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Flächeninhalt und Umfang

Spickzettel
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Umfang
Die Formel, um den Umfang eines Kreises zu berechnen, lautet:
$u=2\cdot r \cdot \pi$
$u=2\cdot r \cdot \pi$
Wie du in dem Einführungsskript gelernt hast, ist der Durchmesser eines Kreises doppelt so groß wie der Radius:
$d=2\cdot r$
Deshalb kann es sein, dass du in manchen Büchern folgende Formel findest:
$u=d\cdot\pi$
$u= d\cdot \pi$
Flächeninhalt
Die Formel, mit der du den Flächeninhalt eines Kreises berechnen kannst, lautet:
$A=\pi\cdot r^2$
$A=\pi\cdot r^2$
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Aufgaben
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1.
Berechnungen am Kreis: Flächeninhalt und Umfang
Abb. 1: Skizze
Berechnungen am Kreis: Flächeninhalt und Umfang
Abb. 1: Skizze
2.
Berechnungen am Kreis: Flächeninhalt und Umfang
Abb. 2: Skizze
Berechnungen am Kreis: Flächeninhalt und Umfang
Abb. 2: Skizze
3.
Kreisumfang und Flächeninhalt.
a)
Berechne den Flächeninhalt und den Umfang eines Kreises $K_1$ mit dem Radius $r_1=4\;\text{cm}$
b)
Berechne den Radius $r_2$ des Kreises $K_2$, der den doppelten Flächeninhalt hat wie $K_1$.
c)
Der Umfang eines Kreises $K_3$ ist dreimal so groß wie der Umfang des Kreises $K_1$.
Berechne den Radius von $K_3$.
4.
Berechnungen am Kreis: Flächeninhalt und Umfang
Abb. 3: Skizze
Berechnungen am Kreis: Flächeninhalt und Umfang
Abb. 3: Skizze
5.
Berechnungen am Kreis: Flächeninhalt und Umfang
Abb. 4: Skizze
Berechnungen am Kreis: Flächeninhalt und Umfang
Abb. 4: Skizze
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
[2]
© 2016 – SchulLV.
[3]
© 2016 – SchulLV.
[4]
© 2016 – SchulLV.
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Lösungen
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1.
Vergleich von direktem Weg und Halbkreisstrecke
In der Skizze stellt der direkte Weg $\overline{AB}$ den Durchmesser $d$ des vollen Kreises dar. Seine Länge beträgt $d=3,5\;\text{cm}.$ Damit kannst du im 1. Schritt den Radius $r$ bestimmen. Die Halbkreisstrecke $u_H$ ist der halbe Umfang des vollen Kreises. Den Umfang $u$ eines Kreises berechnest du im 2. Schritt mit der Formel $u=2\cdot\pi\cdot r.$
Im 3. Schritt bestimmst du den Umfang des Halbkreises und vergleichst ihn anschließend im 4. Schritt mit dem Durchmesser $d$.
1. Schritt: Radius $\boldsymbol {r}$ bestimmen
Der Radius eines Kreises ist die Hälfte seines Durchmessers, d.h. $r=\dfrac{1}{2}\cdot d$.
Da der direkte Weg den Durchmesser des Kreises darstellt, kannst du damit nun den Radius $r$ bestimmen:
$ \begin{array}[t]{rcll} r&=&\dfrac{1}{2}\cdot d&\scriptsize \mid\; \text{Einsetzen von }d=3,5\;\text{cm}\\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot 3,5\;\text{cm} &\\[5pt] r&=&1,75\;\text{cm} &\\[5pt] \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rcll} r&=&1,75\;\text{cm} &\\[5pt] \end{array} $
2. Schritt: Umfang $\boldsymbol {u}$ des vollen Kreises bestimmen
$ \begin{array}[t]{rcll} u&=&2\cdot\pi\cdot r&\scriptsize \mid\; \text{Einsetzen von} r=1,75\;\text{cm}\\[5pt] &=&2\cdot\pi\cdot 1,75 \;\text{cm}&\\[5pt] u&=&11\;\text{cm}&\\[5pt] \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rcll} u&=&11 \;\text{cm}&\\[5pt] \end{array} $
3. Schritt: Umfang $u_H$ des halben Kreises bestimmen
In der Aufgabe ist der Umfang $u_H$ des halben Kreises gesucht, d.h. $u_H=\dfrac{1}{2}\cdot u$. Er stellt die Halbkreisstrecke dar.
