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Die Kreiszahl Pi

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Berechnungen am Kreis: Die Kreiszahl Pi
Abb. 1: Kreiszahl $\pi$
Berechnungen am Kreis: Die Kreiszahl Pi
Abb. 1: Kreiszahl $\pi$
#durchmesser#umfang
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Zeichne einen Kreis mit dem Radius $r=2,5\,\text{cm}$.
b)
Bestimme den Durchmesser des Kreises.
c)
Berechne den Flächeninhalt und den Umfang des Kreises.

Aufgabe 1

Zeichne einen Kreis mit…
a)
…dem Radius $r=3\,\text{cm}$.
b)
…dem Durchmesser $d=9\,\text{cm}$.
c)
…dem Flächeninhalt $A=\pi\,\text{cm}^2$.

Aufgabe 2

Wie verändert sich der Umfang und der Flächeninhalt eines Kreises, wenn du den Radius verdoppelst? Belege deine Aussage mit einer geeigneten Rechnung.

Aufgabe 3

Berechne, ausgehend von den Angaben, die du gegeben hast den Flächeninhalt, den Umfang, den Durchmesser und den Radius des Kreises.
a)
$r=4\,\text{cm}$
b)
$U=31,4\,\text{cm}$
c)
$A=113,1\,\text{cm}^2$

Aufgabe 4

Wenn du an deinem Fahrrad eine Gangschaltung verwendest, dann hast du am Hinterrad bzw. an den Pedalen unterschiedlich große Zahnräder, zwischen denen du hin und her schalten kannst.
a)
Wenn du die Größe der Zahnräder am Pedal oder am Rad veränderst, dann veränderst du die Strecke, die das Fahrrad zurücklegt, wenn die Pedale eine volle Drehung machen. Leite logisch her, wie du welches Zahnrad verändern musst, damit das Fahrrad sich bei einer Pedalumdrehung weiter fortbewegt.
Lukas Fahrrad hat ein Zahnrad mit einem Durchmesser von $25\,\text{cm}$ an den Pedalen. Durch seine Gangschaltung kann er die Zahnräder am Hinterrad wechseln. Er hat drei Zahnräder mit den Durchmessern $8\,\text{cm}$, $12\,\text{cm}$ und $16\,\text{cm}$. Das Hinterrad des Fahrrads hat einen Umfang von $210\,\text{cm}$.
b)
Berechne für jedes der Zahnräder am Hinterrad, wie weit Lukas fährt, wenn er die Pedale dreimal durchtritt.

Aufgabe 5

Berechnungen am Kreis: Die Kreiszahl Pi
Abb. 2: Nachbau der Nautilus im Disney World Resort in Orlando, Florida.
Berechnungen am Kreis: Die Kreiszahl Pi
Abb. 2: Nachbau der Nautilus im Disney World Resort in Orlando, Florida.
a)
Berechne den Durchmesser der Erde, wenn du davon ausgehst, dass die Erde eine perfekte Kugel wäre. Der Umfang der Erde beträgt $42.292\,\text{km}$.
Eine Meile entspricht umgerechnet ca. $1,609\,\text{km}$. Der Titel bezieht sich eigentlich auf die Strecke, die Kapitän Nemo und Professor Aronnax unter Wasser zurücklegen, aber…
b)
…wo befände sich die Nautilus, wenn sie tatsächlich $20.000$ Meilen unter dem Meeresspiegel wäre?
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Einführungsaufgabe

