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Zylinder

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Erklärung

Ein Zylinder ist ein Prisma mit einem Kreis als Grundfläche.
Sonstige Körper: Zylinder
Sonstige Körper: Zylinder
Grundfläche: $\begin{array}[t]{@{\extracolsep{4pt}}lll} A_G&=&\pi\cdot r^2 \end{array}$
Mantelfläche: $\begin{array}[t]{@{\extracolsep{4pt}}lll} A_M&=&u\cdot h&=&2\cdot\pi\cdot r\cdot h \end{array}$
Volumen: $\begin{array}[t]{@{\extracolsep{4pt}}lll} V&=&A_G\cdot h&=&\pi\cdot r^2\cdot h \end{array}$
Oberfläche: $\begin{array}[t]{@{\extracolsep{4pt}}lll} A_O&=&2\cdot A_G + A_M \\ &=& 2\cdot\pi\cdot r^2+2\cdot\pi\cdot r\cdot h \end{array}$
Grundfläche:
Mantelfläche:
Volumen:
Oberfläche:

Beispiel

Ein Zylinder hat den Radius $r=5 \text{ cm}$ und die Höhe $h=3\text{ cm}$.
Volumen: $V$$=A_G\cdot h$$=\pi\cdot r^2\cdot h$$=\pi\cdot 25\text{ cm}^2\cdot 3\text{ cm}\approx235,62\text{ cm}^3$
Oberfläche:
$A_O$ = $2\cdot A_G+ A_M=2\cdot \pi\cdot r^2+2\cdot\pi\cdot r\cdot h$
= $2\cdot\pi\cdot 25\text{ cm}^2+2\cdot\pi\cdot5 \text{ cm}\cdot3\text{ cm}\approx251,33\text{ cm}^2$
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Aufgaben
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1.
Malte hat drei Zylinder gezeichnet. Er ist sich nicht sicher, ob er die Zylinder korrekt gezeichnet und beschriftet hat. Helfe ihm dabei die Fehler zu finden. Für die Beschriftung gilt $r=$ Radius und $h=$ Höhe.
b)
Sonstige Körper: Zylinder
Sonstige Körper: Zylinder
c)
Sonstige Körper: Zylinder
Sonstige Körper: Zylinder
2.
Berechne das Volumen eines Zylinders mit dem Radius $r=2\text{ cm}$ und der Höhe $h=4\text{ cm}$.
3.
Ein Folienstift hat eine Höhe von 13,5 cm und einen Umfang von 4,4 cm.
Wie groß ist die Oberfläche dieses Stifts?
4.
Ein Zylinder hat das Volumen 785,40 cm$^3$ und ist 10 cm hoch.
Welche Grund- und Oberfläche hat dieser Körper?
5.
Sonstige Körper: Zylinder
Sonstige Körper: Zylinder
6.
Sonstige Körper: Zylinder
Sonstige Körper: Zylinder
7.
Sonstige Körper: Zylinder
Sonstige Körper: Zylinder
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Lösungen
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1.
Fehler finden
Malte hat nur einen Fehler gemacht. Er hat lediglich bei der Zeichnung b) den Radius $r$ und die Höhe $h$ vertauscht. Sowohl die Zeichnung a) als auch c) sind fehlerfrei.
2.
Volumen bestimmen
Setze die gegebenen Werte in die Formel für die Berechnung des Volumens ein.
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} V&=&\pi \cdot r^2 \cdot h&\scriptsize\text{einsetzen} \\ V&=&\pi \cdot \left(2\,\text{cm}\right)^2 \cdot 4\,\text{cm}\\ V&=&\pi \cdot 4\,\text{cm}^2 \cdot 4\,\text{cm}\\ V&=&50,27\,\text{cm}^3 \end{array}$
Das Volumen des Zylinders beträgt $50,27\,\text{cm}^3$.
3.
Oberfläche des Stifts bestimmen
Berechne zuerst die Grundfläche des Stifts. Bestimme dann die Mantelfläche und zum Schluss kannst du dann diese Flächen zur Oberfläche zusammen addieren.
