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Kreissegment

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Der Teil einer Kreisfläche, der von einer Kreissehne $s$ und dem Kreisbogen $b$ begrenzt wird, heißt Kreissegment.
$\begin{array}{ll} \text{Radius:}&r \\[5pt] \text{Mittelpunktswinkel:}& \alpha \\[5pt] \text{Kreissehne:}&s=\sqrt{2\cdot r²\cdot \left(1-\cos \alpha \right)} \\[5pt] \text{Kreissegmentumfang:}&u_{Segment}=b+s \\[5pt] \text{Kreissegmentfläche:}&A_{Segment}=A_{Sektor}- A_{Dreieck} \\[5pt] &A_{Segment}=\pi\cdot r²\cdot\frac{\alpha}{360°}-\frac{s}{2}\cdot\sqrt{r²-\frac{s²}{4}} \\[5pt] \text{Alternative Berechnung:}&A_{Segment}=\dfrac{r \cdot b}{2} - \dfrac{s \cdot (r - h)}{2}\\ \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{ll} \text{Radius:}&r \\[5pt] \text{Mittelpunktswinkel:}& \alpha \\[5pt] \end{array}$

Beispiel

Berechnungen am Kreis: Kreissegment
Berechnungen am Kreis: Kreissegment
$r=2$ cm, $\alpha=90°$, $b=3,14$ cm
Kreissehne: $s=\sqrt{2\cdot (2\text{ cm})²\cdot \left(1-\cos 90° \right)}=2,83$ cm
Kreissegmentfläche:
$A_{Segment}=\pi\cdot (2\text{ cm})²\cdot\frac{90°}{360°}-\frac{2,83\text{ cm}}{2}\cdot\sqrt{(2\text{ cm})²-\frac{(2,83\text{ cm})²}{4}}$
$A_{Segment}=3,14\text{ cm}²-1\text{ cm}²=2,14\text{ cm}²$
Kreissegmentumfang: $u_{Sektor}=2,83\text{ cm}+3,14\text{ cm}\approx6\text{ cm}$
$r=2$ cm, $\alpha=90°$, $b=3,14$ cm
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Aufgaben
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Berechnungen am Kreis: Kreissegment
Berechnungen am Kreis: Kreissegment
  Bearbeite die folgenden Aufgaben.
Tipp:
Achte darauf, dass du für das bessere Verständnis stets eine Skizze erstellst.
1.  Gib den Flächeninhalt und den Umfang der gefärbten Fläche an.
a) 
Berechnungen am Kreis: Kreissegment
Berechnungen am Kreis: Kreissegment
b) 
Berechnungen am Kreis: Kreissegment
Berechnungen am Kreis: Kreissegment
2. 
Berechnungen am Kreis: Kreissegment
Berechnungen am Kreis: Kreissegment
Weise nach, dass die Fläche des Achtecks $A=25,5\text{ cm}²$ beträgt.
3. 
Berechnungen am Kreis: Kreissegment
Berechnungen am Kreis: Kreissegment
Welche Fläche hat dieses Kreissegment und wie groß ist der Umfang?
4.
Berechnungen am Kreis: Kreissegment
Berechnungen am Kreis: Kreissegment
Berechne den Umfang und den Flächeninhalt der Figur in Abhängigkeit vom Radius $r$.
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Lösungen
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1. 
a)  Flächeninhalt und Umfang der gefärbten Flächen berechnen
Du hast vier identische Kreissegmente gegeben. Es genügt, wenn du den Flächeninhalt und den Umfang einer Kreisfläche berechnest und diese dann anschließend mit 4 multiplizierst.
Der Durchmesser ist mit $d=56,4\,$cm gegeben, womit du im 1. Schritt auf den Radius $r$ eines Kreissegmentes schließen kannst:
$r=\dfrac{1}{2}d$.
Der Mittelpunktswinkel $\alpha$ beträgt $\alpha=90^{\circ}$, da die innere Fläche ein Quadrat ist.
