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Geraden und Winkel am Kreis

Spickzettel
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Geraden am Kreis:
Eine Tangente berührt den Kreis an nur einem Punkt. In diesem Punkt steht der Radius senkrecht auf der Tangente.
Eine Sekante ist eine Gerade, die den Kreis zwei mal schneidet.
Winkel am Kreis:
Der Peripheriewinkel $\beta$ ist der Winkel, der über der Sehne $s$ auf der Kreislinie liegt.

Beispiel

$\alpha=100°$
Peripheriewinkel $\beta$:
$\beta=\frac{\alpha}{2}=50°$
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Aufgaben
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1.
Kennzeichne die Tangenten und Sekanten.
2. 
Wie groß ist der Winkel $\gamma$?
3. 
Berechne die Winkel $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ und $\varepsilon$.
4. Zeichne einen Kreis mit dem Mittelpunkt M $(3\mid3)$ und dem Radius $2$ LE in ein Koordinatensystem. Die Gerade $g$ verläuft durch die Punkte A $(0\mid5)$ und B $(6\mid5)$. Die Gerade $f$ verläuft durch die Punkte C $(0\mid4)$ und D $(6\mid4)$.
Ist die Gerade $g$ eine Tangente? Begründe.
Ist die Gerade $f$ eine Sekante? Begründe.
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Lösungen
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1.  Tangenten und Sekanten kennzeichnen
Tangenten sind Geraden, die einen Kreis an einem Punkt berühren.
Sekanten schneiden einen Kreis genau zweimal.
2.  Bestimme den Winkel $\boldsymbol{\gamma}$
Der Peripheriewinkel ist der Winkel, der gegenüber der Kreissehne $\color{#87c800}{s}$ auf dem Kreisbogen liegt. D.h. bei dieser Figur ist das der Winkel $\color{#87c800}{\beta}$. Er ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel.
Berechne im 1. Schritt $\beta$, um anschließend im 2. Schritt $\gamma$ berechnen zu können. Verwende dafür die Innenwinkelsumme eines Dreiecks.
1. Schritt: $\boldsymbol{\beta}$ bestimmen
$\beta=\dfrac{\text{Mittelpunktswinkel}}{2}=\dfrac{130^{\circ}}{2}=65^{\circ}$
2. Schritt: $\boldsymbol{\gamma}$ bestimmen
In einem Dreieck ist die Summe der Innenwinkel immer $180^{\circ}$. Weiterhin handelt es sich hier um ein gleichschenkliges Dreieck, d.h. die zwei Basiswinkel sind identisch.
Somit folgt:
$\begin{array}{rll} 180^{\circ}=&\beta+2\cdot\gamma \\[5pt] 180^{\circ}=&65^{\circ}+2\cdot\gamma&\scriptsize \mid\;-65^{\circ} \\[5pt] 2\cdot\gamma=&115^{\circ}&\scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] \gamma=&57,5^{\circ} \end{array}$
3.  Winkel $\boldsymbol{\alpha, \beta, \gamma, \delta}$und $\boldsymbol{\varepsilon}$ bestimmen
Bei dieser Figur beträgt der Mittelpunktswinkel $180^{\circ}$. Die Kreissehne ist die Strecke $\overline{AB}$. Somit ist der Peripheriewinkel $\color{#87c800}{\varepsilon+70^{\circ}}$.
Berechne im 1. Schritt $\varepsilon$.
Da sowohl die Strecke $\overline{AM}$ als auch die Strecke $\overline{MC}$ dem Radius des Kreises entsprechen, handelt es sich bei dem Dreieck $AMC$ um ein gleichschenkliges Dreieck.
Berechne damit im 2. Schritt $\alpha$ und $\beta$, um im 3. Schritt $\gamma$ berechnen zu können.
Im letzten Schritt kannst du jetzt $\delta$ mit der Innenwinkelsumme eines Dreiecks bestimmen.
1. Schritt: $\boldsymbol{\varepsilon}$ bestimmen
Peripheriewinkel:
$\varepsilon+70^{\circ}=\dfrac{\text{Mittelpunktswinkel}}{2}=\dfrac{180^{\circ}}{2}=90^{\circ}$.
Alternativ hättest du den Peripheriewinkel auch mit dem Satz des Thales herleiten können, der besagt, dass alle Winkel in einem Halbkreisbogen rechte Winkel sind.
Daraus ergibt sich für $\varepsilon$:
$\varepsilon=90^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ}$
2. Schritt: $\boldsymbol{\alpha}$ und $\boldsymbol{\beta}$ bestimmen
Da $\overline{AM}=\overline{MC}$ gilt, handelt es sich bei dem Dreieck $AMC$ um ein gleichschenkliges Dreieck mit den Basiswinkeln $\alpha$ und $\varepsilon$.
Somit folgt:
$\varepsilon=\alpha=20^{\circ}$.
Weiterhin beträgt die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck immer $180^{\circ}$:
$\begin{array}{rll} \alpha+\varepsilon+\beta=&180^{\circ} \\[5pt] 20^{\circ}+20^{\circ}+\beta=&180^{\circ}&\scriptsize \mid\;-40^{\circ} \\[5pt] \beta=&140^{\circ} \end{array}$
3. Schritt: $\boldsymbol{\gamma}$ berechnen
$\beta$ und $\gamma$ ergeben zusammen einen Halbkreis:
$\begin{array}{rll} \beta+\gamma=&180^{\circ} \\[5pt] 140^{\circ}+\gamma=&180^{\circ}&\scriptsize \mid\;-140^{\circ} \\[5pt] \gamma=&40^{\circ} \end{array}$
4. Schritt: $\boldsymbol{\delta}$ bestimmen
Mit der Innenwinkelsumme des Dreiecks $MBC$ ergibt sich:
$\begin{array}{rll} 70^{\circ}+\gamma+\delta=&180^{\circ} \\[5pt] 70^{\circ}+40^{\circ}+\delta=&180^{\circ}&\scriptsize \mid\;-110^{\circ} \\[5pt] \delta=&70^{\circ} \end{array}$
Zusammengefasst ergibt das:
$\varepsilon=\alpha=20^{\circ}$
$\beta=140^{\circ}$
$\gamma=40^{\circ}$
$\delta=70^{\circ}$
4.  Schaubild anhand bestimmter Angaben zeichnen und die Lage der Geraden überprüfen
Die Gerade $\color{#A0321E}{g}$ ist eine Tangente, da sie den Kreis an genau einem Punkt berührt.
Bei der Geraden $\color{#87c800}{f}$ handelt es sich um eine Sekante, da sie zwei Schnittpunkte mit dem Kreis aufweist.
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