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Mehrstufige Zufallsexperimente

Spickzettel
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Du hast nun gelernt was ein mehrstufiges Zufallsexperiment und ein Baumdiagramm ist. Im nächsten Schritt möchten wir die Wahrscheinlichkeiten P(E) für ein mehrstufiges Zufallsexperiment bestimmen. Dabei kannst du auch nach der Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses fragen (z.B. zuerst Kopf dann Zahl werfen).

1. Pfadregel: Multiplikationsregel

Mit der Multiplikationsregel kannst du die Wahrscheinlichkeit P(E) dafür berechnen, dass verschiedene Ereignisse eintreten werden. Wichtig ist dabei die Reihenfolge des Eintretens.
Merke: $\quad$ Multipliziere alle Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades

Beispiel

Zu allererst musst du die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse an die Pfade im Baumdiagramm schreiben
Bsp.: Wir haben insgesamt 10 Kugeln, 2 davon sind orange, 5 davon sind grün. Somit ist die Wahrscheinlichkeit eine orange Kugel zu ziehen $\dfrac{2}{10}$, eine grüne Kugel hingegen $\dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$
Ereignis $E:$ "erst grün dann orange" $=\left\{(g, o)\right\}$
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E:P(E) =P(g, l) = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{10}=\dfrac{2}{20} = \dfrac{1}{10}$

2. Pfadregel: Additionsregel

Mit der Additionsregel kann man die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass mehrere Ereignisse eintreten werden. Dabei spielt die Reihenfolge des Eintretens in der Regel keine Rolle.
Merke: $\quad$ Addiere die Wahrscheinlichkeiten aller passenden Ergebnisse („Pfade addieren“)