Da es sich hier um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, kannst du im 2. Schritt die Länge der Kreissehne $s$ mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
Im 3. Schritt wird die Länge des Bogens $b$ mit der Formel
$b=\dfrac{\pi\cdot r\cdot\alpha}{180^{\circ}}$
berechnet, um anschließend im 4. Schritt den Umfang eines Kreissegmentes
$u_s=b+s$
berechnen zu können.
Der Flächeninhalt eines Kreissegmentes wird im 5. Schritt mit der Formel
$A_{\text{Segment}}=\pi\cdot r^2\cdot\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}-\dfrac{s}{2}\cdot\sqrt{r^2-\dfrac{s^2}{4}}$
berechnet.
Der 6. Schritt erweitert dann den Umfang und den Flächeninhalt eines Kreissegmentes auf die vier Gefärbten.
Berechnungen am Kreis: Kreissegment
Berechnungen am Kreis: Kreissegment
1. Schritt: $\boldsymbol{r}$ bestimmen
$r=\dfrac{1}{2}\cdot d=\dfrac{1}{2}\cdot56,4\,\mathrm{cm}=28,2\,$cm
2. Schritt: $\boldsymbol{s}$ bestimmen
Satz des Pythagoras:
$\begin{array}{rrll} s^2&=&r^2+r^2&\scriptsize \; \text{Einsetzen von $r=28,2\,$cm} \\[5pt] s^2&=&2\cdot(28,2\,\mathrm{cm})^2&\scriptsize \\[5pt] s^2&=&1.590,48\,\mathrm{cm}^2&\scriptsize \mid\;\sqrt{\hspace{.2cm}} \\[5pt] s&\approx&39,88\,\mathrm{cm} \end{array}$
3. Schritt: $\boldsymbol{b}$ berechnen
$\begin{array}{rrll} b&=&\dfrac{\pi\cdot r\cdot\alpha}{180^{\circ}}&\scriptsize \; \text{Einsetzen von $r=28,2\,$cm und $\alpha=90^{\circ}$} \\[5pt] b&=&\dfrac{\pi \cdot 28,2\,\mathrm{cm}\cdot 90^{\circ}}{180^{\circ}} \\[5pt] b&\approx&44,3\,\text{cm} \end{array}$
4. Schritt: $\boldsymbol{u_s}$ berechnen
$u_s=b+s=44,3\,\mathrm{cm}+39,88\,\mathrm{cm}=84,18\,\mathrm{cm}$
5. Schritt: $\boldsymbol{A}_{\text{Segment}}$ berechnen
$\begin{array}{rrll} A_{\text{Segment}}&=&\pi\cdot r^2\cdot\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}-\dfrac{s}{2}\cdot\sqrt{r^2-\dfrac{s^2}{4}}&\scriptsize \\[5pt] A_{\text{Segment}}&=&\pi\cdot (28,2\,\mathrm{cm})^2\cdot\dfrac{90^{\circ}}{360^{\circ}}-\dfrac{39,88\,\mathrm{cm}}{2}\cdot\sqrt{(28,2\,\mathrm{cm})^2-\dfrac{(39,88\,\mathrm{cm})^2}{4}} \\[5pt] A_{\text{Segment}}&\approx&226,96\,\mathrm{cm}^2 \end{array}$
6. Schritt: Flächeninhalt und Umfang aller vier Flächen berechnen
$u_{\text{gesamt}}=u_s\cdot 4=84,18\,\mathrm{cm}\cdot 4=336,72\,\mathrm{cm}$
$A_{\text{gesamt}}=A_{\text{Segment}}\cdot 4=226,96\,\mathrm{cm}^2\cdot 4=907,84\,\mathrm{cm}^2$
Der Umfang der gefärbten Flächen beträgt $336,72\,\mathrm{cm}$.
