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Median und Quartile

Spickzettel
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Die Quartile teilen die Werte einer sortierten Liste in zwei Teile auf.
Statistische Erhebung und Darstellung: Median und Quartile
Statistische Erhebung und Darstellung: Median und Quartile
Die Liste enthält die Werte $x_1, x_2, …, x_n$.
$x_1$ ist der Wert, der an erster Stelle der Liste steht, $x_n$ ist der letzte Wert. Da es keinen Wert wie $x_{2,5}$ gibt, musst du dies runden.
In einer Liste sind die Werte $x_1, x_2, …, x_n$, insgesamt enthält sie $n$ Elemente. Ein ungerader Wert (z.B. $x_{2,5}$) wird gerundet. Für die Quartile benötigst du eine sortierte Liste.
  • Unteres Quartil: $q_u=x_{0,25\cdot (n+1)}$
  • Mittleres Quartil (Median): abh. von $n$
  • Oberes Quartil: & $q_o=x_{0,75\cdot (n+1)}$
    • $n$ ungerade: & $q_o=x_{0,5\cdot (n+1)}$
    • $n$ gerade: & $q_o=0,5\cdot(x_{0,5\cdot n}+x_{0,5\cdot (n+1)})$
  • Unteres Quartil: $q_u=x_{0,25\cdot (n+1)}$
  • Mittleres Quartil (Median): abh. von $n$
  • Oberes Quartil: & $q_o=x_{0,75\cdot (n+1)}$
    • $n$ ungerade: & $q_o=…$
    • $n$ gerade: & $q_o=…$

Beispiel – Quartile einer Liste

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28 $-$ die Liste enthält $n=14$ Werte.
  • Unteres Quartil: $q_u=x_{0,25\cdot (14+1)}=x_{3,75}\approx x_{4}=8$
    $\scriptsize (2,4,6 < 8 (25\%), 10 - 28 > 8 (75\%)) $
  • Oberes Quartil: $q_o=x_{0,75\cdot (14+1)}=x_{11,25}\approx x_{11}=22$
    $\scriptsize (2 - 20 < 22 (75\%), 24, 26, 28 > 22 (25\%)) $
  • Median: $q_m=0,5\cdot(x_{0,5\cdot14}+x_{0,5\cdot (14+1)})\approx 0,5\cdot(x_{7}+x_{8})=0,5\cdot(14+16)=15$
  • Unteres Quartil: $q_u=8$
  • Oberes Quartil: $q_o=22$
  • Median: $q_m=15$
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Aufgaben
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1.
Sortiere diese Listen sinnvoll!
a)
1, 5, 1, 2, 3, 10, 4, 2, 4, 5, 1, 2, 3, 10, 8, 4, 2
b)
1,75, 1,90, 2,03, 1,65, 1,75, 1,80, 1,69, 1,67, 1,77
c)
K, K, Z, K, Z, Z, Z, K, K, Z, Z, Z, K
d)
A, B, B, C, F, T, F, D, A, C, T, A
2.
In den letzten beiden Klassenarbeiten wurden diese Noten geschrieben:
a)
2, 3, 3, 2, 1, 4, 3, 2, 5, 2, 3, 4, 2, 3, 2
b)
1, 3, 4, 2, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 4, 5
Gib jeweils den Median an.
3.
Gib für diese Listen jeweils das untere Quartil, den Median und das obere Quartil an.
a)
A, B, B, C, F, T, F, D, A, C, T, A
b)
9, 6, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 1, 3, 2, 8, 5, 7, 1, 7, 8
4.
Die 9 ist das mittlere Quartil dieser unsortierten Liste.
Gib je einen möglichen Wert für x und y an.
6, x, 2, 7, 16, 9, 14, y, 17
5.
In dieser Liste sind $q_u$, $q_m$ und $q_o$ die Quartile. Ordne die Liste der Größe nach.
Welche Werte können $q_u$, $q_m$ und $q_o$ annehmen?
$q_u$, 7, $q_o$, 1, 33, $q_m$, 1, 12, 19, 15, 22
6.
Gib den Wert der fehlenden Zahl $x$ an, falls der Median 12,5 ist.
1, 4, $x$, 16, 25, 49
7.
Wie lang ist diese Liste, wenn die 7 das untere Quartil ist?
1, 3, 5, 7, 9, 11, …
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Lösungen
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1.
Listen sortieren
a)
Sortiere die Zahlen aufsteigend von vorne nach hinten.
1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 8, 10, 10
b)
Sortiere die Zahlen aufsteigend von vorne nach hinten.
1,65, 1,67, 1,69, 1,75, 1,75, 1,77, 1,80, 1,90, 2,03
c)
Sortiere die Buchstaben alphabetisch von vorne nach hinten.
K, K, K, K, K, K, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z
d)
Sortiere die Buchstaben alphabetisch von vorne nach hinten.
A, A, A, B, B, C, C, D, F, F, T, T
2.
Median bestimmen
a)
1. Schritt: Liste sortieren
Sortiere die Zahlen aufsteigend von vorne nach hinten.