Somit folgt:
$u_H=\dfrac{1}{2}\cdot 11\; \text{cm}=5,5\;\text{cm} $
4. Schritt: Umfang $u_H$ mit Durchmesser $d$ vergleichen
Um zu prüfen, um wieviel länger die Halbkreisstrecke als der direkte Weg ist, kannst du die Halbkreisstrecke durch die Länge des direkten Weges teilen.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\text{Halbkreisstrecke}}{\text{direkter Weg}}&=&\dfrac{u_H}{d} \\[5pt] &=&\dfrac{5,5\; \text{cm}}{3,5\; \text{cm}} \\[5pt] &\approx&1,57 \end{array}$
Daraus folgt:
Die Halbkreisstrecke ist um den Faktor 1,57 länger als der direkte Weg.
2.
Anzahl der Umdrehungen bestimmen
Eine Umdrehung $U$ des Rades ist dann erfolgt, wenn der Umfang $u$ des Rades einmal durchlaufen wurde. D.h. $U=u=2\cdot\pi\cdot r$.
Rechne im 1. Schritt den Radius $r$ sowie die Länge der Fahrradstrecke in die Einheit m um, damit du nicht mit zwei unterschiedlichen Einheiten rechnest.
Anschließend kannst du im 2. Schritt den Umfang $u$ des Rades berechnen.
Im 3. Schritt wird dann die Streckenlänge durch den Umfang geteilt, um zu prüfen, wie oft eine Umdrehung erfolgt ist.
1. Schritt: Einheiten umrechnen
Fahrradstrecke:
$1\; \text{km}\mathrel{\widehat{=}}1.000\; \text{m}$
Radius $r$:
$ \begin{array}[t]{rcll} 100\;\text{ cm}&\mathrel{\widehat{=}}&1\;\text{ m}&\scriptsize \mid\; :100\\[5pt] 1\;\text{ cm}&\mathrel{\widehat{=}}&0,01\;\text{ m}&\scriptsize \mid\; \cdot63.7\\[5pt] 63.7\;\text{ cm}&\mathrel{\widehat{=}}&0,637\;\text{ m}&\scriptsize\\[5pt] \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rcll} 63.7\;\text{ cm}&\mathrel{\widehat{=}}&0,637\;\text{ m}&\scriptsize\\[5pt] \end{array} $
2. Schritt: Umfang des Rades/einer Radumdrehung berechnen
$ \begin{array}[t]{rrll} u&=&2\cdot\pi\cdot r&\scriptsize \mid\; \text{Radius r einsetzen}\\[5pt] &=&\pi\cdot 0,637\; \text{m}&\\[5pt] u&\approx&2\; \text{m}&\\[5pt] \end{array} $
Der Umfang des Rades beträgt somit $u=2 $m. Das entspricht auch der Länge einer Radumdrehung.
3. Schritt: Prüfen, wie oft sich das Rad dreht
Die Fahrradstrecke ist $1.000\;\text{m}$ lang. Alle 2 m hat das Rad eine Umdrehung vollzogen. D.h. du musst jetzt die Länge der Fahrradstrecke durch die Länge einer Umdrehung teilen, um die Anzahl der gesamten Umdrehungen in $1.000\;\text{m}$ zu erhalten.
$\dfrac{\text{Streckenlänge}}{\text{Radumfang}}=\dfrac{1.000\; \text{m}}{2\; \text{m}}=500$
Daraus folgt:
Auf einer Länge von $1.000\;\text{m}$ dreht sich das Rad 500 mal.
3.
