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Kreisring

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Ein Kreisring wird von zwei Kreisen mit gleichem Mittelpunkt und unterschiedlichen Radien begrenzt.
$\begin{array}{ll} \text{Ringbreite:}& b=r_1-r_2 \\[5pt] \text{Flächeninhalt:}& A=\pi\cdot(r_1²-r_2²) \\[5pt] \text{Umfang:}& u=2\cdot\pi\cdot(r_1+r_2) \end{array}$

Beispiel

Berechnungen am Kreis: Kreisring
Berechnungen am Kreis: Kreisring
$\begin{array}{ll} \text{Radien:}& r_1=3\text{ cm}, r_2=2\text{ cm} \\[5pt] \text{Ringbreite:}& b=3\text{ cm}-2\text{ cm}=1\text{ cm} \\[5pt] \text{Flächeninhalt:}& A=\pi\cdot \left((3\text{ cm})²-(2\text{ cm})²\right)=15,7\text{ cm}² \\[5pt] \text{Umfang:}& u=2\cdot\pi\cdot(3\text{ cm}+2\text{ cm})=31,42\text{ cm} \end{array}$
$\begin{array}{ll} \text{Radien:}& r_1=3\text{ cm}, r_2=2\text{ cm} \\[5pt] \end{array}$
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Aufgaben
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Berechnungen am Kreis: Kreisring
Berechnungen am Kreis: Kreisring
Bearbeite die folgenden Aufgaben.
Tipp:
Achte darauf, dass du für das bessere Verständnis stets eine Skizze erstellst.
1.  Zeige, dass der Flächeninhalt des Kreisrings auch mit folgenden Formeln berechnet werden kann.
$\begin{array}{rlrrrl} A=&(d_a-b)\cdot b\cdot \pi &&&& d_a:\text{Außendurchmesser} \\[5pt] A=&(d_i+b)\cdot b\cdot \pi &&&& d_i:\text{Innendurchmesser} \end{array}$
2. 
Berechnungen am Kreis: Kreisring
Berechnungen am Kreis: Kreisring
Ein Abflussrohr hat den Außendurchmesser $d_a=10\text{ cm}$ und den Innendurchmesser $d_i=9\text{ cm}$.
Berechne den Flächeninhalt des Kreisrings.
3. 
Berechnungen am Kreis: Kreisring
Berechnungen am Kreis: Kreisring
Auf einer Testrennstrecke fahren zwei Radrennfahrer. Der eine Fahrer fährt am äußeren rechten Rand der Strecke, seine Runde ist $1.500\text{ m}$ lang. Der zweite Fahrer fährt am inneren linken Rand der $7\text{ m}$ breiten Fahrbahn.
Wie lang ist die Strecke des zweiten Fahrers?
4.
Berechnungen am Kreis: Kreisring
Berechnungen am Kreis: Kreisring
Ein Steinbrunnen hat den Querschnitt eines Kreisrings. Die Wasseroberfläche beträgt $10,7\text{ m}²$. Will man eine Schnur um den Brunnen legen, so muss diese $12,6\text{ m}$ lang sein.
Wie dick ist die Steinmauer?
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Lösungen
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1.  Formeln zur Berechnung des Flächeninhaltes beweisen
Um den Flächeninhalt eines Kreisrings zu berechnen, zieht man den Flächeninhalt $A_2$ des kleineren Kreises vom Flächeninhalt $A_1$ des großen Kreises ab.
Die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Kreises lautet:
$A=\pi\cdot r^2$.