a)
Zeichne den Kreis, indem du den Abstand zwischen Nadel und Mine deines Zirkels so einstellst, dass der Abstand dem Radius, also $2,5\,\text{cm}$, entspricht.
Setze den Arm des Zirkels, der die Nadel hält auf das Blatt und zeichne mit dem Arm, der die Mine hält, einen Kreis darum herum. Achte dabei, dass du den Druck auf die Nadel aufrecht erhältst.
Der gezeichnete Kreis sieht so aus:
b)
Der Durchmesser entspricht dem doppelten Radius des Kreises. Multipliziere den Radius mit $2$ um den Durchmesser zu erhalten.
Der Durchmesser des Kreises ist $2\cdot2,5\,\text{cm}=5\,\text{cm}$ lang.
c)
Die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises lautet:
$A_K=\pi\cdot r^2$
$A_K=\pi\cdot r^2$
Dabei ist $r$ der Radius des Kreises und $\pi$ die Kreiszahl. Sie beträgt ungefähr $3,14$. Die Formel für den Umfang eines Kreises lautet:
$U_K=2\cdot \pi\cdot r=\pi\cdot d$
$U_K=2\cdot \pi\cdot r=\pi\cdot d$
Dabei ist $\pi$ wiederum die Kreiszahl, $r$ der Radius und $d$ der Durchmesser des Kreises. Berechne Flächeninhalt und Umfang des Kreises mit dem gegebenen Radius.
$\begin{array}[t]{rll} A_K&=&\pi\cdot r^2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] A_K&=&\pi\cdot (2,5\,\text{cm})^2 \\[5pt] A_K&=&\pi\cdot 6,25\,\text{cm}^2 \\[5pt] A_K&\approx&19,63\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$
Der Flächeninhalt des Kreises beträgt ca. $19,36\,\text{cm}^2$.
$\begin{array}[t]{rll} U_K&=&2\cdot\pi\cdot r &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] U_K&=&2\cdot\pi\cdot2,5\,\text{cm} \\[5pt] U_K&=&\pi\cdot5\,\text{cm} \\[5pt] U_K&\approx&15,71\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$
Der Umfang des Kreises beträgt ca. $15,71\,\text{cm}^2$.

Aufgabe 1

Zeichne den Kreis mit den geforderten Angaben. Bestimme dazu zuerst den Radius des Kreises. Stelle anschließend den Abstand zwischen Nadel und Mine so ein, dass der Abstand dem berechneten Radius entspricht und zeichne den Kreis. Alle Kreise sind in der Abbildung am Ende der Aufgabe gezeigt.
a)
Hier ist dir der Radius von $3\,\text{cm}$ bereits gegeben.
b)
Hier ist dir der Durchmesser gegeben. Er entspricht dem doppelten Radius. Der Radius des Kreises beträgt also $9\,\text{cm}:2=4,5\,\text{cm}$.
c)
Hier ist dir der Flächeninhalt gegeben. Du kannst ihn mit folgender Formel berechnen:
$A_K=\pi\cdot r^2$
$A_K=\pi\cdot r^2$
Dabei ist $r$ der Radius des Kreises und $\pi$ die Kreiszahl. Sie beträgt ungefähr $3,14$. Setze den gegebenen Flächeninhalt in die Formel ein und berechne den Radius des Kreises.
$\begin{array}[t]{rll} A_K&=&\pi\cdot r^2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \pi\,\text{cm}^2&=&\pi\cdot r^2 &\quad \scriptsize \mid\; :\pi\\[5pt] 1\,\text{cm}^2&=&r^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] 1\,\text{cm}&=&r\\[5pt] \end{array}$
Der Radius dieses Kreises beträgt $1\,\text{cm}$.