1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5
2. Schritt: Median bestimmen
$\begin{array}{rll} q_m&=&x_{0,5\cdot(n+1)}& \scriptsize \mid \text{einsetzen} \\[5pt] q_m&=&x_{0,5\cdot(15+1)}\\[5pt] q_m&=&x_{0,5\cdot(16)}\\[5pt] q_m&=&x_{8} \end{array}$
Der Median beträgt somit 3.
b)
1. Schritt: Liste sortieren
Sortiere die Zahlen aufsteigend von vorne nach hinten.
1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5
2. Schritt: Median bestimmen
$\begin{array}{rll} q_m&=&0,5\cdot \left(x_{0,5\cdot n}+x_{0,5\cdot(n+1)}\right)& \scriptsize \mid \text{einsetzen} \\[5pt] q_m&=&0,5\cdot \left(x_{0,5\cdot 12}+x_{0,5\cdot(12+1)}\right)\\[5pt] q_m&=&0,5\cdot \left(x_{0,5\cdot 12}+x_{0,5\cdot13}\right)\\[5pt] q_m&=&0,5\cdot \left(x_{6}+x_{6,5}\right)& \scriptsize \mid \text{runden} \\[5pt] q_m&=&0,5\cdot \left(x_6+x_7\right)& \scriptsize \mid x_6=3\quad x_7=3 \\[5pt] q_m&=&0,5\cdot \left(3+3\right)\\[5pt] q_m&=&3 \end{array}$
$\begin{array}{rll} q_m&=&3 \end{array}$
Der Median ist somit 3.
3.
Unteres, oberes Quartil und Median bestimmen
a)
1. Schritt: Liste sortieren
Sortiere die Buchstaben alphabetisch von vorne nach hinten.
A, A, A, B, B, C, C, D, F, F, T, T
2. Schritt: Unteres Quartil bestimmen
$\begin{array}{rll} q_u&=&x_{0,25\cdot(n+1)}& \scriptsize \mid \text{einsetzen} \\[5pt] q_u&=&x_{0,25\cdot(12+1)}\\[5pt] q_u&=&x_{0,25\cdot13}\\[5pt] q_u&=&x_{3,25}& \scriptsize \mid \text{runden}\\[5pt] q_u&=&x_{3} \\[5pt] \end{array}$
Das untere Quartil ist A.
3. Schritt: Oberes Quartil bestimmen
$\begin{array}{rll} q_o&=&x_{0,75\cdot(n+1)}& \scriptsize \mid \text{einsetzen} \\[5pt] q_o&=&x_{0,75\cdot(12+1)}\\[5pt] q_o&=&x_{0,75\cdot13}\\[5pt] q_o&=&x_{9,25}& \scriptsize \mid \text{runden}\\[5pt] q_o&=&x_{9}=\text{F} \\[5pt] \end{array}$
Das obere Quartil ist F.
4. Schritt: Median bestimmen
$\begin{array}{rll} q_m&=&0,5\cdot \left(x_{0,5\cdot n}+x_{0,5\cdot(n+1)}\right)& \scriptsize \mid \text{einsetzen} \\[5pt] q_m&=&0,5\cdot \left(x_{0,5\cdot 12}+x_{0,5\cdot(12+1)}\right)\\[5pt] q_m&=&0,5\cdot \left(x_{0,5\cdot 12}+x_{0,5\cdot13}\right)\\[5pt] q_m&=&0,5\cdot \left(x_{6}+x_{6,5}\right)& \scriptsize \mid \text{runden}\\[5pt] q_m&=&0,5\cdot \left(x_6+x_7\right)& \scriptsize \mid x_6=\text{C}, x_7=\text{C}\\[5pt] q_m&=&0,5\cdot \left(2\text{C}\right)\\[5pt] q_m&=&\text{C} \end{array}$
$\begin{array}{rll} q_m&=&\text{C} \end{array}$
Das obere Quartil ist F.
b)
1. Schritt: Liste sortieren
Sortiere die Zahlen aufsteigend von vorne nach hinten.
1, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9
2. Schritt: Unteres Quartil bestimmen
$\begin{array}{rll} q_u&=&x_{0,25\cdot(n+1)}& \scriptsize \mid \text{einsetzen} \\[5pt] q_u&=&x_{0,25\cdot(17+1)}\\[5pt] q_u&=&x_{0,25\cdot18}\\[5pt] q_u&=&x_{4,5}& \scriptsize \mid \text{runden}\\[5pt] q_u&=&x_{5} \\[5pt] \end{array}$
Das untere Quartil ist 5.
3. Schritt: Oberes Quartil bestimmen
$\begin{array}{rll} q_o&=&x_{0,75\cdot(n+1)}& \scriptsize \mid \text{einsetzen} \\[5pt] q_o&=&x_{0,75\cdot(17+1)}\\[5pt] q_o&=&x_{0,75\cdot18}\\[5pt] q_o&=&x_{13,5}& \scriptsize \mid \text{runden}\\[5pt] q_o&=&x_{14}=\text{8} \\[5pt] \end{array}$
Das obere Quartil ist 8.
