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Erwartungswert

Spickzettel
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Der Erwartungswert einer Zufallsvariable $X$ zu einem Zufallsexperiment gibt den Wert an, den die Zufallsvariable im Mittel annimmt. Im Schnitt wäre bei der wiederholten Durchführung des Experimentes also in etwa ein Ergebnis in der Nähe des Erwartungswerts zu erwarten.
Der Erwartungswert eines Zufallsexperiment erhält man, indem man jede Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses mit dessen Wert multipliziert und anschließend diese Werte aufsummiert.
$E(X) = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X=x_i) = x_1 \cdot P(X=x_1) +x_2\cdot P(X=x_2) + … + x_n \cdot P(X=x_n)$
Sollst du den Erwartungswert berechnen, überlege dir also zunächst welche möglichen Ausgänge das Zufallsexperiment haben kann und welche Wahrscheinlichkeiten diese haben.
#wahrscheinlichkeit#ereignis#erwartungswert
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Daten und Zufall: Erwartungswert
Abb. 1: Spielwürfel
Daten und Zufall: Erwartungswert
Abb. 1: Spielwürfel

Aufgabe 1

Bei einer Werbeaktion eines Kaufhauses kann man ein Glücksrad drehen. Der Spieler, welcher das Glücksrad dreht, erhält so viele Bonbons, wie die Zahl, auf der das Glücksrad stoppt, anzeigt.
a)
Berechne den Erwartungswert, wenn ein Spieler das Glücksrad ein Mal dreht.
b)
Das Kaufhaus geht davon aus, dass etwa $200$ Besucher an der Werbeaktion teilnehmen. Mit welcher Anzahl an Bonbons kann das Kaufhaus rechnen?

Aufgabe 2

Sarah sagt zu Jan: "In dieser Streichholzschachtel befinden sich noch $20$ Streichhölzer. Eines habe ich in der Hälfte durchgebrochen und nur noch die Hälfte in die Schachtel gelegt. Wenn du mir einen Euro gibst, darfst du mit verbundenen Augen ein Streichholz aus der Schachtel ziehen. Ziehst du das durchbrochene Streichholz, geb ich dir $15\,\text{€}$."
a)
Notiere den Ergebnisraum.
b)
Ist dieses Spiel fair?

Aufgabe 3

Tim hat sich für seine Freunde etwas einfallen lassen. Er sagt: "Ich werfe drei identische $2\text{€}$-Münzen gleichzeitig in die Luft. Die Münzen, welche mit der Zahl nach oben liegen, bekommt mein Mitspieler."
a)
Zeichne das passende Baumdiagramm.
b)
Notiere die möglichen Ergebnisse mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.
c)
Wie viel Euro müsste Tim als Einsatz verlangen, damit er mit dem Spiel auf lange Sicht Gewinn erzielt?

Aufgabe 4

Daten und Zufall: Erwartungswert
Abb. 3: Reißnägel
Daten und Zufall: Erwartungswert
Abb. 3: Reißnägel
Bildnachweise [nach oben]
[1]
https://goo.gl/dKjB8O – Der Spieler, Dennis Skley, CC BY-ND 2.0.
[2]
© 2016 – SchulLV.
[3]
https://goo.gl/v87dpp – Tacks, atalou, CC BY-ND 2.0.
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$ Erwartungswert berechnen
Bei dieser Aufgabe sollst du den Erwartungswert des einmaligen Werfens eines Würfels berechnen. Der Erwartungswert eines Zufallsexperiment erhält man, indem man jede Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses mit dessen Wert multipliziert und anschließend diese Werte aufsummiert. Da bei einem Würfel jede Augenzahl gleich wahrscheinlich ist, ergibt sich folgender Erwartungswert:
$\begin{array}[t]{rll} E\left(X\right)&=& 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} \\[5pt] &=& \frac{21}{6} \\[5pt] &=& 3,5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} E\left(X\right)&=& … \end{array}$
Die erwartete Augenzahl beim einmaligen Werfen eines Würfels beträgt $3,5$.
b)
$\blacktriangleright$ Erwartungswert bei mehrfacher Durchführung berechnen
Für einen einzelnen Wurf hast du den Erwartungswert berechnet. Da jeder einzelne Wurf diesen Erwartungswert hat, musst du diesen nur mit der Anzahl der Würfe multiplizieren.
$\begin{array}[t]{rll} E\left(X\right)&=& 100 \cdot 3,5 \\[5pt] &=& 350 \end{array}$
Die erwartete Gesamtaugenzahl nach $100$ Würfen liegt bei $350$.