1. Schritt: Grundfläche berechnen
Bestimme zuerst den Radius des Kreises und berechne danach dessen Fläche.
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} u&=&2\cdot \pi \cdot r&\scriptsize \mid\;:2\pi\\ r&=&\dfrac{u}{2\cdot\pi}&\scriptsize\text{einsetzen}\\ r&=&\dfrac{4,4\,\text{cm}}{2\cdot\pi}\\ r&=&0,7\,\text{cm} \end{array}$
Nun berechnest du die Fläche des Kreis.
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A_\text{G}&=&\pi \cdot r^2&\scriptsize\text{einsetzen}\\ A_\text{G}&=&\pi \cdot \left(0,7\,\text{cm}\right)^2\\ A_\text{G}&=&\pi \cdot 0,49\,\text{cm}^2\\ A_\text{G}&=&1,54\,\text{cm}^2 \end{array}$
2. Schritt: Mantelfläche berechnen
Setze die gegebenen Werte in die Formel zur Berechnung der Mantelfläche ein.
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A_\text{M}&=&u\cdot h&\scriptsize\text{einsetzen}\\ A_\text{M}&=&4,4\,\text{cm}\cdot 13,5\,\text{cm}\\ A_\text{M}&=&59,4\,\text{cm}^2 \end{array}$
3. Schritt: Oberfläche berechnen
Setze nun die berechneten Werte in die Formel zur Berechnung der Oberfläche ein.
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A_\text{O}&2\cdot A_\text{G}+A_\text{M}&\scriptsize\text{einsetzen}\\ A_\text{O}&2\cdot 1,54\,\text{cm}^2 + 59,4\,\text{cm}^2\\ A_\text{O}&62,48\,\text{cm}^2 \end{array}$
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A_\text{O}&62,48\,\text{cm}^2 \end{array}$
Die Oberfläche des Stifts beträgt $62,48\,\text{cm}^2$.
4.
$\blacktriangleright\;$ Die Grundfläche des Zylinders bestimmen
Stelle die allgemeine Volumenformel nach der Grundfläche um und berechne diese.
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} V&A_\text{G}\cdot h&\scriptsize \mid\;:h\\ A_\text{G}&=&\dfrac{V}{h}&\scriptsize\text{einsetzen}\\ A_\text{G}&=&\dfrac{785,4\,\text{cm}^3}{10\,\text{cm}}\\ A_\text{G}&=&78,54\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Zylinder hat eine Grundfläche von $78,54\,\text{cm}^2$.
$\blacktriangleright\;$ Oberfläche bestimmen
Berechne zuerst den Radius der Grundfläche. Dann kannst du die Mantelfläche und anschließend die Oberfläche bestimmen.
1. Schritt: Radius berechnen
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A_\text{G}&=&\pi\cdot r^2&\scriptsize \mid\;:r\\ r^2&=&\dfrac{A_\text{G}}{\pi}&\scriptsize \mid\;\sqrt{\;}\\ r&=&\sqrt{\dfrac{A_\text{G}}{\pi}}&\scriptsize\text{einsetzen}\\ r&=&\sqrt{\dfrac{78,54\,\text{cm}^2}{\pi}}\\ r&=&\sqrt{25\,\text{cm}^2}=5\,\text{cm} \end{array}$
2. Schritt: Mantelfläche bestimmen
$\begin{array}[t]{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A_\text{M}&=&2\cdot\pi\cdot r\cdot h&\scriptsize\text{einsetzen}\\ A_\text{M}&=&2\cdot\pi\cdot 5\,\text{cm}\cdot 10\,\text{cm}\\ A_\text{M}&=&314,16\,\text{cm}^2 \end{array}$
3. Schritt: Oberfläche berechnen
$\begin{array}[t]{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A_\text{O}&=&2\cdot A_\text{G}+A_\text{M}&\scriptsize\text{einsetzen}\\ A_\text{O}&=&2\cdot 78,54\,\text{cm}^2 + 314,16\,\text{cm}^2\\ A_\text{O}&=&471,24\,\text{cm}^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A_\text{O}&=&471,24\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Körper hat eine Oberfläche von $471,24\,\text{cm}^2$.