Aufgabe 2

Du kannst bei dieser Aufgabe unterschiedlich vorgehen. Entweder suchst du dir zwei passende Beispiele, wie z.B. zwei Kreise mit den Radien $r_1=2\,\text{cm}$ und $r_2=4\,\text{cm}$ oder du hältst die Radien allgemein als $r_1=x$ und $r_2=2x$. Setze die beiden Radien in die Formel für den Flächeninhalt ein und berechne ihn. Die Formel lautet:
$A_K=\pi\cdot r^2$
$A_K=\pi\cdot r^2$
Dabei ist $r$ der Radius des Kreises und $\pi$ die Kreiszahl. Sie beträgt ungefähr $3,14$. Anschließend kannst du das Verhältnis der beiden Flächeninhalte bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} A_2&=&\pi\cdot r_2^2 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] A_2&=&\pi\cdot (2x)^2 \\[5pt] A_2&=&\pi\cdot 4x^2 \\[5pt] \end{array}$
Bilde das Verhältnis der Flächeninhalte.
$\dfrac{A_2}{A_1}=\dfrac{4\cdot \pi\cdot x^2}{\pi\cdot x^2}=4$
Der Flächeninhalt vervierfacht sich, wenn der Radius verdoppelt wird. Gehe für den Umfang genauso vor. Die Formel für den Umfang eines Kreises lautet:
$U_K=2\cdot \pi\cdot r$
$U_K=2\cdot \pi\cdot r$
Dabei ist $r$ wiederum der Radius und $\pi$ die Kreiszahl.
$\begin{array}[t]{rll} U_2&=&2\cdot \pi\cdot r_2 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] U_2&=&2\cdot \pi\cdot 2x \\[5pt] U_2&=&4\cdot \pi\cdot x \\[5pt] \end{array}$
Bilde das Verhältnis der beiden Umfänge.
$\dfrac{U_2}{U_1}=\dfrac{4\cdot \pi\cdot r}{2\cdot \pi\cdot r}=2$
Der Flächeninhalt verdoppelt sich, wenn der Radius verdoppelt wird.

Aufgabe 3

Berechne die fehlenden Angaben der Kreise. Der Durchmesser $d$ entspricht dem doppelten Radius des Kreises. Die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises lautet:
$A_K=\pi\cdot r^2$
$A_K=\pi\cdot r^2$
Dabei ist $r$ der Radius des Kreises und $\pi$ die Kreiszahl. Sie beträgt ungefähr $3,14$. Die Formel für den Umfang eines Kreises lautet:
$U_K=2\cdot \pi\cdot r$
$U_K=2\cdot \pi\cdot r$
Dabei ist $r$ wiederum der Radius und $\pi$ die Kreiszahl.
a)
Berechne den Durchmesser. Er beträgt $2\cdot4\,\text{cm}=8\,\text{cm}$
Berechne als nächstes den Flächeninhalt mit der angegebenen Formel.
$\begin{array}[t]{rll} A_K&=&\pi\cdot r^2 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] A_K&=&\pi\cdot (4\,\text{cm})^2 \\[5pt] A_K&=&\pi\cdot 16\,\text{cm}^2 \\[5pt] A_K&\approx&50,27\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$
Der Flächeninhalt beträgt $50,27\,\text{cm}^2$.
Berechne zuletzt den Umfang mit der angegebenen Formel.
$\begin{array}[t]{rll} U_K&=&2\cdot \pi\cdot r &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] U_K&=&2\cdot \pi\cdot 4\,\text{cm} \\[5pt] U_K&=&\pi\cdot 8\,\text{cm} \\[5pt] U_K&\approx&25,13\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$
Der Umfang beträgt $25,13\,\text{cm}$.
b)
Hier hast du den Umfang gegeben. Nutze die Formel für den Umfang, um durch umformen den Radius des Kreises zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} U_K&=&2\cdot \pi\cdot r &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 31,4\,\text{cm}&=&2\cdot \pi\cdot r &\quad \scriptsize \mid\;:\pi \\[5pt] 10\,\text{cm}&\approx&2\cdot r &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] 5\,\text{cm}&\approx&r \\[5pt] \end{array}$
Der Radius des Kreises beträgt $5\,\text{cm}$.
Berechne nun den Durchmesser des Kreises. Er beträgt das doppelte des Radius. Der Durchmesser des Kreises ist demnach $5\,\text{cm}\cdot 2=10\,\text{cm}$ lang.
Berechne zuletzt mit der angegebenen Formel den Flächeninhalt des Kreises.
$\begin{array}[t]{rll} A_K&=&\pi\cdot r^2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] A_K&=&\pi\cdot (5\,\text{cm})^2\\[5pt] A_K&=&\pi\cdot 25\,\text{cm}^2\\[5pt] A_K&\approx&\pi\cdot 78,54\,\text{cm}^2\\[5pt] \end{array}$
Der Flächeninhalt des Kreises beträgt $78,54\,\text{cm}^2$.
c)
Nun hast du den Flächeninhalt gegeben. Gehe ähnlich wie bei Aufgabenteil b) vor. Setze den bekannten Flächeninhalt in die Formel ein und forme um, sodass du den Radius berechnen kannst.
$\begin{array}[t]{rll} A_K&=&\pi\cdot r^2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 113,1\,\text{cm}^2&=&\pi\cdot r^2 &\quad \scriptsize \mid\; :\pi\\[5pt] 36\,\text{cm}^2&\approx&r^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] 6\,\text{cm}&\approx&r \\[5pt] \end{array}$
Der Radius des Kreises beträgt $6\,\text{cm}$.
Berechne nun den Durchmesser des Kreises. Er entspricht dem doppelten des Radius. Der Durchmesser beträgt also $2\cdot6\,\text{cm}=12\,\text{cm}$.
Berechne zuletzt den Umfang des Kreises mit der angegebenen Formel.
$\begin{array}[t]{rll} U_K&=&2\cdot \pi\cdot r &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] U_K&=&2\cdot \pi\cdot 6\,\text{cm} \\[5pt] U_K&=&\pi\cdot 12\,\text{cm} \\[5pt] U_K&\approx&37,70\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$
Der Umfang des Kreises beträgt $37,70\,\text{cm}$.