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$ Erwartungswert berechnen
Den Erwartungswert kannst du wie in der Aufgabe zuvor berechnen. Du multplizierst jedes mögliche Ergebnis mit dessen Wahrscheinlichkeit und summierst diese Werte auf.
$\begin{array}[t]{rll} E\left(X\right)&=& 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot \frac{1}{4} \\[5pt] &=& \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{4} \\[5pt] &=& \frac{2}{4} + \frac{2}{4} + \frac{3}{4} \\[5pt] &=& \frac{7}{4} \\[5pt] &=& 1,75 \end{array}$
Ein Spieler gewinnt im Mittel $1,75$ Bonbons bei der Werbeaktion.
b)
$\blacktriangleright$ Erwartungswert berechnen
Nun sollst du die erwartete Anzahl an Bonbons berechnen, die das Kaufhaus benötigt. Dafür multiplizierst du den Erwartungswert eines Spielers mit der Anzahl an Spieler insgesamt, da jeder Spieler den gleichen Erwartungswert hat.
$\begin{array}[t]{rll} E\left(X\right)&=& 200 \cdot 1,75 \\[5pt] &=& 350 \end{array}$
Das Kaufhaus wird erwartungsgemäß $350$ Bonbons benötigen.

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$ Ergebnisraum angeben
Wenn du den Ergebnisraum notierst, musst du dir Gedanken darüber machen, welche Ergebisse alles möglich sind. Hier gibt es die Möglichkeiten, dass der Spieler einen Euro verliert, wenn er ein vollständiges Streichholz aus der Schachtel zieht, aber $15\,\text{€}-1\,\text{€}$ gewinnt, wenn er das halbe Streichholz aus der Schachtel zieht.
$\begin{array}[t]{rll} \Omega &=& \{-1;14\} \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$ Erwartungswert berechnen
Um herauszufinden, ob das Spiel fair ist, berechnest du dessen Erwartungswert. Ist dieser kleiner Null, ist das Spiel nicht fair.
$\begin{array}[t]{rll} E\left(X\right)&=& \left(-1\right) \cdot \frac{19}{20} + 14 \cdot \frac{1}{20} \\[5pt] &=& -\frac{19}{20} + \frac{14}{20} \\[5pt] &=& -\frac{5}{20} \\[5pt] &=& -0,25 \end{array}$
Dieses Spiel ist nicht fair, da ein Spieler im Durchschnitt $0,25\,\text{€}$ verliert.

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$ Baumdiagramm zeichnen
Hier siehst du das Baumdiagramm des Zufallsexperiments.
Daten und Zufall: Erwartungswert
Abb. 1: Baumdiagramm
Daten und Zufall: Erwartungswert
Abb. 1: Baumdiagramm
b)
$\blacktriangleright$ Ergebnisse und zugehörige Wahrscheinlichkeit bestimmen
Da jeder Ast die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, hat auch jeder Pfad die gleiche Wahrscheinlichkeit. Diese kannst du berechnen. Mach dir Gedanken darüber, welche Ergebnisse es für Tim gibt und wie viele Pfade das gleiche Ergebnis zur Folge haben. Mithilfe dieser Information kannst du dann die Wahrscheinlichkeit für die Ergebnisse berechnen, indem du die Wahrscheinlichkeiten der Pfade addierst.
Ergebnis in €$0$$-2$$-4$$-6$
Wahrscheinlichkeit$\frac{1}{8}$$\frac{3}{8}$$\frac{3}{8}$$\frac{1}{8}$
c)
$\blacktriangleright$ Einsatz bestimmen
Nun sollst du angeben, wie viel Geld Tim als Einsatz verlangen müsste, damit er auf lange Sicht mit dem Spiel einen Gewinn erzielt. Hierfür berechnest du zuerst den Erwartungswert eines Spiels. Dies ist der erwartete Gewinn bzw. Verlust von Tim.
$\begin{array}[t]{rll} E\left(X\right)&=& 0 \cdot \frac{1}{8} + \left(-2\right) \cdot \frac{3}{8} + \left(-4\right) \cdot \frac{3}{8} + \left(-6\right) \cdot \frac{1}{8}\\[5pt] &=& -\frac{6}{8}-\frac{12}{8}-\frac{6}{8} \\[5pt] &=& -\frac{24}{8} \\[5pt] &=& -3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} E\left(X\right)&=& … \end{array}$
Im Durchschnitt macht Tim also $3\,\text{€}$ Verlust pro Spiel. Damit er auf lange Sicht einen Gewinn erzielt, muss er von jedem Spieler einen Einsatz größer $3\,\text{€}$ verlangen.

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$ Ergebnisraum angeben
Überlege, welche möglichen Ergebnisse es für dieses Spiel gibt. Achte darauf, dass beide Reißnägel gleichzeitig geworfen werden.
$\begin{array}[t]{rll} \Omega&=& \{\left(Kopf,Kopf\right);\left(Kopf,Seite\right);\left(Seite,Kopf\right);\left(Seite,Seite\right)\} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \Omega&=& … \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$ Erwartete Anzahl Kopf
Die erwartete Anzahl an Reißnägel, die auf dem Kopf liegen bleiben, erhältst du, indem du die Anzahl der Reißnägelwürfe mit der Wahrscheinlichkeit des Liegenbleiben auf dem Kopf multiplizierst.
$\begin{array}[t]{rll} E\left(X\right)&=& 2 \cdot 100 \cdot 0,6 \\[5pt] &=& 120 \end{array}$
Es ist zu erwarten, dass wenn die beiden Reißnägel $100$ Mal geworfen werden, insgesamt $120$ Mal ein Reißnagel auf dem Kopf liegen bleibt.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
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