Der Flächeninhalt beträgt $907,84\,\mathrm{cm}^2$.
b)  Flächeninhalt und Umfang der gefärbten Flächen berechnen
Du hast acht identische Kreissegmente gegeben. Es genügt, wenn du den Flächeninhalt und den Umfang einer Kreisfläche berechnest und diese dann anschließend mit 8 multiplizierst.
Die Kreissehne ist mit $s=3,54\,$cm gegeben, womit du im 1. Schritt auf den Radius $r$ eines Kreissegmentes schließen kannst:
$s=\sqrt{2\cdot r^2\cdot(1-\cos\alpha)}$.
Der Mittelpunktswinkel $\alpha$ beträgt, wenn man den Kreis erweitert, $\alpha=90^{\circ}$.
Im 2. Schritt wird die Länge des Bogens $b$ mit der Formel
$b=\dfrac{\pi\cdot r\cdot\alpha}{180^{\circ}}$
berechnet, um anschließend im 3. Schritt den Umfang der Kreissegmente $u=8\dot b$ berechnen zu können.
Der Flächeninhalt eines Kreissegmentes wird im 4. Schritt mit der Formel
$A_{\text{Segment}}=\pi\cdot r^2\cdot\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}-\dfrac{s}{2}\cdot\sqrt{r^2-\dfrac{s^2}{4}}$
berechnet.
Der 5. Schritt erweitert dann den Flächeninhalt eines Kreissegmentes auf die acht Gefärbten.
Berechnungen am Kreis: Kreissegment
Berechnungen am Kreis: Kreissegment
1. Schritt: $\boldsymbol{r}$ bestimmen
$\begin{array}{rrll} s&=&\sqrt{2\cdot r^2\cdot(1-\cos\alpha)}&\scriptsize \mid\; (\hspace{.2cm})^2 \\[5pt] s^2&=&2\cdot r^2\cdot(1-\cos\alpha)&\scriptsize \mid\;:2;\; \cos 90^{\circ}=0 \\[5pt] \dfrac{s^2}{2}&=&r^2&\scriptsize \mid\;\sqrt{\hspace{.2cm}} \\[5pt] r&=&\sqrt{\dfrac{s^2}{2}}&\scriptsize \text{Einsetzen von $s=3,54\,$cm} \\[5pt] r&=&\sqrt{\dfrac{(3,54\,\mathrm{cm})^2}{2}} \\[5pt] r&\approx&2,5\,\mathrm{cm} \end{array}$
2. Schritt: $\boldsymbol{b}$ bestimmen
$\begin{array}{rrll} b&=&\dfrac{\pi\cdot r\cdot\alpha}{180^{\circ}}&\scriptsize \; \text{Einsetzen von $r=2,5\,$cm und $\alpha=90^{\circ}$} \\[5pt] b&=&\dfrac{\pi \cdot 2,5\,\mathrm{cm}\cdot 90^{\circ}}{180^{\circ}} \\[5pt] b&\approx&3,93\,\text{cm} \end{array}$
3. Schritt: $\boldsymbol{u}$ bestimmen
$u=8\cdot b=8\cdot 3,93\,\mathrm{cm}=31,44\,\mathrm{cm}$
4. Schritt: $\boldsymbol{A}_{\text{Segment}}$ bestimmen
$\begin{array}{rrll} A_{\text{Segment}}&=&\pi\cdot r^2\cdot\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}-\dfrac{s}{2}\cdot\sqrt{r^2-\dfrac{s^2}{4}}&\scriptsize \\[5pt] A_{\text{Segment}}&=&\pi\cdot (2,5\,\mathrm{cm})^2\cdot\dfrac{90^{\circ}}{360^{\circ}}-\dfrac{3,54\,\mathrm{cm}}{2}\cdot\sqrt{(2,5\,\mathrm{cm})^2-\dfrac{(3,54\,\mathrm{cm})^2}{4}} \\[5pt] A_{\text{Segment}}&\approx&1,78\,\mathrm{cm}^2 \end{array}$
5. Schritt: Flächeninhalt aller vier Flächen berechnen
$A_{\text{gesamt}}=A_{\text{Segment}}\cdot 8=1,78\,\mathrm{cm}^2\cdot 8=14,24\,\mathrm{cm}^2$
Der Umfang der gefärbten Flächen beträgt $31,44\,\mathrm{cm}$.
