{5}{2}x^2-\dfrac{1}{3}\mathrm e^{-3x} \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=5x+\mathrm e^{-3x}\\[5pt] F(x)&=\dfrac{5}{2}x^2-\dfrac{1}{3}\mathrm e^{-3x} \end{array}$
i)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=5(x^4-5\mathrm e^{7x})\\[5pt] &=5x^4-25\mathrm e^{7x}\\[5pt] F(x)&=5x^5\cdot\dfrac{1}{5}-25\mathrm e^{7x}\cdot\dfrac{1}{7}\\[5pt] &=x^5-\dfrac{25}{7}\mathrm e^{7x} \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=5x^4-25\mathrm e^{7x}\\[5pt] F(x)&=x^5-\dfrac{25}{7}\mathrm e^{7x} \end{array}$
j)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=x^{-3}+\dfrac{3}{x}\\[5pt] F(x)&=x^{-2}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)+3\ln(\left|x\right|)\\[5pt] &=-\dfrac{1}{2} x^{-2}+3\ln(\left|x\right|) \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=x^{-3}+\dfrac{3}{x}\\[5pt] F(x)&=-\dfrac{1}{2} x^{-2}+3\ln(\left|x\right|) \end{array}$
k)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\dfrac{5}{3+x}+\dfrac{3}{5}+\dfrac{x}{5}\\[5pt] F(x)&=5\ln(\left|3+x\right|)+\dfrac{3}{5}x+\dfrac{1}{10}x^2 \end{array}$
l)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=x^5+\dfrac{x}{2x^2}+7\\[5pt] &=x^5+\dfrac{1}{2x}+7\\[5pt] F(x)&=x^6\cdot\dfrac{1}{6}+\ln(\left|2x\right|)\cdot\dfrac{1}{2}+7x\\[5pt] &=\dfrac{1}{6}x^6 +\dfrac{1}{2}\ln(\left|2x\right|)+7x \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=x^5+\dfrac{1}{2x}+7\\[5pt] F(x)&=\dfrac{1}{6}x^6 +\dfrac{1}{2}\ln(\left|2x\right|)+7x \end{array}$
m)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\dfrac{4-x^2}{x^3}\\[5pt] &=\dfrac{4}{x^3}-\dfrac{x^2}{x^3}\\[5pt] &=4x^{-3}-\dfrac{1}{x}\\[5pt] F(x)&=4x^{-2}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right) -\ln(\left|x\right|)\\[5pt] &=-\dfrac{2}{x^2}-\ln(\left|x\right|) \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=x^5+\dfrac{1}{2x}+7\\[5pt] F(x)&=\dfrac{1}{6}x^6 +\dfrac{1}{2}\ln(\left|2x\right|)+7x \end{array}$
n)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=x^{-3}+\dfrac{3}{x+2}\\[5pt] F(x)&=x^{-2}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)+3\ln(\left|x+2\right|)\\[5pt] &=-\dfrac{1}{2x^{2}}+3\ln(\left|x+2\right|) \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=x^{-3}+\dfrac{3}{x+2}\\[5pt] F(x)&=-\dfrac{1}{2x^{2}}+3\ln(\left|x+2\right|) \end{array}$
o)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=(2x^2+1)^2+\dfrac{1}{2x+3}\\[5pt] &=4x^4+4x^2+1 +\dfrac{1}{2x+3}\\[5pt] F(x)&=4x^5\cdot\dfrac{1}{5}+4x^3\cdot\dfrac{1}{3}+x +\ln(\left|2x+3\right|)\cdot\dfrac{1}{2}\\[5pt] &=\dfrac{4}{5}x^5+\dfrac{4}{3}x^3+x +\dfrac{1}{2}\ln(\left|2x+3\right|) \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=4x^4+4x^2+1 +\dfrac{1}{2x+3}\\[5pt] F(x)&= \end{array}$
p)
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\dfrac{2}{4-3x}-\cos(3x+1)\\[5pt] F(x)&=2\ln(\left|4-3x\right|)\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)-\sin(3x+1)\cdot\dfrac{1}{3}\\[5pt] &=-\dfrac{2}{3}\ln(\left|4-3x\right|)-\dfrac{1}{3}\sin(3x+1) \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\dfrac{2}{4-3x}-\cos(3x+1)\\[5pt] F(x)&= \end{array}$
6.
1. Schritt: Term der Stammfunktion von g bilden
$\begin{array}{llllllll} G(x)&=4x^{2}\cdot\dfrac{1}{2}+4\mathrm e^{-2x}\cdot\left(\dfrac{1}{-2}\right)+c\\ &=2x^2-2\mathrm e^{-2x}+c \end{array}$
2. Schritt: Wert für c bstimmen
Setze die Koordinaten des Punktes $(0\mid2)$ ein in $G(x)$ und löse nach $c$ auf:
$\begin{array}{rlllllll} G(0)=2&=2\cdot0^2-2\mathrm{e}^{0}+c\\[5pt] 2&=-2+c\\[5pt] 4&=c \end{array}$
Die gesuchte Stammfunktion ist somit $G(x)=2x^2-2\mathrm{e}^{-2x}+4$.
