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Absolute und relative Häufigkeit

Spickzettel
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Absolute Häufigkeit

Die absolute Häufigkeit gibt an, wie oft ein bestimmtes Ereignis bei einem Zufallsexperiment eintritt. Sie ist eine natürliche Zahl zwischen null und der Gesamtzahl der Versuche.
Absolute Häufigkeit $=$ Anzahl eines bestimmten Wertes

Beispiel

Ein gewöhnlicher Würfel mit den Zahlen $1$ bis $5$ wird $300$ mal geworfen. Dabei fällt der Würfel $42$ mal auf die $3$.
Die absolute Häufigkeit beträgt $H=42$.

Relative Häufigkeit

Nun kennst du die absolute Häufigkeit – um einzuschätzen, ob die Zahl groß oder klein ist, gibt es die relative Häufigkeit. Mit ihr setzen wir die absolute Häufigkeit in Bezug (Relation) zur Versuchsgröße:
$\small{\text{Relative Häufigkeit}}$ $=$ $\dfrac{\small{\text{absolute Häufigkeit}}}{\small{\text{Anzahl aller Werte}}}$

Beispiel 1

Um die relative Häufigkeit des obigen Beispiels zu bestimmen, berechnest du, wie oft der Würfel auf die $3$ gefallen ist im Verhältnis zu der Anzahl aller Würfelversuche.
$h=\dfrac{42}{300}=0,14=14\,\%$
Die relative Häufigkeit beträgt $h=0,14$.
Das bedeutet, dass der Würfel in $14\,\%$ der Fälle auf die $3$ gefallen ist.