5.
Durchmesser des Glases bestimmen
Behandle in dieser Aufgabe das Wasser in dem Glas wie einen Zylinder. Der Wasser-Zylinder hat denselben Durchmesser wie das Glas.
Die Höhe des Wasser-Zylinders beträgt $\frac{2}{3}\cdot 10\,\text{cm}=6,67\,\text{cm}$. Da das Volumen des Wassers gegeben ist, kannst du mit Hilfe der Volumenformel die Grundfläche des Zylinders bestimmen. Berechne danach mit Hilfe der Kreisformel den Durchmesser des Glases.
1. Schritt: Grundfläche berechnen
Stelle zuerst die allgemeine Volumenformel nach der Grundfläche um und berechne diese.
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} V&A_\text{G}\cdot h&\scriptsize \mid\;:h\\ A_\text{G}&=&\dfrac{V}{h}&\scriptsize\text{einsetzen}\\ A_\text{G}&=&\dfrac{189\,\text{cm}^3}{6,67\,\text{cm}}\\ A_\text{G}&=&28,336\,\text{cm}^2 \end{array}$
2. Schritt: Durchmesser bestimmen
Stelle die Kreisformel nach dem Radius um und bestimme diesen.
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A_\text{G}&=&\pi\cdot r^2&\scriptsize \mid\;:\pi\\ r^2&=&\dfrac{A_\text{G}}{\pi}&\scriptsize \mid\;\sqrt{\;}\\ r&=&\sqrt{\dfrac{A_\text{G}}{\pi}}&\scriptsize\text{einsetzen}\\ r&=&\sqrt{\dfrac{28,336\,\text{cm}^2}{\pi}}\\ r&=&\sqrt{9\,\text{cm}}=3\,\text{cm} \end{array}$
Der Durchmesser des Glases beträgt $2\cdot3\,\text{cm}=6\,\text{cm}$.
6.
a)
Volumen bestimmen
Stelle die Formel zur Berechnung der Oberfläche nach der Höhe um und berechne diese. Danach kannst du das Volumen des Eimers bestimmen.
1. Schritt: Höhe berechnen
Stelle die Formel nach der Höhe um. Beachte, dass der Abfalleimer keine Deckfläche hat!
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A_\text{O}&=&\pi \cdot r^2 + 2\cdot \pi \cdot r \cdot h&\scriptsize \mid\;- \pi \cdot r^2\\ A_\text{O}-\pi \cdot r^2&=&2\cdot \pi \cdot r \cdot h&\scriptsize \mid\;: 2\cdot \pi \cdot r\\ h&=&\dfrac{A_\text{O}-\pi \cdot r^2}{2\cdot \pi \cdot r}&\scriptsize\text{einsetzen}\\ h&=&\dfrac{4.476,66\,\text{cm}^2-\pi \cdot \left(15\,\text{cm}\right)^2}{2\cdot \pi \cdot 15\,\text{cm}}\\ h&=&\dfrac{4.476,66\,\text{cm}^2-\pi \cdot 225\,\text{cm}^2}{2\cdot \pi \cdot 15\,\text{cm}}\\ h&=&\dfrac{4.476,66\,\text{cm}^2-706,85\,\text{cm}^2}{2\cdot \pi \cdot 15\,\text{cm}}\\ h&=&\dfrac{4.476,66\,\text{cm}^2-706,85\,\text{cm}^2}{94,25\,\text{cm}}\\ h&=&\dfrac{3769,81\,\text{cm}^2}{94,25\,\text{cm}}=40\,\text{cm} \end{array}$
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} h&=&=40\,\text{cm} \end{array}$
Der Abfalleimer ist $40\,\text{cm}$ hoch.
2. Schritt: Volumen berechnen
Setze nun die Werte in die Volumenformel ein.