Aufgabe 4

a)
Bei dieser Aufgabe ist weniger dein mathematisches Verständnis als deine Logik gefordert. Mache dir klar, wie sich eine Umdrehung der Pedale letztendlich auf das Rad selbst auswirkt. Anschließend kannst du dir überlegen, wie die Größe eines Zahnrads die Anzahl an Umdrehungen beeinflusst. Vielleicht hilft es dir auch, wenn du eine passende Skizze anfertigst.
Eine Drehung der Pedale führt zu einer Drehung des Zahnrads an den Pedalen. Dieses überträgt die Drehung auf das hintere Zahnrad. Je nachdem wie hier die Größenverhältnisse sind, dreht sich das Zahnrad unterschiedlich oft. Diese Drehung wird dann auch vom Rad selbst durchgeführt.
Das Größenverhältnis des Pedal- und des Hinterradzahnrads bestimmen also, wie oft sich das Rad dreht. Wie kann man die Anzahl der Drehungen möglichst groß werden lassen?
Je größer das Zahnrad an den Pedalen ist, desto größer ist sein Umfang. Bei einer Umdrehung mit den Pedalen bewegt sich die Kette, welche das Hinterrad antreibt, um den Umfang des Pedalzahnrads. Wenn dieses Zahnrad besonders groß ist, dann bewegt sich die Kette weiter.
Am Hinterrad treibt die Kette das Zahnrad dort um die Strecke, die sie bewegt wird, an und führt zu einer Anzahl an Umdrehungen, die Abhängig vom Umfang des Zahnrads ist. Je kleiner das Zahnrad ist, desto mehr Umdrehungen finden bei der Bewegung durch die Kette statt und desto weiter dreht sich auch das Rad.
Das Fahrrad bewegt sich weiter fort, wenn das Zahnrad an den Pedalen möglichst groß und das Zahnrad am Hinterrad möglichst klein ist.
b)
Hier sollst du nun deine logischen Überlegungen von Aufgabenteil a) in eine Rechnung übersetzen. Dazu benötigst du vorallem den Umfang eines Kreises. Die Formel dafür lautet:
$U_K=2\cdot r\cdot pi=d\cdot \pi$
$U_K=2\cdot r\cdot pi=d\cdot \pi$
Dabei ist $r$ der Radius bzw. $d$ der Durchmesser des Kreises. $\pi$ ist die Kreiszahl. Sie beträgt ca. $3,14$.
Berechne, wie weit sich die Kette bei drei Umdrehungen des vorderen Zahnrads bewegt. Diese Strecke entspricht dem dreifachen Umfang des Zahnrads mit dem Durchmesser von $25\,\text{cm}$.
$\begin{array}[t]{rll} 3\cdot U_K&=&3\cdot d\cdot\pi &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 3\cdot U_K&=&3\cdot 25\,\text{cm}\cdot\pi \\[5pt] 3\cdot U_K&=&75\,\text{cm}\cdot\pi \\[5pt] 3\cdot U_K&\approx&235,62\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$
Die Kette bewegt sich um eine Strecke von $235,62\,\text{cm}$. Berechne die Umfänge der Zahnräder 1 bis 3 mit den Durchmessern $d_1=8\,\text{cm}$, $d_2=12\,\text{cm}$ und $d_3=16\,\text{cm}$ und berechne anschließen, wie vielen Umläufen des Zahnrads diese Strecke entsprechen würde.
$\begin{array}[t]{rll} U_1&=&d_1\cdot\pi &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] U_1&=&8\,\text{cm}\cdot\pi \\[5pt] U_1&\approx&25,13\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} U_2&=&d_2\cdot\pi &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] U_2&=&12\,\text{cm}\cdot\pi \\[5pt] U_2&\approx&37,70\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} U_3&=&d_3\cdot\pi &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] U_3&=&16\,\text{cm}\cdot\pi \\[5pt] U_3&\approx&50,27\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$
Berechne, wie vielen Umfängen die Strecke von $235,62\,\text{cm}$ jeweils entspricht.
$\dfrac{235,61\,\text{cm}}{U_1}=\dfrac{235,62\,\text{cm}}{25,13\,\text{cm}}=9,38$
$\dfrac{235,61\,\text{cm}}{U_2}=\dfrac{235,62\,\text{cm}}{37,70\,\text{cm}}=6,25$
$\dfrac{235,61\,\text{cm}}{U_3}=\dfrac{235,62\,\text{cm}}{50,27\,\text{cm}}=4,69$
Berechne zuletzt noch die zurückgelegte Strecke mit dem Fahrrad, indem du die Anzahl an Umdrehungen des (Zahn)rads mit dem Umfang des Rads von $210\,\text{cm}$ multiplizierst.
Zahnrad 1: $9,38\cdot210\,\text{cm}=1.969,8\,\text{cm}\mathrel{\widehat{=}}19,70\,\text{m}$
Zahnrad 2: $6,25\cdot210\,\text{cm}=1.312,5\,\text{cm}\mathrel{\widehat{=}}13,13\,\text{m}$
Zahnrad 3: $4,69\cdot210\,\text{cm}=984,9\,\text{cm}\mathrel{\widehat{=}}9,85\,\text{m}$