Beispiel 2

In der letzten Klassenarbeit wurden folgende Noten geschrieben: 3, 1, 2, 4, 5, 3, 2, 3, 2, 2, 1, 4, 2, 3, 1, 2
Berechnet werden nun die Häufigkeiten der Note 2:
Absolute Häufigkeit $= \text{H} = 6$
Relative Häufigkeit $= \text{h} = \dfrac{6}{16} = 37,5\,\%$
Note
1
2
3
4
5
6
Summe
Absolute Häufigkeit
3
6
4
2
1
0
16
Relative Häufigkeit
10%
0
30%
20%
10%
0
0
Note
1
2
3
Absolute Häufigkeit
3
6
4
Relative Häufigkeit
10%
0
30%
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Aufgaben
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1.
Ein Würfel wurde achtmal geworfen und dabei kamen diese Zahlen heraus:
1, 3, 5, 1, 2, 6, 4, 5
a)
Bestimme die absolute Häufigkeit der Zahlen 1, 2 und 3.
b)
Bestimme die relative Häufigkeit der Zahlen 4, 5 und 6.
2.
Bei einem Basketballspiel hat der Trainer die Freiwürfe seiner Spieler aufgeschrieben. Um sich die Arbeit zu vereinfachen schreibt er eine 1 für einen getroffenen Korb und eine 0 falls der Korb verfehlt wurde.
Für einen Spieler kamen dann diese Zahlen heraus:
1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1
a)
Wie oft wurde der Korb getroffen, wie oft verfehlt?
b)
Wurde mit mehr als 60% aller Würfe getroffen?
3.
Eine Münze wurde mehrfach geworfen. Dabei entstand die folgende Liste:
(K = Kopf, Z = Zahl)
K, Z, Z, K, Z, Z, Z, K, Z, K
a)
Wie oft wurde die Münze geworfen?
b)
Ein Freund von dir behauptet: Die relative Häufigkeit für Kopf liegt hier bei 60%.
Stimmt die Aussage deines Freundes?
c)
Die Münze wurde noch fünfmal geworfen, die relative Häufigkeit des Wurfes Kopf blieb aber unverändert.
Wie viel mal Kopf waren unter diesen weiteren fünf Würfen?
4.
Beschreibe den Zusammenhang zwischen relativer und absoluter Häufigkeit.
5.
Ergänze in dieser Häufigkeitstabelle die fehlenden Angaben:
Note
1
2
3
4
5
6
Summe
Absolute Häufigkeit
1
2
3
2
1
0
Relative Häufigkeit
10%
30%
20%
10%
Note
1
2
3
Absolute Häufigkeit
1
2
3
Relative Häufigkeit
10%
30%
6.
Du kennst von einer Zahl die relative Häufigkeit: 40% und die absolute Häufigkeit: 12.
Wie viele Werte sind es insgesamt?
7.
Wie oft ist eine Zahl vorgekommen, falls die relative Häufigkeit 20% beträgt und es insgesamt 30 Messwerte sind?
8.
Statistische Erhebung und Darstellung: Absolute und relative Häufigkeit
Statistische Erhebung und Darstellung: Absolute und relative Häufigkeit
9.
Statistische Erhebung und Darstellung: Absolute und relative Häufigkeit
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Lösungen
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1.
a)
Absolute Häufigkeit bestimmen
Durch Abzählen findest du heraus, wie oft die gesuchte Augenzahl geworfen wurde.
Die Augenzahl 1 wurde zweimal geworfen, somit beträgt die absolute Häufigkeit 2. Die Augenzahlen 2 und 3 wurden jeweils einmal geworfen, so ist die absolute Häufigkeit 1.
b)
Relative Häufigkeit bestimmen
Die Anzahl der Werte insgesamt beträgt 8, da der Würfel acht mal geworfen wurde.
Die relative Häufigkeit berechnest du nun über die folgende Formel:
Relative Häufigkeit ($h$) einer Augenzahl $x$ in $\%$: $h = \dfrac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Anzahl der Werte}}\cdot100$
Augenzahl $4: h = \dfrac{1}{8}\cdot100 = 12,5\%$
Augenzahl $5: h = \dfrac{2}{8}\cdot100 = 25\%$
Augenzahl $6: h = \dfrac{1}{8}\cdot100 = 12,5\%$
2.
a)
Anzahl der Treffer bestimmen
Ordne die vorgegebene Zahlenreihe nach Einsen und Nullen und zähle jeweils die Anzahl der Treffer und Fehlwürfe ab.
In insgesamt zwölf Würfen, gab es neun Treffer und drei Fehlwürfe.
b)
60% aller Würfe bestimmen
Berechne mit einem Dreisatz die Anzahl der Freiwürfe, die 60\% entsprechen.
$\begin{array}{lccl} \scriptsize :10& 100\% & ≙ &12\;\text{Freiwürfe } &\scriptsize :10\\[2pt] \scriptsize \cdot 6& 10\% & ≙ &1,2\;\text{Freiwürfe } &\scriptsize :10\\[2pt] & 60\% & ≙ &7,2\;\text{Freiwürfe } & \end{array}$
Da der Spieler neun Treffer erzielt hat, wurden in mehr als 60% aller Würfe getroffen.
c)
Anzahl der Ergebnisse „Kopf“ bestimmen
Die Münze wurde insgesamt 15-mal geworfen.
Die relative Häufigkeit bleibt unverändert. Somit ist die absolute Häufigkeit für die geworfenen Köpfe:
$\begin{array}{lccl} \scriptsize :10& 100\% & ≙ &12\;\text{Freiwürfe } &\scriptsize :10\\[2pt] \scriptsize \cdot 6& 10\% & ≙ &1,2\;\text{Freiwürfe } &\scriptsize \cdot 6\\[2pt] & 60\% & ≙ &7,2\;\text{Freiwürfe } & \end{array}$
Da der Spieler neun Treffer erzielt hat, wurden in mehr als 60% aller Würfe getroffen.
3.
a)
Anzahl der Würfe bestimmen
Durch Abzählen der Positionen von Z und K findest du heraus, wie oft die Münze geworfen wurde.
Die Münze wurde insgesamt zehn mal geworfen.
b)
Relative Häufigkeit für einmal „Kopf“
Von zehn Würfen wurde viermal „Kopf“ geworfen.
Die relative Häufigkeit kannst du über die folgende Formel berechnen:
Relative Häufigkeit ($h$) in %:
$h = \dfrac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Anzahl der Werte}}\cdot100$
$h = \dfrac{4}{10}\cdot100 = 40$
Die Aussage stimmt nicht, denn die relative Häufigkeit für das Werfen von vier mal „Kopf“ beträgt $40\%$.
c)
Anzahl des Ergebnisses „Kopf“ bestimmen
1. Schritt: Anzahl der Würfe bestimmen
Da die Münze nun zusätzlich fünf mal geworfen wurde, erhöht sich die die Anzahl der Würfe von 10 auf 15.
2. Schritt: Absolute Häufigkeit berechnen
$\begin{array}{rll} \text{Absolute Häufigkeit}&=&\text{relative Häufigkeit} \cdot \text{Anzahl der Würfe}\\[2pt] &=&0,4 \cdot 15\\[2pt] &=&6\\[2pt] \end{array}$
$\begin{array}{rll} \text{Absolute Häufigkeit}&=&6\\[2pt] \end{array}$
Bei 15 Würfen kam sechs mal „Kopf“ vor, bei zehn Würfen kam vier mal „Kopf“ vor.
Somit war noch zwei weitere Male „Kopf“ unter den fünf Würfen.
4.
Zusammenhang zwischen relativer und absoluter Häufigkeit erklären
Die absolute Häufigkeit gibt an, wie oft ein bestimmtes Ereignis bei einem Zufallsexperiment eintritt. Mit der relativen Häufigkeit setzt man die absolute Häufigkeit in Bezug (Relation) zur Versuchsgröße.
Diese Beziehung lässt sich mit folgender Formel beschreiben:
$\text{relative Häufigkeit}$$ =\dfrac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Anzahl der Werte}}$
5.
Häufigkeitstabelle ergänzen
Um die Summe der absoluten Häufigkeiten zu erhalten, addierst du einzelnen absoluten Häufigkeiten auf.
Um die fehlenden relativen Häufigkeiten zu berechnen, kannst du folgende Formel verwenden:
$\text{Relative Häufigkeit in %} $$=\dfrac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Anzahl der Werte}} \cdot 100$
Relative Häufigkeit der Note 2 in % $=\dfrac{3}{10} \cdot100=30\%$
Note
1
2
3
4
5
6
Summe
Absolute Häufigkeit
1
2
3
2
1
0
10
Relative Häufigkeit
10$\%$
30$\%$
30$\%$
20$\%$
10$\%$
0$\%$
100$\%$
Note
1
2
3
Absolute Häufigkeit
1
2
3
Relative Häufigkeit
10$\%$
30$\%$
30$\%$
6.
Anzahl der Werte bestimmen
Um diese AUfgabe zu lösen, kannst du wieder die folgende Formel verwenden und die gegebenen Werte einsetzen.
$\begin{array}{rll} \text{relative Häufigkeit in %} &=&\dfrac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Anzahl der Werte}} \cdot 100& \scriptsize \mid\; \text{Formel umstellen} \\[2pt] \text{Anzahl der Werte} &=&\dfrac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{relative Häufigkeit in %}} \cdot 100& \scriptsize \mid\; \text{Werte einsetzen} \\[2pt] &=&0,4 \cdot 15\\[2pt] &=&\dfrac{12}{40} \cdot 100& \\[2pt] &=&30\\[2pt] \end{array}$
$\begin{array}{rll} \text{Anzahl der Werte}&=&30\\[2pt] \end{array}$
Es sind insgesamt 30 Werte.
7.
Absolute Häufigkeit bestimmen
Auch bei dieser Aufgabe kannst du die folgende Formel.
$\begin{array}{rll} \text{relative Häufigkeit in %} &=&\dfrac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Anzahl der Werte}} \cdot 100& \scriptsize \mid\; \text{Formel umstellen} \\[5pt] \text{absolute Häufigkeit} &=&\dfrac{\text{Anzahl der Werte} \cdot \text{relative Häufigkeit in %}}{100} & \scriptsize \mid\; \text{Werte einsetzen} \\[2pt] &=&0,4 \cdot 15\\[2pt] &=&\dfrac{30 \cdot 20}{100}& \\[2pt] &=&6\\[2pt] \end{array}$
$\begin{array}{rll} \text{absolute Häufigkeit}&=&6\\[2pt] \end{array}$
Die Zahl ist sechs mal vorgekommen.
8.
Relative Häufigkeiten anhand von einem Diagramm bestimmen
1. Schritt: Absolute Häufigkeiten und Anzahl der Werte ablesen
Absolute Häufigkeit „Kopf“: 25
Absolute Häufigkeit „Zahl“: 15
Anzahl der Werte: $25$ „Kopf“ $ + 15 $ „Zahl“ $ = 40$
2. Schritt: Relative Häufigkeit berechnen
$\text{relative Häufigkeit „Kopf“} $$= \dfrac{15}{40}\cdot100 = 37,5\%$.
$\text{relative Häufigkeit „Zahl“} $$= \dfrac{25}{40}\cdot100 = 62,5\%$.
9.
Mit einer Grafik arbeiten
a)
Anzahl der Würfe bestimmen
Die 1 wurde drei mal geworfen.
Die 2 wurde fünf mal geworfen.
Die 3 wurde sechs mal geworfen.
Die 4 wurde vier mal geworfen.
Die 5 wurde vier mal geworfen.
Die 6 wurde acht mal geworfen.
$3+5+6+4+4+8=30$
Insgesamt wurde 30-mal geworfen.
b)
Relative Häufigkeiten bestimmen
Verwende die abgelesenen Werte aus a) sowie folgende Formel, um die relativen Häufigkeiten zu berechnen:
Augenzahl: $\text{relative Häufigkeit in %} $$=\dfrac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Anzahl der Werte}} \cdot 100$
$1: \frac{3}{30}\cdot 100=10\%$
$2: \frac{5}{30}\cdot 100=16,6\%$
$3: \frac{6}{30}\cdot 100=20\%$
$4: \frac{4}{30}\cdot 100=13,3\%$
$5: \frac{4}{30}\cdot 100=13,3\%$
$6: \frac{8}{30}\cdot 100=26,6\%$
c)
Häufigkeitstabelle erstellen
Die Tabelle kannst du mit Hilfe der Werte, die du in a) und b) berechnet hast erstellen.
Augenzahl
1
2
3
4
5
6
Summe
Absolute Häufigkeit
3
5
6
4
4
8
30
Relative Häufigkeit
10$\%$
16,6$\%$
20$\%$
13,3$\%$
13,3$\%$
26,6$\%$
100$\%$
Augenzahl
1
2
3
Absolute Häufigkeit
3
5
6
Relative Häufigkeit
10$\%$
16,6$\%$
20$\%$
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