Beispiel

Zweimaliges Werfen einer Münze: Wahrscheinlichkeit für einmal Kopf und Zahl
Ergebnismenge: $\Omega=\left\{(K, K); (K, Z); (Z, K); (Z, Z)\right\}$
Ereignis $E$: Kopf und Zahl werfen; $E=\left\{(K, Z); (Z, K)\right\}$
Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse (1. Pfadregel):
$P (K,Z) = 0,5\cdot0,5 = 0,25$
$P (Z,K) = 0,5\cdot0,5 = 0,25$
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses (2. Pfadregel):
$P(E)=P(K, Z) + P(Z, K) =0,25 + 0,25 = 0,5$
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Aufgaben
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1.  In einer Urne sind 21 Kugeln, davon sind 7 weiß und 14 schwarz.
Zeichne ein Baumdiagramm für zweimaliges Ziehen mit Zurücklegen und trage die Wahrscheinlichkeiten ein.
2.  In einem Spiel gibt es drei mögliche Ergebnisse:
$A$, $B$ und $C$.
Die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse sind:
$P(A)=0,2$ $\quad$ $P(B)=0,5$ $\quad$ $P(C)=0,3$
a)  Zeichne in die Vorlage des Baumdiagramms ein.
b)  Bestimme den Ergebnisraum (Ergebnismenge).
c)  Berechne die Wahrscheinlichkeit von
$E=\left\{(A, B)\right\}$ (es ergibt sich zuerst $A$, danach $B$)
3.  In einer Urne sind 20 Kugeln: 15 rote und 5 weiße. Zunächst legst du die Kugeln immer zurück in die Urne. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit…
a)  … genau eine weiße Kugel zu ziehen?
b)  … bei dreimaligem Ziehen genau drei rote Kugeln zu ziehen?
c)  … bei viermaligem Ziehen zwei rote und zwei weiße Kugeln zu ziehen?
Nun legst du die Kugeln nicht mehr zurück. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit…
d) … bei zweimaligem Ziehen eine weiße und eine rote Kugel zu ziehen?
e) … bei fünfmaligem Ziehen fünf weiße Kugeln zu ziehen?
4.  In einem Beutel sind rote und grüne Murmeln, insgesamt sind es 20 Stück..
Die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Murmeln (mit zurücklegen) zu ziehen, ist 25%. Berechne, wie viele rote Murmeln im Beutel sind.
5.  Eine Münze wird dreimal geworfen.
a) Zeichne das Baumdiagramm.
b) Bestimme den Ergebnisraum (Ergebnismenge).
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau dreimal Kopf zu werfen?
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei Zahlen und einmal Kopf zu werfen?
6.  Du würfelst zwei mal mit einem Würfel.
Sind diese Aussagen wahr oder falsch? Begründe deine Antwort.
a) Die Wahrscheinlichkeit, zwei gleiche Zahlen zu würfeln, ist kleiner als 10%.
b) Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Zahlen größer als 3 sind, ist kleiner als 50%.
c) Die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 5 ist, ist 11,11%.
d) Die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Zahlen 9 ist, ist größer als die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Zahlen 8 ist.
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Lösungen
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1.  Baumdiagramm zeichnen:
Berechne die Wahrscheinlichkeiten:
für die weißen Kugeln: $P(\text{weiß}) = \dfrac{7}{21} = \dfrac{1}{3}$
für die schwarzen Kugeln: $P(\text{schwarz}) = \dfrac{14}{21} = \dfrac{2}{3}$
2.
a)  Baumdiagramm ergänzen
Trage die Ergebnisse und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten ein.
b)  Ergebnisraum bestimmen
Lies den Ergebnisraum aus dem Diagramm ab, indem du jeden Ast berücksichtigst.
$\scriptsize{\Omega = {(A,A);(A,B);(A,C);(B,A);(B,B);\\(B,C);(C,A);(C,B);(C,C)}}$
c)  Wahrscheinlichkeit berechnen
Berechne die Wahrscheinlichkeit $\text{P(A,B)}$ mit der 1. Pfadregel:
$\text{P(A,B)} = 0,2 \cdot 0,5 = 0,1$
Die Wahrscheinlichkeit beträgt 10%.
3.
a)  Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen.
Von insgesamt 20 Kugeln sind 5 Kugeln weiß. $\text{P(weiß)} =\frac{5}{20}= \frac{1}{4}=0,25=25\%$
b)  Wahrscheinlichkeit, drei rote Kugeln zu ziehen.
1. Schritt: Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugeln zu ziehen
Von insgesamt 20 Kugeln sind 15 Kugeln rot. $\text{P(rot)} =\frac{15}{20} =\frac{3}{4}=0,75=75\%$
2. Schritt: Wahrscheinlichkeit, drei rote Kugeln zu ziehen
Wahrscheinlichkeit, drei rote Kugeln zu ziehen
Berechne die Wahrscheinlichkeit, bei dreimaligem Ziehen genau drei rote Kugeln zu ziehen, mit der 1. Pfadregel.
$\text{P(rrr)}=\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\;=\; 0,421875 \approx 42\%$
c)  Wahrscheinlichkeit, zwei rote und zwei weiße Kugeln zu ziehen.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, bei viermaligem Ziehen zwei rote und zwei weiße Kugeln zu ziehen, mit der 1. Pfadregel.
$\text{P(rrww)}:\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\;=\; 0,0352 $
$\text{P(rwrw)}:\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}\;=\; 0,0352 $
$\text{P(wwrr)}:\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}\;=\; 0,0352 $
$\text{P(wrwr)}:\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}\;=\; 0,0352 $
$\text{P(wrrw)}:\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}\;=\; 0,0352 $
$\text{P(rwwr)}:\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}\;=\; 0,0352 $
Bilde die Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten (2. Pfadregel):
$3,52\%+3,52\%+…\approx 21\%$
ohne zurücklegen
d)  Wahrscheinlichkeit, eine rote und eine weiße Kugel zu ziehen
Die Wahrscheinlichkeit, bei zweimaligem Ziehen eine weiße und eine rote Kugel ohne zurücklegen zu ziehen, berechnest du folgendermaßen:
Der Ergebnisraum: $\Omega$ = {(w,r);(r,w)}
Die Wahrscheinlichkeit beim ersten Ziehen beträgt:
$\text{P(weiß)}= \dfrac{1}{4} \,\text{und}\; \text{P(rot)} = \dfrac{3}{4}$