a)
Flächeninhalt und Umfang von $\boldsymbol{K_1}$ berechnen
$ \begin{array}[t]{rll} A&=&\pi\cdot r_1^2&\\[5pt] &=&\pi\cdot(4\;\text{cm})^2&\\[5pt] &=&\pi\cdot16\;\text{cm}^2&\\[5pt] &\approx&50,27\;\text{cm}^2&\\[5pt] u_1&=&2\cdot\pi\cdot r_1&\\[5pt] &=&2\cdot\pi\cdot4\;\text{cm}&\\[5pt] &=&\pi\cdot8\;\text{cm}\\[5pt] &\approx&25,13\;\text{cm} \end{array} $
b)
Radius von $\boldsymbol{K_2}$ bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} A_2&=&2\cdot A_1 \\[5pt] &=&2\cdot50,27\;\text{cm}^2 \\[5pt] &=&100,54\;\text{cm}^2 \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} 100,54\;\text{cm}^2&=&\pi\cdot r_2^2&\quad \scriptsize \mid\;:\pi\\[5pt] \dfrac{100,54\;\text{cm}^2}{\pi}&=&r_2^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt\; \\[5pt] \sqrt{\dfrac{100,54\;\text{cm}^2}{\pi}}&=&r_2 \\[5pt] r_2&\approx&5,66\;\text{cm} \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} r_2\approx&5,66\;\text{cm} \end{array} $
c)
Radius von $\boldsymbol{K_3}$ bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} u_3&=&3\cdot u_1 \\[5pt] &=&3\cdot25,13\;\text{cm} \\[5pt] &=&75,39\;\text{cm} \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} 75,39\;\text{cm}&=&2\cdot\pi\cdot r_3 &\quad \scriptsize \mid\;:2\cdot\pi\\[5pt] \dfrac{75,39\;\text{cm}}{2\cdot\pi}&=& r_3 \\[5pt] 12,00\;\text{cm}&\approx& r_3 \end{array} $
4.
Flächeninhalt und Umfang des Trapezes in Abhängigkeit von $\boldsymbol{r}$ berechnen
Berechnungen am Kreis: Flächeninhalt und Umfang
Abb. 1: Skizze
Berechnungen am Kreis: Flächeninhalt und Umfang
Abb. 1: Skizze
1. Schritt: $|\overline{AM}|$ berechnen
$ \begin{array}[t]{rll} \dfrac{|\overline{AM}|}{r}&=&cos\;\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) &\quad \scriptsize \mid\;\cdot r\\[5pt] |\overline{AM}|&=&r\cdot cos\;\left(\dfrac{60°}{2}\right)\\[5pt] &=&r\cdot cos\;(30°)\\[5pt] &=&\dfrac{\sqrt{3}}{2}r \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} |\overline{AM}| &=&\dfrac{\sqrt{3}}{2}r \end{array} $
2. Schritt: $|\overline{BM}|$ berechnen
$ \begin{array}[t]{rll} \dfrac{|\overline{BM}|}{r}&=&cos\;\left(\dfrac{\gamma}{2}\right) &\quad \scriptsize \mid\;\cdot r\\[5pt] |\overline{BM}|&=&r\cdot cos\;\left(\dfrac{120°}{2}\right)\\[5pt] &=&r\cdot cos\;(60°)\\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}r \end{array} $
$\begin{array}[t]{rll} h&=&|\overline{AM}|+|\overline{BM}| \\[5pt] &=&\dfrac{\sqrt{3}}{2}r+\dfrac{1}{2}r \\[5pt] \end{array}$
3. Schritt: $|\overline{EF}|$ und $|\overline{HG}|$ bestimmen
$ \begin{array}[t]{rll} \dfrac{|\overline{EF}|}{2}+|\overline{BM}|^2&=&r^2 & \quad \scriptsize \mid\; |-|\overline{BM}|\\[5pt] \left(\dfrac{|\overline{EF}|}{2}\right)^2&=&r^2-|\overline{BM}|^2\\[5pt] \left(\dfrac{|\overline{EF}|}{2}\right)^2&=&r^2-\left(\dfrac{1}{2}r\right)^2\\[5pt] \dfrac{|\overline{EF}|}{2}&=&\sqrt{r^2-\left(\dfrac{1}{2}r\right)^2} \\[5pt] \dfrac{|\overline{EF}|}{2}&=&\sqrt{\dfrac{3}{4}r^2} \\[5pt] &=&\sqrt{\dfrac{3}{4}}\cdot r \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{3}\cdot r \end{array} $
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{|\overline{EF}|}{2}&=&\sqrt{\dfrac{3}{4}r^2} \\[5pt] &=&\sqrt{\dfrac{3}{4}}\cdot r \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{3}\cdot r \end{array}$
$\Longrightarrow\;|\overline{EF}|=\sqrt{3}\cdot r$
$|\overline{HG}|=r$. Das Dreieck $HMG$ ist ein gleichseitiges Dreieck. Es wird durch den Winkel $\alpha=60°$ und dessen Schenkel $|\overline{MH}|=r$ und $|\overline{MG}|=r$ bestimmt.
