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Rechtwinkliges Dreiec...
Einführung
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Kathetensatz
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Satz des Thales
Sinus, Kosinus und Ta...
Flächeninhalt und Umf...
Vermischte Aufgaben
Allgemeines Vieleck
Berechnungen in Körpe...
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Median und Quartile
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Mehrstufige Zufallsex...
Zinseszins

Vermischte Aufgaben

Aufgaben
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1.
An einer Schule wurden die Körpergrößen von 15 Schülern gemessen:
Schüler
Thomas
Matthias
Andrea
Klaus
Johannes
Michaela
Oliver
Bastian
Körpergröße
1,67m
1,80m
1,67m
1,75m
1,60m
1,80m
1,75m
1,75m
Schüler
Thomas
Matthias
Körpergröße
1,67m
1,80m
Schüler
Martina
Patrick
Adrian
Bettina
Carina
Robert
Elena
Körpergröße
1,60m
1,75m
1,93m
1,86m
1,75m
1,67m
1,86m
Schüler
Martina
Patrick
Körpergröße
1,60m
1,75m
a) 
Erstelle eine Häufigkeitstabelle.
b) 
Bestimme den Mittel- und den Modalwert.
c) 
Berechne die Quartile.
d) 
Wie groß sind die Spannweite und die mittlere absolute Abweichung?
e)
Zeichne ein Liniendiagramm, dass die Anzahl der einzelnen Körpergrößen darstellt.
f)
 
Zeichne ein Kreisdiagramm, dass die prozentualen Anteile der einzelnen Körpergrößen darstellt.
2.
Statistische Erhebung und Darstellung: Vermischte Aufgaben
Statistische Erhebung und Darstellung: Vermischte Aufgaben
3.
Statistische Erhebung und Darstellung: Vermischte Aufgaben
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Lösungen
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1.
a)
Häufigkeitstabelle erstellen
1. Schritt: Liste ordnen
1,6 1,6 1,67 1,67 1,67 1,75 1,75 1,75 1,75 1,75 1,8 1,8 1,86 1,86 1,93
2. Schritt: Absolute Häufigkeit bestimmen
Zähle ab, wie oft jeder Wert vorkommt.
1,6m kommt zweimal in der Liste vor, d.h. die absolute Häufigkeit dieses Wertes ist 2.
So kannst du für jeden Wert die absolute Häufigkeit bestimmen.
3. Schritt: Relative Häufigkeit berechnen
Berechne die relative Häufigkeit mit der Formel:
$\text{relative Häufigkeit in} \%$$=\dfrac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Anzahl der Werte}}\cdot 100$
$1,60: \frac{2}{15}\cdot100\;=\;13,3\%$
$1,67: \frac{3}{15}\cdot100\;=\;20\%$
$1,75: \frac{5}{15}\cdot100\;=\;33,3\%$
$1,80: \frac{2}{15}\cdot100\;=\;13,3\%$
$1,86: \frac{2}{15}\cdot100\;=\;13,3\%$
$1,93: \frac{1}{15}\cdot100\;=\;6,6\%$
4. Schritt: Häufigkeitstabelle erstellen
Körpergröße in m
1,60
1,67
1,75
1,80
1,86
1,93
Summe
Absolute Häufigkeit
2
3
5
2
2
1
15
Relative Häufigkeit
13,3$\%$
20$\%$
33,3$\%$
13,3$\%$
13,3$\%$
6,6$\%$
100$\%$
Körpergröße in m
1,60
1,67
Absolute Häufigkeit
2
3
Relative Häufigkeit
13,3$\%$
20$\%$
b)
Mittel- und Modalwert bestimmen
$\blacktriangleright$ Mittelwert berechnen
Die Summe aller Werte beträgt 26,21m. Die Anzahl der Werte ist 15.
Berechne den Mittelwert mit folgender Formel:
$\overline{x}=\frac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl der Werte}}$
$\overline{x}=\frac{26,21\,\text{m}}{15}\approx 1,74\,\text{m}$
Das arithmetische Mittel beträgt $1,74\,m.$
$\blacktriangleright$ Modalwert berechnen
Der Modalwert ist der Wert, der am häufigsten vorkommt. In diesem Fall ist das mit fünfmal die $1,75\,m$.
c)
Quartile berechnen
Verwende die geordnete Liste aus a):
1,6 1,6 1,67 1,67 1,67 1,75 1,75 1,75 1,75 1,75 1,8 1,8 1,86 1,86 1,93
Die Liste enthält $n=15$ Werte.