Der Flächeninhalt beträgt $14,24\,\mathrm{cm}^2$.
2.  Nachweis, dass die Fläche des Achtecks $25,5\,$cm$^2$ beträgt
Du hast den Durchmesser $d=6\,$cm gegeben, womit du im 1. Schritt den Radius bestimmen kannst.
Weiterhin lässt sich das Achteck in acht Teilflächen unterteilen, um damit im 2. Schritt den Mittelpunktswinkel $\alpha$ zu bestimmen.
Berechne anschließend im 3. Schritt die Länge der Kreissehne $s$, sodass du im 4. Schritt den Flächeninhalt $A_{\text{Segment}}$ eines Kreissegments berechnen kannst. Im 5. Schritt subtrahierst du die Flächen der Kreissegmente vom Flächeninhalt des Kreises.
Berechnungen am Kreis: Kreissegment
Berechnungen am Kreis: Kreissegment
1. Schritt: $\boldsymbol{r}$ bestimmen
$r=\dfrac{1}{2}\cdot d=\dfrac{1}{2}\cdot 6\,\mathrm{cm}=3\,$cm
2. Schritt: $\boldsymbol{\alpha}$ bestimmen
Ein Kreis hat $360^{\circ}$. Da eine Teilfläche $\dfrac{1}{8}$ des Kreises darstellt ist der Winkel $\alpha$ einer Teilfläche:
$\alpha=\dfrac{1}{8}\cdot 360^{\circ}=45^{\circ}$
3. Schritt: Kreissehne $\boldsymbol{s}$ eines Kreissegmentes berechnen
$\begin{array}{rrll} s&=&\sqrt{2\cdot r^2\cdot(1-\cos\alpha)}&\scriptsize \; \text{Einsetzen von $r=3\,$cm und $\alpha=45^{\circ}$} \\[5pt] s&=&\sqrt{2\cdot (3\,\mathrm{cm})^2\cdot(1-\cos 45^{\circ})} \\[5pt] s&\approx&2,3\,\mathrm{cm} \end{array}$
4. Schritt: $\boldsymbol{A_{\text{Segment}}}$ berechnen
$\begin{array}{rrll} A_{\text{Segment}}&=&\pi\cdot r^2\cdot\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}-\dfrac{s}{2}\cdot\sqrt{r^2-\dfrac{s^2}{4}}&\scriptsize \\[5pt] A_{\text{Segment}}&=&\pi\cdot (3\,\mathrm{cm})^2\cdot\dfrac{45^{\circ}}{360^{\circ}}-\dfrac{2,3\,\mathrm{cm}}{2}\cdot\sqrt{(3\,\mathrm{cm})^2-\dfrac{(2,3\,\mathrm{cm})^2}{4}} \\[5pt] A_{\text{Segment}}&\approx&0,35\,\mathrm{cm}^2 \end{array}$
5. Schritt: Kreissegmentsflächen vom Flächeninhalt des Kreises subtrahieren
$A_{\text{Kreis}}=\pi\cdot r^2=\pi\cdot (3\,\mathrm{cm})^2=28,27\,\mathrm{cm}^2$
$A_{\text{Segmente}}=8\cdot A_{\text{Segment}}=8\cdot 0,35\,\mathrm{cm}^2=2,8\,\mathrm{cm}^2$
$A_{\text{Achteck}}=A_{\text{Kreis}}-A_{\text{Segmente}}=28,27\,\mathrm{cm}^2-2,8\,\mathrm{cm}^2\approx 25,5\,\mathrm{cm}^2$
3.  Fläche sowie den Umfang des Kreissegments berechnen
Der Mittelpunktswinkel des Kreissegments ist hier größer als $180^{\circ}$. Den Radius erhältst du im 1. Schritt mit dem Sinussatz.