D.h. $A_{KR}=A_1-A_2=\pi\cdot {r_1}^2-\pi\cdot {r_2}^2=\pi\cdot ({r_1}^2-{r_2}^2)$
$\begin{array}{rl} b=&r_1-r_2 \\[5pt] d_a=&2\cdot r_1 \\[5pt] d_i=&2\cdot r_2 \end{array}$
  1. $\begin{array}[t]{rll} A=&(d_a-b)\cdot b\cdot\pi&\scriptsize \; \text{Einsetzen von $b$ und $d_a$} \\[5pt] =&(2\cdot r_1-(r_1-r_2))\cdot (r_1-r_2)\cdot\pi&\scriptsize \; \text{Innere Klammer auflösen} \\[5pt] =&(r_1+r_2)\cdot (r_1-r_2)\cdot\pi&\scriptsize \; \text{Dritte Binomische Formel anwenden} \\[5pt] A=&({r_1}^2-{r_2}^2)\cdot\pi \end{array}$
  2. $\begin{array}[t]{rll} A=&(d_i+b)\cdot b\cdot\pi&\scriptsize \; \text{Einsetzen von $b$ und $d_i$} \\[5pt] =&(2\cdot r_2+(r_1-r_2))\cdot (r_1-r_2)\cdot\pi&\scriptsize \; \text{Innere Klammer auflösen} \\[5pt] =&(r_2+r_1)\cdot (r_1-r_2)\cdot\pi&\scriptsize \; \text{Dritte Binomische Formel anwenden} \\[5pt] A=&({r_1}^2-{r_2}^2)\cdot\pi \end{array}$
Beide Formeln lassen sich somit zur allgemeinen Formel der Kreisringberechnung umformen.
2.  Flächeninhalt des Kreisrings berechnen
Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreisrings lautet:
$A_{KR}=A_a-A_i$.
Du hast den Außendurchmesser $d_a$ und den Innendurchmesser $d_i$ des Rohres gegeben, womit du die Radien bestimmen kannst:
$r=\dfrac{1}{2}d$.
$r_a=\dfrac{1}{2}\cdot 10\,\mathrm{cm}=5\,\mathrm{cm}$
$r_i=\dfrac{1}{2}\cdot 9\,\mathrm{cm}=4,5\,\mathrm{cm}$
Daraus folgt für den Flächeninhalt des Kreisrings:
$A_{KR}=\pi\cdot {r_a}^2-\pi\cdot {r_i}^2=\pi\cdot(5\,\mathrm{cm})^2-\pi\cdot(4,5\,\mathrm{cm})^2\approx15\,\mathrm{cm}^2$
Der Flächeninhalt des Kreisrings beträgt etwa $15\,\text{cm}^2$
3.  Strecke des inneren Fahrers berechnen
Berechnungen am Kreis: Kreisring
Berechnungen am Kreis: Kreisring
Die Strecke besteht aus zwei Halbkreisringen sowie einem Rechteck mit der Kantenlänge $a=200\,$m.
Die Halbkreisringe sind auf beiden Seiten identisch und bestehen aus einem großen Kreis mit dem Radius $r_a$ und einem kleineren Kreis mit dem Radius $r_i$.
Der Umfang der gesamten äußeren Strecke ist $1.500\,$m lang. Die Formel für den Umfang der Strecke lautet:
$u=2\cdot\pi\cdot r+2\cdot a$.
Bestimme im 1. Schritt den Radius des äußeren Kreises, indem du die Formel für den Umfang nach $r_a$ umstellst.
Da die Breite $b$ der Strecke gegeben ist, kannst du anschließend im 2. Schritt mit dem äußeren Radius den Radius des inneren Kreises bestimmen:
$b=r_a-r_i$.
Nun kannst du im 3. Schritt den Umfang $u_i$ der inneren Strecke berechnen.