$\blacktriangleright$ Unteres Quartil berechnen
$\begin{array}{lccl} q_{u} &=& x_{0,25\cdot(n+1)}\\[2pt] &=& x_{0,25\cdot(15+1)}\\[2pt] &=& x_{4}\\[2pt] &=&1,67\,\text{m} \end{array}$
$\blacktriangleright$ Oberes Quartil berechnen
$\begin{array}{lccl} q_{o} &=& x_{0,75\cdot(n+1)}\\[2pt] &=& x_{0,75\cdot(15+1)}\\[2pt] &=& x_{12}\\[2pt] &=&1,8\,\text{m} \end{array}$
$\blacktriangleright$ Median berechnen
($n$ ungerade)
$\begin{array}{lccl} q_{m} &=& x_{0,5\cdot(n+1)}\\[2pt] &=& x_{0,5\cdot(15+1)}\\[2pt] &=&x_{0,5\cdot16}\\[2pt] &=&x_{8}\\[2pt] &=&1,75\,\text{m} \end{array}$
Der Median beträgt $1,75\,\text{m}.$
d)
SPW und mittlere absolute Abweichung berechnen
$\blacktriangleright$ SPW berechnen
Die Formel für die Spannweite ist: $SPW = x_{max}- x_{min}$
Setze den niedrigsten und höchsten Wert aus der Liste in die Formel ein:
$\begin{array}{lcl} \text{SPW} &=& 1,93\,\text{m}-1,6\,\text{m}\\[2pt] &=& 0,33\,\text{m} \end{array}$
Somit beträgt die Spannweite $0,33\,\text{m}.$
$\blacktriangleright$ Mittlere absolute Abweichung berechnen
Das arithmetisches Mittel hast du in b) bestimmt, $\overline{x}=1,74\,\text{m}$.
Verwende die geordnete Liste aus a):
1,6 1,6 1,67 1,67 1,67 1,75 1,75 1,75 1,75 1,75 1,8 1,8 1,86 1,86 1,93
$\begin{array}{lcl} \text{MAA} &=& \dfrac{|x_{1}-\overline{x}|+|x_{2}-\overline{x}|+…|x_{n}-\overline{x}|}{n}\\[5pt] &=& \scriptsize \dfrac{|1,6-1,74|+|1,6-1,74|+|1,67-1,74|+|1,67-1,74|+|1,67-1,74|}{15}\\[2pt] && \scriptsize +\dfrac{|1,75-1,74|+|1,75-1,74|+|1,75-1,74|+|1,75-1,74|+|1,75-1,74|}{15}\\[2pt] && \scriptsize +\dfrac{|1,8-1,74|+|1,8-1,74|+|1,86-1,74|+|1,86-1,74|+|1,93-1,74|}{15}\\[2pt] &=& \frac{4,48}{15}\\[2pt] & ≈ &0,3 \end{array}$
$\begin{array}{lcl} \text{MAA} & ≈ &0,3 \end{array}$
Die mittlere absolute Abweichung beträgt $0,3\,\text{m}$.
e)
Liniendiagramm zeichnen
Entnehme die prozentualen Anteile der Körpergrößen aus der Häufigkeitstabelle in a).
Körpergröße in m
1,60
1,67
1,75
1,8
1,86
1,93
Summe
Anzahl
2
3
5
2
2
1
15
Körpergröße in m
1,60
1,67
Anzahl
2
3
Die Körpergrößen werden auf der x-Achse und die Anzahl auf der y-Achse dargestellt.
Zeichne die Punkte aus der Tabelle in das Diagramm ein und verbinde sie miteinander.
Statistische Erhebung und Darstellung: Vermischte Aufgaben
Statistische Erhebung und Darstellung: Vermischte Aufgaben
f)
Prozentuale Anteile im Kreisdiagramm darstellen
Entnehme die prozentualen Anteile der Körpergrößen aus der Häufigkeitstabelle in a).
Körpergröße in m
1,60
1,67
1,75
1,80
1,86
1,93
Summe
Relative Häufigkeit
13,3$\%$
20$\%$
33,3$\%$
13,3$\%$
13,3$\%$
6,6$\%$
100$\%$
Körpergröße in m
1,60
1,67
Relative Häufigkeit
13,3$\%$
20$\%$
1. Schritt: Winkel der Kreisausschnitte berechnen
Der Gesamtwinkel des Kreises beträgt 360°.