Beim zweiten Ziehen verändert sich nun jedoch die Wahrscheinlichkeit:\newline Es sind dann nur noch 19 Kugeln in der Urne und somit beträgt die Wahrscheinlichkeit eine rote oder weiße Kugel zu ziehen:
$\text{P(weiß)}=\dfrac{15}{19} = 0,7894$ und $\text{P(rot)}=\dfrac{5}{19} = 0,263$
Berechne die Wahrscheinlichkeit, zuerst eine weiße und dann eine rote Kugel zu ziehen, mit der 1.Pfadregel.
$\text{P(w,r)} = \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{15}{19}= 0,197 = 19,7 \%$
Die Wahrscheinlichkeit, zuerst eine rote und dann eine weiße Kugel zu ziehen, liegt bei: $\text{P(r,w)} = \dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{5}{19} = 0,197 = 19,7\%$
Bilde die Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten (2. Pfadregel):$19,7\%+19,7\%=39,4\%$
e)  Wahrscheinlichkeit, fünf weiße Kugeln zu ziehen
Berechne die Wahrscheinlichkeit, bei fünfmaligem Ziehen, fünf weiße Kugeln zu ziehen:
Beim ersten Zug liegt die Wahrscheinlichkeit bei $\frac{5}{20}$
Beim zweiten Zug ist eine weiße Kugel weniger und somit auch insgesamt eine Kugel weniger in der Urne. Die Wahrscheinlichkeit liegt bei $\frac{4}{19}$
…usw
Beim fünften Zug sind vier weiße Kugeln weniger und somit auch insgesamt vier Kugeln weniger in der Urne. Die Wahrscheinlichkeit liegt bei $\frac{1}{16}$
$\text{P(w,w,w,w,w)}=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{4}{19}\cdot\dfrac{3}{18}\cdot\dfrac{2}{17}\cdot\dfrac{1}{16}=0,006\%$
Die Wahrscheinlichkeit, fünf weiße Kugeln zu ziehen, beträgt 0,006%
4.  Anzahl roter Murmeln bestimmen
Die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Murmeln (mit zurücklegen) zu ziehen, ist 25%.
1. Pfadregel:
$\text{P(E)}= \text{P(rot)}\cdot \text{P(rot)}=0,25=\frac{1}{4}$
Da insgesamt 20 Murmeln im Beutel sind gilt:
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{1}{4}=&\dfrac{x}{20}\cdot \dfrac{x}{20}\\ \dfrac{1}{4}=&\dfrac{x^2}{400}&\scriptsize \mid\;\cdot 400 \\[5pt] \dfrac{1}{4}\cdot 400=&x^2&\\ 100=&x^2&\scriptsize \mid\;\sqrt{\,}\\ 10=&x&\\ \end{array}$
Es sind somit 10 rote Murmeln in dem Beutel.
5.  Münzwurf
a)  Baumdiagramm zeichnen
b)  Ergebnisraum bestimmen
Aus dem Baumdiagramm kannst du alle möglichen Ergebnisse ablesen.
Der Ergebnisraum:
$\Omega = \left\{(K,K,K);(K,K,Z);(K,Z,K);(K,Z,Z);(Z,Z,Z);(Z,Z,K);(Z,K,K);(Z,K,Z)\right\}$
c)  Wahrscheinlichkeit berechnen
Berechne die Wahrscheinlichkeit genau 3 Köpfe zu werfen mit der 1.Pfadregel.
$\text{P(K,K,K)}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}= 0,125= 12,5\%$
d)  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Die Ereignismenge enthält drei Elemente: $\text{E}=\left\{\text{(Z,Z,K);(Z,K,Z);(K,Z,Z)}\right\}$
Berechne die Wahrscheinlichkeit, zweimal Zahl und einmal Kopf zu werfen, mit der 1.Pfadregel.
$\text{P(Z,Z,K)}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}= 12,5\%$
$\text{P(Z,K,Z)}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}= 12,5\%$
$\text{P(K,Z,Z)}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}= 12,5\%$
Somit ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses (2. Pfadregel): 12,5%+12,5%+12,5%= 37,5%.
6.  Aussagen auf Richtigkeit überprüfen
a)  P(zwei gleiche)$\mathbf{<}$10
Die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Zahl zu werfen ist $\frac{1}{6}$
Die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Zahl zwei mal hintereinander zu würfeln, beträgt dann:
$\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}=0,027= 2,7\%$
Dies ist jetzt zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit dafür zweimal die 1 zu würfeln. Es gibt aber $6$ verschiedene Möglichkeiten für das gleiche Zahlenpaar, die alle die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen. Daraus ergibt sich dann mit der 2. Pfadregel:
$P(\text{zwei gleiche}) = 6\cdot 0,027 $$= 0,162 = 16,2\,\%$
Diese Aussage ist nicht richtig.
b)  P($\mathbf{>}3$)$\mathbf{<}$50%
Eine Zahl größer als 3 werfen:$\text{E}=\left\{4,5,6\right\}$
Die Wahrscheinlichkeit, eine 4, 5 oder 6 zu werfen, kannst du mit der 2.Pfadregel berechnen.
$\text{P(4)}=\dfrac{1}{6}$ $\text{P(5)}=\dfrac{1}{6}$ $\text{P(6)}=\dfrac{1}{6}$
$\text{P($>$3)}=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$
Die Wahrscheinlichkeit für beide Zahlen ist somit:
$P(>3,>3)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}= 25\%.$
Diese Aussage ist richtig.
c)  P(Summe=5) = 11,11%
Es gibt vier verschiedene Möglichkeiten, das die Summe 5 ist.
$\text{E}=\left\{(1,4);(2,3);(4,1);(3,2)\right\}$
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Zahlen 5 ist, mit der 1. Pfadregel.
$\text{P(1,4)}=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{36}$ $\text{P(4,1)}=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{36}$
$\text{P(2,3)}=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{36}$ $\text{P(3,2)}=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{36}$
Berechne mit der 2.Pfadregel, die Wahrscheinlichkeit in der Summe eine 5 zu werfen.
$\text{P(Summe=5)}=\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{36}=\dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9}=11,1\%$
Diese Aussage ist richtig.
d)  P(Summe=9)$\mathbf{>}$P(Summe=8)
Es gibt vier verschiedene Möglichkeiten, dass die Summe 9 ist.
$\text{E}=\left\{(\text{3,6});(\text{4,5});(\text{5,4});(\text{6,3})\right\}$
Berechne die Wahrscheinlichkeit wie in c).
$\text{P(Summe=9)}=\dfrac{1}{9}=11,1\%$
Es gibt fünf verschiedene Möglichkeiten, dass die Summe 8 ist.
$\text{E}=\left\{(\text{2,6});(\text{3,5});(\text{4,4});(\text{5,3});(\text{6,2})\right\}$
Berechne die Wahrscheinlichkeit wie in c).
$\text{P(Summe=8)}=\dfrac{5}{36}=13,9\%$
Diese Aussage ist falsch.
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