Kreissegment

a) 

b) 

a)  Flächeninhalt und Umfang der gefärbten Flächen berechnen Du hast vier identische Kreissegmente gegeben. Es genügt, wenn du den Flächeninhalt und den Umfang einer Kreisfläche berechnest und diese dann anschließend mit 4 multiplizierst.
Der Durchmesser ist mit $d=56,4\,$cm gegeben, womit du im 1. Schritt auf den Radius $r$ eines Kreissegmentes schließen kannst: $r=\dfrac{1}{2}d$. Der Mittelpunktswinkel $\alpha$ beträgt $\alpha=90^{\circ}$, da die innere Fläche ein Quadrat ist.
Da es sich hier um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, kannst du im 2. Schritt die Länge der Kreissehne $s$ mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
Im 3. Schritt wird die Länge des Bogens $b$ mit der Formel $b=\dfrac{\pi\cdot r\cdot\alpha}{180^{\circ}}$ berechnet, um anschließend im 4. Schritt den Umfang eines Kreissegmentes $u_s=b+s$ berechnen zu können.
Der Flächeninhalt eines Kreissegmentes wird im 5. Schritt mit der Formel $A_{\text{Segment}}=\pi\cdot r^2\cdot\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}-\dfrac{s}{2}\cdot\sqrt{r^2-\dfrac{s^2}{4}}$ berechnet.
Der 6. Schritt erweitert dann den Umfang und den Flächeninhalt eines Kreissegmentes auf die vier Gefärbten. 1. Schritt: $\boldsymbol{r}$ bestimmen $r=\dfrac{1}{2}\cdot d=\dfrac{1}{2}\cdot56,4\,\mathrm{cm}=28,2\,$cm 2. Schritt: $\boldsymbol{s}$ bestimmen Satz des Pythagoras: $\begin{array}{rrll} s^2&=&r^2+r^2&\scriptsize \; \text{Einsetzen von $r=28,2\,$cm} \\[5pt] s^2&=&2\cdot(28,2\,\mathrm{cm})^2&\scriptsize \\[5pt] s^2&=&1.590,48\,\mathrm{cm}^2&\scriptsize \mid\;\sqrt{\hspace{.2cm}} \\[5pt] s&\approx&39,88\,\mathrm{cm} \end{array}$ 3. Schritt: $\boldsymbol{b}$ berechnen $\begin{array}{rrll} b&=&\dfrac{\pi\cdot r\cdot\alpha}{180^{\circ}}&\scriptsize \; \text{Einsetzen von $r=28,2\,$cm und $\alpha=90^{\circ}$} \\[5pt] b&=&\dfrac{\pi \cdot 28,2\,\mathrm{cm}\cdot 90^{\circ}}{180^{\circ}} \\[5pt] b&\approx&44,3\,\text{cm} \end{array}$ 4. Schritt: $\boldsymbol{u_s}$ berechnen $u_s=b+s=44,3\,\mathrm{cm}+39,88\,\mathrm{cm}=84,18\,\mathrm{cm}$ 5. Schritt: $\boldsymbol{A}_{\text{Segment}}$ berechnen $\begin{array}{rrll} A_{\text{Segment}}&=&\pi\cdot r^2\cdot\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}-\dfrac{s}{2}\cdot\sqrt{r^2-\dfrac{s^2}{4}}&\scriptsize \\[5pt] A_{\text{Segment}}&=&\pi\cdot (28,2\,\mathrm{cm})^2\cdot\dfrac{90^{\circ}}{360^{\circ}}-\dfrac{39,88\,\mathrm{cm}}{2}\cdot\sqrt{(28,2\,\mathrm{cm})^2-\dfrac{(39,88\,\mathrm{cm})^2}{4}} \\[5pt] A_{\text{Segment}}&\approx&226,96\,\mathrm{cm}^2 \end{array}$ 6. Schritt: Flächeninhalt und Umfang aller vier Flächen berechnen $u_{\text{gesamt}}=u_s\cdot 4=84,18\,\mathrm{cm}\cdot 4=336,72\,\mathrm{cm}$ $A_{\text{gesamt}}=A_{\text{Segment}}\cdot 4=226,96\,\mathrm{cm}^2\cdot 4=907,84\,\mathrm{cm}^2$ Der Umfang der gefärbten Flächen beträgt $336,72\,\mathrm{cm}$.
Der Flächeninhalt beträgt $907,84\,\mathrm{cm}^2$.