Aufgabe 5

a)
Du kannst den Durchmesser berechnen, indem du den gegebenen Umfang in die Formel für den Umfang eines Kreises einsetzt und nach dem Durchmesser auflöst. Die Formel lautet:
$U_K=2\cdot r\cdot \pi=d\cdot \pi$
$U_K=2\cdot r\cdot \pi=d\cdot \pi$
Dabei ist $r$ der Radius bzw. $d$ der Durchmesser des Kreises und $\pi$ die Kreiszahl. Sie beträgt ungefähr $3,14$.
$\begin{array}[t]{rll} U_K&=&d\cdot\pi &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 42.292\,\text{km}&=&d\cdot\pi &\quad \scriptsize \mid\;:\pi \\[5pt] 13.462\,\text{km}&\approx&d \\[5pt] \end{array}$
Die Erde hat ungefähr einen Durchmesser von $13.462\,\text{km}$.
b)
Um zu berechnen, wie tief die Nautilus wäre, wenn sie $20.000$ Meilen unter dem Meer wäre, musst du diese Angabe zuerst in $\text{km}$ umrechnen. In der Aufgabenstellung hast du gegeben, dass eine Meile $1,609\,\text{km}$ lang ist.
$20.000\cdot1,609\,\text{km}=32.180\,\text{km}$
Ziehe diese Tiefe vom Durchmesser der Erde ab, den du im vorherigen Aufgabenteil berechnest hast. Er berägt ungefähr $13.462\,\text{km}$.
$13.462\,\text{km}-32.180\,\text{km}=-18.718\,\text{km}$.
Wenn die Nautilus $20.000$ Meilen unter dem Meer tauchen würde, dann würde sie auf der anderen Seite der Erde in ca. $18.000\,\text{km}$ Höhe im Weltraum fliegen.
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