Die Winkel der Kreisausschnitte kannst du berechnen, indem du die relative Häufigkeit mit 360° multiplizierst.
$1,60\,\text{m}: 0,133\cdot360^\circ=48^\circ$
$1,67\,\text{m}: 0,2\cdot360^\circ=72^\circ$
$1,75\,\text{m}: 0,333\cdot360^\circ=120^\circ$
$1,80\,\text{m}: 0,133\cdot360^\circ=48^\circ$
$1,86\,\text{m}: 0,133\cdot360^\circ=48^\circ$
$1,93\,\text{m}: 0,066\cdot360^\circ=24^\circ$
2. Schritt: Kreisdiagramm zeichnen
Statistische Erhebung und Darstellung: Vermischte Aufgaben
Statistische Erhebung und Darstellung: Vermischte Aufgaben
2.
Passende Liste zum vorgegebenen Kreisdiagramm bestimmen
1. Schritt: Listen ordnen
a)
A, A, A, A, A, A, B, B, C, C, C, D
b)
A, B, B, C, C, C, D, D, D, D, D, D
c)
A, A, A, A, B, B, B, C, C, C, D, D
2. Schritt: Passende Liste zuordnen
Jede Liste enthält 12 Werte. Im Kreisdiagramm ist der Kreisausschnitt von D ein Halbkreis. Die Hälfte aller Werte müssen also D sein.
Liste b) enthält sechsmal D.
Das Kreisdiagramm stellt also die Liste b) dar.
3.
a)
Relative Häufigkeiten berechnen
1. Schritt: Absolute Häufigkeiten bestimmen
Wie oft jede Augenzahl geworfen wurde, kannst du direkt aus dem Diagramm ablesen.
1: viermal
2: zweimal
3: dreimal
4: siebenmal
5: fünfmal
6: dreimal
Insgesamt wurde 24-mal geworfen
2. Schritt: Relative Häufigkeit berechnen
Berechne die relative Häufigkeit mit der Formel:
$\text{relative Häufigkeit in } \%$$=\dfrac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Anzahl der Werte}}\cdot 100$
$1: \frac{4}{24}\cdot100\;=\;16,6\%$
$2: \frac{2}{24}\cdot100\;=\;8,3\%$
$3: \frac{3}{24}\cdot100\;=\;12.5\%$
$4: \frac{7}{24}\cdot100\;=\;29,16\%$
$5: \frac{5}{24}\cdot100\;=\;20,8\%$
$6: \frac{3}{24}\cdot100\;=\;12,5\%$
b)
Häufigkeitstabelle erstellen
Note
1
2
3
4
5
6
Summe
Absolute Häufigkeit
4
2
3
7
5
3
24
Relative Häufigkeit
16,6$\%$
8,3$\%$
12,5$\%$
29,16$\%$
20,8$\%$
12,5$\%$
100$\%$
Note
1
2
Absolute Häufigkeit
4
2
Relative Häufigkeit
16,6$\%$
8,3$\%$
c)
Mittelwert, Modalwert und Median bestimmen
$\blacktriangleright$ Mittelwert bestimmen
$\overline{x}=\dfrac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl der Werte}}$
Die Summe aller Werte ist 88.
Die Anzahl der Werte ist $n=24$.
$\overline{x}=\dfrac{88}{24}\approx 3,66$
Das arithmetische Mittel ist somit 3,66.
$\blacktriangleright$ Modalwert bestimmen
Der Modalwert ist der Wert, der am häufigsten vorkommt.
In unserem Fall ist das mit siebenmal die Augenzahl 4.
$\blacktriangleright$ Median bestimmen
1. Schritt: Liste erstellen
Liste die Augenzahlen sortiert nacheinander auf:
1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6
2. Schritt: Median bestimmen
(n gerade)
$\begin{array}{lcl} q_{m} &=& 0,5\cdot(x_{0,5\cdot(n)}+x_{0.5\cdot(n+1)})\\[2pt] &=& 0,5\cdot(x_{0,5\cdot(24)}+x_{0.5\cdot(24+1)})\\[2pt] &=& 0,5\cdot(x_{12}+x_{12,5})\\[2pt] &=& 0,5\cdot(x_{12}+x_{13})\\[2pt] &=& 0,5\cdot(4+4)\\[2pt] &=& 4 \end{array}$
Der Median beträgt somit 4.
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