Berechne im 2. Schritt die Fläche des großen Kreissektors und addiere dann im 3. Schritt die Fläche des Dreiecks dazu, um die Fläche des gesamten Kreissegments zu erhalten.
Den Umfang kannst du bestimmen, indem du die Kreissehne $s$ zu dem Umfang des Kreissektors addierst.
Berechnungen am Kreis: Kreissegment
Berechnungen am Kreis: Kreissegment
1. Schritt: Radius $\boldsymbol{r}$ bestimmen
Der Sinussatz besagt, dass sich in einem Dreieck die Längen zweier Seiten wie der Sinus ihrer gegenüberliegenden Winkel verhalten:
$\beta=360^{\circ}-220^{\circ}=140^{\circ}$
$180^{\circ}=140^{\circ}+2\cdot\gamma \Rightarrow \gamma=20^{\circ}$
Sinussatz:
$\begin{array}{rrll} \dfrac{s}{\sin\beta}&=&\dfrac{r}{\sin\gamma}&\scriptsize \mid\; \cdot\sin\gamma \\[5pt] \sin\gamma\cdot\dfrac{s}{\sin\beta}&=&r \\[5pt] r&=&\sin 20^{\circ}\cdot\dfrac{2\,\mathrm{m}}{\sin 140^{\circ}} \\[5pt] r&\approx&1,06\,m \end{array}$
2. Schritt: Fläche $\boldsymbol{A_{\text{Sektor}}}$ des großen Kreissektors berechnen
$\begin{array}{rrll} A_{\text{Sektor}}&=&\pi\cdot r^2\cdot\dfrac{\alpha}{360^{\circ}} \\[5pt] &=&\pi\cdot (1,06\,\mathrm{m})^2\cdot\dfrac{220^{\circ}}{360^{\circ}} \\[5pt] A_{\text{Sektor}}&\approx&2,16\,\mathrm{m}^2 \end{array}$
3. Schritt: $\boldsymbol{A_{\text{Segment}}}$ bestimmen
Für das gesamte Kreissegment musst du jetzt noch die Fläche des Dreiecks zur Kreissektorfläche addieren.
$A_{\text{Segment}}=A_{\text{Sektor}}+A_{\text{Dreieck}}$
$A_{\text{Dreieck}}=\dfrac{1}{2}\cdot s\cdot h$
Bestimme $h$ mit dem Satz des Pythagoras:
Berechnungen am Kreis: Kreissegment
Berechnungen am Kreis: Kreissegment
$\begin{array}{rll} r^2=&(\dfrac{1}{2}s)^2+h^2 \\[5pt] r^2-\dfrac{1}{4}s^2=&h^2 \\[5pt] h=&\sqrt{r^2-\dfrac{s^2}{4}} \end{array}$
Somit folgt: $A_{\text{Dreieck}}=\dfrac{s}{2}\cdot\sqrt{r^2-\dfrac{s^2}{4}}$
Für das Kreissegment ergibt sich dadurch:
$\begin{array}{rrll} A_{\text{Segment}}&=&\pi\cdot r^2\cdot\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}+\dfrac{s}{2}\cdot\sqrt{r^2-\dfrac{s^2}{4}} \\[5pt] A_{\text{Segment}}&=&2,16\,\mathrm{m}^2+\dfrac{2\,\mathrm{m}}{2}\cdot\sqrt{(1,06\,\mathrm{m})^2-\dfrac{(2\,\mathrm{m})^2}{4}} \\[5pt] A_{\text{Segment}}&\approx&2,51\,\mathrm{m}^2 \end{array}$
4. Schritt: Umfang $\boldsymbol{u}$ berechnen
$u=2\cdot\pi\cdot r\cdot\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}+s$
$u=2\cdot\pi\cdot1,06\,\mathrm {m}\cdot\dfrac{220^{\circ}}{360^{\circ}}+2\,$m
$u\approx6,07\,$m
Der Flächeninhalt des Kreissegments beträgt $2,51\,\mathrm{m}^2$.