1. Schritt: $\boldsymbol{r_a}$ bestimmen
$\begin{array}[t]{rrll} u_a&=&2\cdot\pi\cdot {r_a}+2\cdot a&\scriptsize \; \text{Einsetzen von $u_a=1.500\,$m und $a=200\,$m} \\[5pt] 1.500\,m&=&2\cdot\pi\cdot {r_a}+2\cdot 200\,m&\scriptsize \; \text{Umstellen nach $r_a$} \\[5pt] 1.100\,m&=&2\cdot\pi\cdot{r_a}&\scriptsize \mid\;:2\pi \\[5pt] r_a&\approx&175\,m \end{array}$
2. Schritt: $\boldsymbol{r_i}$ bestimmen
$\begin{array}[t]{rrll} b&=&r_a-r_i&\scriptsize \; \text{Einsetzen von $b=7\,$m und $r_a=175\,$m} \\[5pt] 7\,m&=&175\,\mathrm{m}-r_i&\scriptsize \; \text{Umstellen nach $r_i$} \\[5pt] -168\,m&=&-r_i&\scriptsize \mid\; \cdot(-1) \\[5pt] r_i&=&168\,m \end{array}$
3. Schritt: $\boldsymbol{u_i}$ berechnen
\begin{array}[t]{rrll} u_i&=&2\cdot\pi\cdot {r_i}+2\cdot a&\scriptsize \; \text{Einsetzen von $r_i=168\,$m und $a=200\,$m} \\[5pt] u_i&=&2\cdot\pi\cdot168\,\mathrm{m}+2\cdot 200\,\mathrm{m} \\[5pt] u_i&\approx&1.456\,\mathrm{m} \end{array}
Die innere Strecke ist etwa $1.456\,$m lang.
4.  Dicke der Steinmauer berechnen
Gegeben sind der Flächeninhalt $A_i=10,7\,\mathrm {m}^2$ des inneren Kreises sowie der Umfang $u_a=12,6\,$m des äußeren Kreises.
Berechne im 1. Schritt den Radius $r_i$ des inneren Kreises mit der Formel
$A_i=\pi\cdot {r_i}^2$.
Im 2. Schritt wird der Radius $r_a$ des äußeren Kreises mit der Formel zur Berechnung eines Kreisumfangs
$u_a=2\cdot\pi\cdot r_a$
bestimmt.
Die Dicke $b$ der Steinmauer kannst du im 3. Schritt mit
$b=r_a-r_i$
berechnen.
1. Schritt:$\boldsymbol{r_i}$ bestimmen
\begin{array}[t]{rrll} A_i&=&\pi\cdot {r_i}^2&\scriptsize \text{Einsetzen von $A_i=10,7\,\mathrm{m}^2$} \\[5pt] 10,7\,\mathrm{m}^2&=&\pi\cdot {r_i}^2&\scriptsize \text{Umstellen nach $r_i$} \\[5pt] \dfrac{10,7\,\mathrm{m}^2}{\pi}&=&{r_i}^2&\scriptsize \mid\; \sqrt{\hspace{.2cm}} \\[5pt] \sqrt{3,4\,\mathrm {m}^2}&=&{r_i} \\[5pt] r_i&\approx&1,85\,m \end{array}
2. Schritt: $\boldsymbol{r_a}$ bestimmen
\begin{array}[t]{rrll} u_a&=&2\cdot\pi\cdot r_a&\scriptsize \text{Einsetzen von $u_a=12,6\,\mathrm{m}$} \\[5pt] 12,6\,\mathrm m&=&2\cdot\pi\cdot r_a&\scriptsize \text{Umstellen nach $r_a$} \\[5pt] \dfrac{12,6\,\mathrm m}{2\pi}&=&r_a \\[5pt] r_a&\approx&2,0\,m \end{array}
3. Schritt: $\boldsymbol{b}$ bestimmen
\begin{array}[t]{rrll} b&=&r_a-r_i&\scriptsize \text{Einsetzen von $r_a=2\,\mathrm{m}$ und $r_i=1,85\,\mathrm{m}$} \\[5pt] b&=&2\,\mathrm{m}-1,85\,\mathrm{m} \\[5pt] b&=&0,15\,\mathrm{m} \end{array}
Die Steinmauer ist $0,15\,$m breit.
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