4. Schritt: Median bestimmen
$\begin{array}{rll} q_m&=&x_{0,5\cdot(n+1)}& \scriptsize \mid \text{einsetzen} \\[5pt] q_m&=&x_{0,5\cdot(17+1)}\\[5pt] q_m&=&x_{0,5\cdot(18)}\\[5pt] q_m&=&x_{9}=7 \end{array}$
Das obere Quartil ist 7.
4.
Mögliche Werte bestimmen
1. Schritt: Liste sortieren
Sortiere die Zahlen aufsteigend von vorne nach hinten.
2, 6, 7, 9, 14, 16, 17
2. Schritt: Werte für $\boldsymbol{x}$ und $\boldsymbol{y}$ bestimmen
Damit die 9 das mittlere Quartil ist, muss ein Wert größer und ein Wert kleiner als 9 sein.
Zwei mögliche Werte können beispielsweise $\text{x}=4$ und $\text{y}=12$ sein.
Somit lautet die Liste: 2, 4, 6, 7, 9, 12, 14, 16, 17
5.
Werte für $\boldsymbol{q_u,\;q_m,\;q_o}$ bestimmen
1. Schritt: Stellen der Quartile bestimmen
Da die Anzahl der Werte ($n=11$) in der Liste bekannt sind, kannst du die Stellen bestimmen.
$\begin{array}{rll} q_u&=&x_{0,25\cdot(n+1)}& \scriptsize \mid \text{einsetzen} \\[5pt] q_u&=&x_{0,25\cdot(11+1)}\\[5pt] q_u&=&x_{0,25\cdot12}\\[5pt] q_u&=&x_{53} \end{array}$
$q_u$ ist an dritter Stelle.
$\begin{array}{rll} q_m&=&x_{0,5\cdot(n+1)}& \scriptsize \mid \text{einsetzen} \\[5pt] q_m&=&x_{0,5\cdot(11+1)}\\[5pt] q_m&=&x_{0,5\cdot(12)}\\[5pt] q_m&=&x_{6} \end{array}$
$q_m$ ist an sechster Stelle.
$\begin{array}{rll} q_o&=&x_{0,75\cdot(n+1)}& \scriptsize \mid \text{einsetzen} \\[5pt] q_o&=&x_{0,75\cdot(11+1)}\\[5pt] q_o&=&x_{0,75\cdot12}\\[5pt] q_o&=&x_{9} \end{array}$
$q_o$ ist an neunter Stelle.
2. Schritt: Liste sortieren
Sortiere die Zahlen aufsteigend von vorne nach hinten.
1, 1, $q_u$, 7, 12, $q_m$, 15, 19, $q_o$, 22 33
3. Schritt: Werte, die $\boldsymbol{q_u,\;q_m,\;q_o}$ annehmen können
$q_u$ liegt zwischen 1 und 7, somit kann $q_u$ die Werte 1 bis 7 annehmen.
$q_m$ liegt zwischen 12 und 15, somit kann $q_m$ die Werte 12 bis 15 annehmen.
$q_o$ liegt zwischen 19 und 22, somit kann $q_m$ die Werte 19 bis 22 annehmen.
6.
Fehlenden Wert $\boldsymbol{x}$ bestimmen
Der Median ist 12,5. Die Liste ist $n=6$ Werte lang.
Benutze die Formel für gerade $n$, um den fehlenden Wert zu bestimmen:
$\begin{array}{rll} q_m&=&0,5\cdot\left(x_{0,5\cdot n}+x_{0.5\cdot(n+1)}\right)& \scriptsize \mid \text{einsetzen} \\[5pt] 12,5&=&0,5\cdot\left(x_{0,5\cdot 6}+x_{0.5\cdot(6+1)}\right)\\[5pt] 12,5&=&0,5\cdot\left( x_{3}+x_{3,5}\right) & \scriptsize \mid \text{runden}\\[5pt] 12,5&=&0,5\cdot\left( x_{3}+x_{4}\right)& \scriptsize \mid x_3=x, x_4=16 \\[5pt] 12,5&=&0,5\cdot\left( x+16\right)& \scriptsize \mid \cdot2 \\[5pt] 25&=&x+16& \scriptsize \mid -16 \\[5pt] 95&=&x \end{array}$
$\begin{array}{rll} 95&=&x \end{array}$
Der fehlende Wert ist $x=9$.
7.
Länge der Liste bestimmen
Die 7 steht an vierter Stelle, somit handelt es sich um $x_4$.
Die Länge der Liste ($n$) ist Teil der Formel zur Berechnung des unteren Quartiles.
$\begin{array}{rll} q_u&=&x_{0,25\cdot(n+1)}& \scriptsize \mid \text{einsetzen} \\[5pt] x_4&=&x_{0,25\cdot(n+1)} \end{array}$
Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
$\begin{array}{rll} 4&=&0,25\cdot(n+1)& \scriptsize \mid \cdot 4 \\[5pt] 16&=&n+1& \scriptsize \mid -1\\[5pt] 15&=&n \end{array}$
Die Liste besteht aus 15 Werten.
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