Der Umfang beträgt $u\approx6,07\,$m
4.  Umfang und Flächeninhalt abhängig von $\boldsymbol{r}$ berechnen
Die Figur besteht aus einem Dreieck sowie 3 Kreissegmenten.
Für die Fläche musst du im 1. Schritt den Mittelpunktswinkel $\alpha$ berechnen. Im 2. Schritt wird die Bogenlänge $b$ bestimmt, um im 3. Schritt den Umfang der Figur angeben zu können.
Anschließend wird im 4. Schritt die Fläche eines Kreissegments berechnet, indem du die Fläche des Dreiecks von der Kreissektorfläche subtrahierst.
Im letzten Schritt wird die Gesamtfläche $A_{\text{Figur}}$ berechnet.
1. Schritt: Mittelpunktswinkel $\boldsymbol{\alpha}$ bestimmen
Berechnungen am Kreis: Kreissegment
Berechnungen am Kreis: Kreissegment
In einem Dreieck beträgt die Summe der Innenwinkel immer $90^{\circ}$.
$\alpha=\dfrac{1}{3}\cdot 180^{\circ}=60^{\circ}$
2. Schritt: Bogenlänge $\boldsymbol{b}$ berechnen
$\begin{array}{rll} b=&2\pi r\cdot\dfrac{\alpha}{360^{\circ}} \\[5pt] =&2\pi r\cdot\dfrac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \\[5pt] b=&\dfrac{1}{3}\pi r \end{array}$
3. Schritt: Umfang $\boldsymbol{u}$ bestimmen
$u=3\cdot b= 3\cdot \dfrac{1}{3}\pi r=\pi r$
4. Schritt: Fläche $\boldsymbol{A_{\text{Segment}}}$ eines Kreissegments berechnen
$A_{\text{Segment}}=A_{\text{Kreissektor}}-A_{\text{Dreieck}}$
$A_{\text{Kreissektor}}=\pi r^2\cdot\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}$
$A_{\text{Dreieck}}=\dfrac{r^2}{4}\cdot\sqrt{3}$
Daraus folgt:
$\begin{array}{rll} A_{\text{Segment}}&\pi r^2\cdot\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}-\dfrac{r^2}{4}\cdot\sqrt{3} \\[5pt] &\pi r^2\cdot\dfrac{60^{\circ}}{360^{\circ}}-\dfrac{r^2}{4}\cdot\sqrt{3} \\[5pt] A_{\text{Segment}}&\dfrac{1}{6}\pi r^2-\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot r^2 \end{array}$
5. Schritt: Gesamtfläche $\boldsymbol{A_{\text{Figur}}}$ berechnen
$\begin{array}{rll} A_{\text{Figur}}=&A_{\text{Dreieck}}+3\cdot A_{\text{Segment}} \\[5pt] =&\dfrac{r^2}{4}\cdot\sqrt{3}+3\cdot \left(\dfrac{1}{6}\pi r^2-\dfrac{r^2}{4}\cdot\sqrt{3}\right)&\scriptsize \text{Klammer ausmultiplizieren} \\[5pt] =&\dfrac{r^2}{4}\cdot\sqrt{3}+\dfrac{1}{2}\pi r^2-\dfrac{3}{4}\sqrt{3}r^2&\scriptsize \text{Zusammenfassen} \\[5pt] =&-\dfrac{\sqrt{3}}{2}r^2+\dfrac{1}{2}\pi r^2&\scriptsize \text{$r^2$ ausklammern} \\[5pt] =&r^2\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\pi\right) \\[5pt] A_{\text{Figur}}=&r^2\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3}+\pi}{2}\right) \end{array}$
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