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} V&=&\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2 \cdot h&\scriptsize\text{einsetzen}\\ V&=&\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot \left(15\,\text{cm}\right)^2 \cdot 40\,\text{cm}\\ V&=&\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 225\,\text{cm}^2 \cdot 40\,\text{cm}\\ V&=&\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 9.000\,\text{cm}^3\\ V&=&\pi \cdot 3.000\,\text{cm}^3=9.424,78\,\text{cm}^3 \end{array}$
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} V&=&=9.424,78\,\text{cm}^3 \end{array}$
Der Abfalleimer hat ein Volumen von $9.424,78\,\text{cm}^3$.
b)
Verkaufspreis des Eimers berechnen
Der Abfalleimer hat eine Oberfläche von $4.476,77\,\text{cm}^2$. Somit werden $4.476,77\,\text{cm}^2$ Blech für die Herstellung benötigt.
Da $1\,\text{m}^2\quad 1.000\,\text{cm}^2$ entspricht, entsprechen $4.476,77\,\text{cm}^2\quad 4,477\,\text{m}^2$.
Somit kostet das Blech für den Eimer $4,477\,\text{m}^2\cdot 10\frac{\,\text{€}}{\,\text{m}^2}=44,77\,\text{€}$.
Bestimme nun mit Hilfe des Dreisatzes den Verkaufspreis.
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 100\;\% &\mathrel{\widehat{=}}& 44,77\;€ &\mid\; :100\\ 1\;\% &\mathrel{\widehat{=}}& 0,4477\;€ &\mid\; \cdot 50\\ 50\;\% &\mathrel{\widehat{=}}& 22,385\;€\\ \end{array}$
Der Verkaufspreis des Abfalleimers liegt bei $44,77\,\text{€}+22,385\,\text{€}=67,16\,\text{€}$.
7.
a)
Volumen bestimmen
Setze die gegebenen Werte in die Formel für die Berechnung des Volumens ein.
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} V=&\pi\cdot r^2\cdot h &\scriptsize \text{einsetzen} \\ V=&\pi\cdot (2,5\,\text{m})^2\cdot 5\,\text{m}&\scriptsize\\ V=&31,25\,\text{m}^3\cdot\pi &\scriptsize\\ V\approx&98,17\,\text{m}^3&\scriptsize \end{array}$
Das Silo fasst ca. $98,17\,\text{m}^3$ Futter.
b)
Zu streichende Fläche bestimmen
Berechne zuerst die Deckfläche des Silos und anschließend die Mantelfläche. Zum Schluss kannst du dann diese Flächen addieren und erhältst die zu streichende Fläche.
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} A_{\text{Deckfläche}}=&\pi\cdot r^2&\scriptsize \text{einsetzen} \\ A_{\text{Deckfläche}}=&\pi\cdot (2,5\,\text{m})^2&\scriptsize\\ A_{\text{Deckfläche}}=&\pi\cdot6,25\,\text{m}^2&\scriptsize\\ A_{\text{Deckfläche}}\approx&19,63\,\text{m}^2&\scriptsize \end{array}$
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} A_{\text{Mantelfläche}}=&2\cdot\pi\cdot r\cdot h&\scriptsize \text{einsetzen} \\ A_{\text{Mantelfläche}}=&2\cdot\pi\cdot 2,5\,\text{m}\cdot 5\,\text{m}&\scriptsize\\ A_{\text{Mantelfläche}}=&25\,\text{m}^2\cdot\pi&\scriptsize\\ A_{\text{Mantelfläche}}\approx&78,54\,\text{m}^2&\scriptsize \end{array}$
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} A_{\text{Deckfläche}}=&… \end{array}$
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} A_{\text{Mantelfläche}}=&… \end{array}$
Die zu streichende Fläche beträgt $A_{\text{Deckfläche}}+A_{\text{Mantelfläche}}$
$=19,63\,\text{m}^2+78,54\,\text{m}^2=98,17\,\text{m}^2$.
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