4. Schritt: Flächeninhalt des Trapezes $EFGH$ berechnen
$ \begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{|\overline{EF}|+|\overline{HG}|}{2}\cdot h\\[5pt] &=&\dfrac{\sqrt{3}\cdot r+r}{2}\cdot\left(\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\right)\cdot r\\[5pt] &=&\left(\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\right)\cdot r\cdot\left(\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\right)\cdot r\\[5pt] &=&\left(\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\right)^2\cdot r^2\\[5pt] &=&\dfrac{3+2\cdot\sqrt{3}+1}{4}\cdot r^2\\[5pt] &=&\dfrac{4+2\cdot\sqrt{3}}{4}\cdot r^2\\[5pt] &=&\left(\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}\right)\cdot r^2 (FE) \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} A &=&\left(\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}\right)\cdot r^2 (FE) \end{array} $
$\scriptsize{FE=Flächeneinheiten}$
5. Schritt: $|\overline{FG}|$ berechnen
$ \begin{array}[t]{rll} |\overline{FG}|^2&=&n^2+h^2\\[5pt] |\overline{FG}|&=&\sqrt{n^2+h^2}\\[5pt] &=&\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}r\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}r\right)^2}\\[5pt] &=&\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\right)^2\cdot r^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\right)^2\cdot r^2}\\[5pt] &=&\sqrt{r^2\left[\left(\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\right)^2\right]}\\[5pt] &=&r\cdot\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\right)^2}\\[5pt] &=&r\cdot\sqrt{\dfrac{(\sqrt{3}-1)^2+(\sqrt{3}+1)^2}{4}}\\[5pt] &=&r\cdot\sqrt{\dfrac{3-2\cdot\sqrt{3}+1+3+2\cdot\sqrt{3}+1}{4}}\\[5pt] &=&r\cdot\sqrt{\dfrac{8}{4}}\\[5pt] &=&\sqrt{2}\cdot r \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} |\overline{FG}|&=&\sqrt{2}\cdot r \end{array} $
Nebenrechnung: $ \begin{array}[t]{rll} n&=&\dfrac{|\overline{EF}|-|\overline{HG}|}{2}\\[5pt] &=&\dfrac{\sqrt{3}\cdot r-r}{2}\\[5pt] &=&\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}r \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} u&=&|\overline{EF}|+2\cdot|\overline{FG}|+|\overline{HG}|\\[5pt] &=&\sqrt{3}\cdot r+2\cdot\sqrt{2}\cdot r+r\\[5pt] &=&(\sqrt{3}+2\cdot\sqrt{2}+1)\cdot r (LE) \end{array} $
$\scriptsize{LE=Längeneinheiten}$
5.
Seitenlänge des Quadrates bestimmen
Im 1. Schritt wird der Flächeninhalt der markierten Fläche bestimmt, indem der Flächeninhalt der vier Kreise vom Flächeninhalt des Quadrats subtrahiert wird. Im 2. Schritt wird die Seitenlänge $b$ eines Quadrats bestimmt, das denselben Flächeninhalt hat, wie die markierte Fläche.
1. Schritt: Flächeninhalt der markierten Fläche in Abhängigkeit von $a$ bestimmen
$ \begin{array}[t]{rll} A_{Kreise}&=&4\cdot\pi\cdot r^2\\[5pt] &=&4\cdot\pi\cdot\left(\dfrac{1}{4}a\right)^2\\[5pt] &=&4\cdot\pi\cdot\dfrac{1}{16}a^2\\[5pt] &=&\pi\cdot\dfrac{1}{4}a^2\\[5pt] A_{schwarz}&=&a^2-\dfrac{1}{4}\cdot\pi\cdot a^2\\[5pt] &=&\left(1-\dfrac{1}{4}\cdot\pi\right)\cdot a^2 \end{array} $
2. Schritt: Seitenlänge $\boldsymbol{b}$ des gesuchten Quadrats berechnen
$ \begin{array}[t]{rll} b^2&=&\left(1-\dfrac{1}{4}\cdot\pi\right)\cdot a^2\\[5pt] b&=&\sqrt{\left(1-\dfrac{1}{4}\cdot\pi\right)\cdot a^2}\\[5pt] &=&\sqrt{1-\dfrac{1}{4}\cdot\pi}\cdot a \end{array} $
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