a)
Flächeninhalt und Umfang der gefärbten Flächen berechnen
Du hast vier identische Kreissegmente gegeben. Es genügt, wenn du den Flächeninhalt und den Umfang einer Kreisfläche berechnest und diese dann anschließend mit 4 multiplizierst.
Der Durchmesser ist mit $d=56,4\,$cm gegeben, womit du im
1. Schritt auf den Radius $r$ eines Kreissegmentes schließen kannst:
$r=\dfrac{1}{2}d$.
Der Mittelpunktswinkel $\alpha$ beträgt $\alpha=90^{\circ}$, da die innere Fläche ein Quadrat ist.
Da es sich hier um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, kannst du im
2. Schritt die Länge der Kreissehne $s$ mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
Im
3. Schritt wird die Länge des Bogens $b$ mit der Formel
$b=\dfrac{\pi\cdot r\cdot\alpha}{180^{\circ}}$
berechnet, um anschließend im
4. Schritt den Umfang eines Kreissegmentes
$u_s=b+s$
berechnen zu können.
Der Flächeninhalt eines Kreissegmentes wird im
5. Schritt mit der Formel
$A_{\text{Segment}}=\pi\cdot r^2\cdot\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}-\dfrac{s}{2}\cdot\sqrt{r^2-\dfrac{s^2}{4}}$
berechnet.
Der
6. Schritt erweitert dann den Umfang und den Flächeninhalt eines Kreissegmentes auf die vier Gefärbten.
1. Schritt: $\boldsymbol{r}$ bestimmen
$r=\dfrac{1}{2}\cdot d=\dfrac{1}{2}\cdot56,4\,\mathrm{cm}=28,2\,$cm
2. Schritt: $\boldsymbol{s}$ bestimmen
Satz des Pythagoras:
$\begin{array}{rrll}
s^2&=&r^2+r^2&\scriptsize \; \text{Einsetzen von $r=28,2\,$cm}
\\[5pt]
s^2&=&2\cdot(28,2\,\mathrm{cm})^2&\scriptsize
\\[5pt]
s^2&=&1.590,48\,\mathrm{cm}^2&\scriptsize \mid\;\sqrt{\hspace{.2cm}}
\\[5pt]
s&\approx&39,88\,\mathrm{cm}
\end{array}$
3. Schritt: $\boldsymbol{b}$ berechnen
$\begin{array}{rrll}
b&=&\dfrac{\pi\cdot r\cdot\alpha}{180^{\circ}}&\scriptsize \; \text{Einsetzen von $r=28,2\,$cm und $\alpha=90^{\circ}$}
\\[5pt]
b&=&\dfrac{\pi \cdot 28,2\,\mathrm{cm}\cdot 90^{\circ}}{180^{\circ}}
\\[5pt]
b&\approx&44,3\,\text{cm}
\end{array}$
4. Schritt: $\boldsymbol{u_s}$ berechnen
$u_s=b+s=44,3\,\mathrm{cm}+39,88\,\mathrm{cm}=84,18\,\mathrm{cm}$
5. Schritt: $\boldsymbol{A}_{\text{Segment}}$ berechnen
$\begin{array}{rrll}
A_{\text{Segment}}&=&\pi\cdot r^2\cdot\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}-\dfrac{s}{2}\cdot\sqrt{r^2-\dfrac{s^2}{4}}&\scriptsize
\\[5pt]
A_{\text{Segment}}&=&\pi\cdot (28,2\,\mathrm{cm})^2\cdot\dfrac{90^{\circ}}{360^{\circ}}-\dfrac{39,88\,\mathrm{cm}}{2}\cdot\sqrt{(28,2\,\mathrm{cm})^2-\dfrac{(39,88\,\mathrm{cm})^2}{4}}
\\[5pt]
A_{\text{Segment}}&\approx&226,96\,\mathrm{cm}^2
\end{array}$
6. Schritt: Flächeninhalt und Umfang aller vier Flächen berechnen
$u_{\text{gesamt}}=u_s\cdot 4=84,18\,\mathrm{cm}\cdot 4=336,72\,\mathrm{cm}$
$A_{\text{gesamt}}=A_{\text{Segment}}\cdot 4=226,96\,\mathrm{cm}^2\cdot 4=907,84\,\mathrm{cm}^2$
Der Umfang der gefärbten Flächen beträgt $336,72\,\mathrm{cm}$.