7.
1. Schritt: Term der Stammfunktion von g bilden
$\begin{array}{rlllllll} G(x)&=2\mathrm e^{-\frac{1}{2}x}\cdot\dfrac{1}{-\frac{1}{2}}+3x^3\cdot\dfrac{1}{3}+c\\[5pt] &=2\mathrm e^{-\frac{1}{2}x}\cdot(-2)+x^3+c\\[5pt] &=-4\mathrm e^{-\frac{1}{2}x}+x^3+c \end{array}$
2. Schritt: Wert für c bstimmen
Setze die Koordinaten des Punktes $(0\mid0)$ in $G(x)$ ein und löse nach $c$ auf:
$\begin{array}{rlllllll} G(0)=0&=-4\mathrm e^0+0+c\\[5pt] &=-4+c\\[5pt] c&=4 \end{array}$
Die gesuchte Stammfunktion ist somit $G(x)=-4\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x}+x^3+4$.
8.
$\begin{array}{llllllll} g(x)&=2x^4+\dfrac{1}{x^2}-2\mathrm e^{-3x}\\[5pt] g(x)&=2x^4+x^{-2}-2\mathrm e^{-3x}\\[5pt] G(x)&=2x^5\cdot\dfrac{1}{5}+x^{-1}\cdot\left(\dfrac{1}{-1}\right)-2\mathrm e^{-3x}\cdot\left(\dfrac{1}{-3}\right)\\[5pt] &=\dfrac{2}{5}x^5-\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{3}\mathrm e^{-3x} \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} g(x)&=2x^4+\dfrac{1}{x^2}-2\mathrm e^{-3x}\\[5pt] g(x)&=2x^4+x^{-2}-2\mathrm e^{-3x}\\[5pt] G(x)&= \end{array}$
9.
$\begin{array}{llllllll} G(x)&=3x^4\cdot\dfrac{1}{4}-\sin\left(2x+1\right)\cdot\dfrac{1}{2}\\[5pt] &=\dfrac{3}{4}x^4-\dfrac{1}{2}\sin(2x+1) \end{array}$
10.
1. Schritt: Term der Stammfunktion von g bilden
$\begin{array}{llllllll} G(x)&=4x^2\cdot\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot\left(-\cos(2x)\cdot\dfrac{1}{2}\right)+c\\[5pt] &=2x^2+\dfrac{1}{4}\cos(2x)+c \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} G(x)&= \end{array}$
2. Schritt: Wert für c bstimmen
Setze die Koordinaten des Punktes $(0\mid1)$ in $G(x)$ ein und löse nach $c$ auf:
$\begin{array}{rlllllll} G(0)=1&=2\cdot0+\dfrac{1}{4}\cos(0)+c\\[5pt] 1&=0+\dfrac{1}{4}+c\\[5pt] c&=\dfrac{3}{4} \end{array}$
Die gesuchte Stammfunktion ist somit $G(x)=2x^2 + \dfrac{1}{4} \cos(2x)+\dfrac{3}{4}$.
11.
1. Schritt: Term der Stammfunktion von g bilden
$\begin{array}{rlllllll} G(x)&=2\cdot\sin(4x)\cdot\dfrac{1}{4}-\left(x+1\right)^3\cdot\dfrac{1}{3}\cdot1+c\\[5pt] &=\dfrac{1}{2}\sin(4x)-\dfrac{1}{3}\cdot(x+1)^3+c \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} G(x)&= \end{array}$
2. Schritt: Wert für c bstimmen
Setze die Koordinaten des Punktes $(0\mid2)$ in $G(x)$ ein und löse nach $c$ auf:
$\begin{array}{rlllllll} G(0)=2&=\dfrac{1}{2}\sin(0)-\dfrac{1}{3}\cdot(0+1)^3+c\\[5pt] 2&=0-\dfrac{1}{3}+c\\[5pt] c&=\dfrac{7}{3} \end{array}$
c=
Die gesuchte Stammfunktion ist somit $G(x)=\dfrac{1}{2}\cdot\sin(4x)-\dfrac{1}{3}(x+1)^3+\dfrac{7}{3}$.
12.
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{1}{2}\sin(4x)\\[5pt] f(x)&=2x^{-2}-\dfrac{1}{2}\sin(4x)\\[5pt] F(x)&=2x^{-1}\cdot\left(\dfrac{1}{-1}\right)-\dfrac{1}{2}\cdot(-\cos(4x))\cdot\dfrac{1}{4}\\[5pt] F(x)&=-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{8}\cos(4x) \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{1}{2}\sin(4x)\\[5pt] f(x)&=2x^{-2}-\dfrac{1}{2}\sin(4x)\\[5pt] F(x)&= \end{array}$
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