b)  Flächeninhalt und Umfang der gefärbten Flächen berechnen Du hast acht identische Kreissegmente gegeben. Es genügt, wenn du den Flächeninhalt und den Umfang einer Kreisfläche berechnest und diese dann anschließend mit 8 multiplizierst.
Die Kreissehne ist mit $s=3,54\,$cm gegeben, womit du im 1. Schritt auf den Radius $r$ eines Kreissegmentes schließen kannst: $s=\sqrt{2\cdot r^2\cdot(1-\cos\alpha)}$. Der Mittelpunktswinkel $\alpha$ beträgt, wenn man den Kreis erweitert, $\alpha=90^{\circ}$.
Im 2. Schritt wird die Länge des Bogens $b$ mit der Formel $b=\dfrac{\pi\cdot r\cdot\alpha}{180^{\circ}}$ berechnet, um anschließend im 3. Schritt den Umfang der Kreissegmente $u=8\dot b$ berechnen zu können.
Der Flächeninhalt eines Kreissegmentes wird im 4. Schritt mit der Formel $A_{\text{Segment}}=\pi\cdot r^2\cdot\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}-\dfrac{s}{2}\cdot\sqrt{r^2-\dfrac{s^2}{4}}$ berechnet.
Der 5. Schritt erweitert dann den Flächeninhalt eines Kreissegmentes auf die acht Gefärbten. 1. Schritt: $\boldsymbol{r}$ bestimmen $\begin{array}{rrll} s&=&\sqrt{2\cdot r^2\cdot(1-\cos\alpha)}&\scriptsize \mid\; (\hspace{.2cm})^2 \\[5pt] s^2&=&2\cdot r^2\cdot(1-\cos\alpha)&\scriptsize \mid\;:2;\; \cos 90^{\circ}=0 \\[5pt] \dfrac{s^2}{2}&=&r^2&\scriptsize \mid\;\sqrt{\hspace{.2cm}} \\[5pt] r&=&\sqrt{\dfrac{s^2}{2}}&\scriptsize \text{Einsetzen von $s=3,54\,$cm} \\[5pt] r&=&\sqrt{\dfrac{(3,54\,\mathrm{cm})^2}{2}} \\[5pt] r&\approx&2,5\,\mathrm{cm} \end{array}$ 2. Schritt: $\boldsymbol{b}$ bestimmen $\begin{array}{rrll} b&=&\dfrac{\pi\cdot r\cdot\alpha}{180^{\circ}}&\scriptsize \; \text{Einsetzen von $r=2,5\,$cm und $\alpha=90^{\circ}$} \\[5pt] b&=&\dfrac{\pi \cdot 2,5\,\mathrm{cm}\cdot 90^{\circ}}{180^{\circ}} \\[5pt] b&\approx&3,93\,\text{cm} \end{array}$ 3. Schritt: $\boldsymbol{u}$ bestimmen $u=8\cdot b=8\cdot 3,93\,\mathrm{cm}=31,44\,\mathrm{cm}$ 4. Schritt: $\boldsymbol{A}_{\text{Segment}}$ bestimmen $\begin{array}{rrll} A_{\text{Segment}}&=&\pi\cdot r^2\cdot\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}-\dfrac{s}{2}\cdot\sqrt{r^2-\dfrac{s^2}{4}}&\scriptsize \\[5pt] A_{\text{Segment}}&=&\pi\cdot (2,5\,\mathrm{cm})^2\cdot\dfrac{90^{\circ}}{360^{\circ}}-\dfrac{3,54\,\mathrm{cm}}{2}\cdot\sqrt{(2,5\,\mathrm{cm})^2-\dfrac{(3,54\,\mathrm{cm})^2}{4}} \\[5pt] A_{\text{Segment}}&\approx&1,78\,\mathrm{cm}^2 \end{array}$ 5. Schritt: Flächeninhalt aller vier Flächen berechnen $A_{\text{gesamt}}=A_{\text{Segment}}\cdot 8=1,78\,\mathrm{cm}^2\cdot 8=14,24\,\mathrm{cm}^2$ Der Umfang der gefärbten Flächen beträgt $31,44\,\mathrm{cm}$.
Der Flächeninhalt beträgt $14,24\,\mathrm{cm}^2$.