Der Flächeninhalt beträgt $907,84\,\mathrm{cm}^2$.
b)
Flächeninhalt und Umfang der gefärbten Flächen berechnen
Du hast acht identische Kreissegmente gegeben. Es genügt, wenn du den Flächeninhalt und den Umfang einer Kreisfläche berechnest und diese dann anschließend mit 8 multiplizierst.
Die Kreissehne ist mit $s=3,54\,$cm gegeben, womit du im
1. Schritt auf den Radius $r$ eines Kreissegmentes schließen kannst:
$s=\sqrt{2\cdot r^2\cdot(1-\cos\alpha)}$.
Der Mittelpunktswinkel $\alpha$ beträgt, wenn man den Kreis erweitert, $\alpha=90^{\circ}$.
Im
2. Schritt wird die Länge des Bogens $b$ mit der Formel
$b=\dfrac{\pi\cdot r\cdot\alpha}{180^{\circ}}$
berechnet, um anschließend im
3. Schritt den Umfang der Kreissegmente $u=8\dot b$ berechnen zu können.
Der Flächeninhalt eines Kreissegmentes wird im
4. Schritt mit der Formel
$A_{\text{Segment}}=\pi\cdot r^2\cdot\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}-\dfrac{s}{2}\cdot\sqrt{r^2-\dfrac{s^2}{4}}$
berechnet.
Der
5. Schritt erweitert dann den Flächeninhalt eines Kreissegmentes auf die acht Gefärbten.
1. Schritt: $\boldsymbol{r}$ bestimmen
$\begin{array}{rrll}
s&=&\sqrt{2\cdot r^2\cdot(1-\cos\alpha)}&\scriptsize \mid\; (\hspace{.2cm})^2 \\[5pt]
s^2&=&2\cdot r^2\cdot(1-\cos\alpha)&\scriptsize \mid\;:2;\; \cos 90^{\circ}=0
\\[5pt]
\dfrac{s^2}{2}&=&r^2&\scriptsize \mid\;\sqrt{\hspace{.2cm}}
\\[5pt]
r&=&\sqrt{\dfrac{s^2}{2}}&\scriptsize \text{Einsetzen von $s=3,54\,$cm}
\\[5pt]
r&=&\sqrt{\dfrac{(3,54\,\mathrm{cm})^2}{2}}
\\[5pt]
r&\approx&2,5\,\mathrm{cm}
\end{array}$
2. Schritt: $\boldsymbol{b}$ bestimmen
$\begin{array}{rrll}
b&=&\dfrac{\pi\cdot r\cdot\alpha}{180^{\circ}}&\scriptsize \; \text{Einsetzen von $r=2,5\,$cm und $\alpha=90^{\circ}$}
\\[5pt]
b&=&\dfrac{\pi \cdot 2,5\,\mathrm{cm}\cdot 90^{\circ}}{180^{\circ}}
\\[5pt]
b&\approx&3,93\,\text{cm}
\end{array}$
3. Schritt: $\boldsymbol{u}$ bestimmen
$u=8\cdot b=8\cdot 3,93\,\mathrm{cm}=31,44\,\mathrm{cm}$
4. Schritt: $\boldsymbol{A}_{\text{Segment}}$ bestimmen
$\begin{array}{rrll}
A_{\text{Segment}}&=&\pi\cdot r^2\cdot\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}-\dfrac{s}{2}\cdot\sqrt{r^2-\dfrac{s^2}{4}}&\scriptsize
\\[5pt]
A_{\text{Segment}}&=&\pi\cdot (2,5\,\mathrm{cm})^2\cdot\dfrac{90^{\circ}}{360^{\circ}}-\dfrac{3,54\,\mathrm{cm}}{2}\cdot\sqrt{(2,5\,\mathrm{cm})^2-\dfrac{(3,54\,\mathrm{cm})^2}{4}}
\\[5pt]
A_{\text{Segment}}&\approx&1,78\,\mathrm{cm}^2
\end{array}$
5. Schritt: Flächeninhalt aller vier Flächen berechnen
$A_{\text{gesamt}}=A_{\text{Segment}}\cdot 8=1,78\,\mathrm{cm}^2\cdot 8=14,24\,\mathrm{cm}^2$
Der Umfang der gefärbten Flächen beträgt $31,44\,\mathrm{cm}$.
Der Flächeninhalt beträgt $14,24\,\mathrm{cm}^2$.