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Pfadregeln

Spickzettel
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Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem mehrstufigen Zufallsexperiments zu berechnen, benötigt man die Pfadregeln. Es gibt zwei verschiedene Pfadregeln:
Pfadmultiplikationsregel
Die Pfadmultiplikationsregel sagt aus, dass die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment gleich dem Produkt aller Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades im Baumdiagramm ist.
Du erhältst also die Wahrscheilichkeit eines Ereignisses, indem du alle Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizierst.
Pfadadditionsregel
Die Pfadadditionsregel wird verwendet, wenn sich das Ereignis aus den Wahrscheinlichkeiten mehrerer Pfade zusammensetzt. Du kannst die Pfade nach der Additionsregel addieren, denn die Regel sagt aus, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem mehrstufigen Zufallsexperiment gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade ist.
#pfadregeln
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Daten und Zufall: Pfadregeln
Abb. 1: Glücksrad
Daten und Zufall: Pfadregeln
Abb. 1: Glücksrad
a)
Zeichne das Baumdiagramm des Zufallsexperimentes.
b)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler zwei Wertgutscheine gewinnt?
c)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler einen Wertgutschein gewinnt?
c)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler mindestens einen Wertgutschein gewinnt?

Aufgabe 1

Elias hat in seiner Jackentasche noch drei Kaugummis, zwei mit Pfefferminz- und einen mit Zitronengeschmack. Julian und Jonas fragen Elias, ob sie jeweils einen Kaugummi von ihm bekommen. Elias zieht gleichzeitig zwei Kaugummis aus seiner Jackentasche.
a)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben beide Kaugummis Pfefferminzgeschmack?
b)
Welches Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit $0$?
a)
Welches Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit $1$?

Aufgabe 2

In einem Ballsack befinden sich insgesamt zwölf Fussbälle. Davon sind 8 Fussbälle rot und die restlichen blau. Der Trainer zieht ohne hinzusehen zwei Bälle aus dem Ballsack.
a)
Zeichne das zugehörige Baumdiagramm.
b)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der erste Ball blau?
c)
Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass einer der gezogenen Bälle blau ist.
d)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Ball rot ist?

Aufgabe 3

Eine $2$-Euro-Münze wird drei Mal hintereinander geworfen.
a)
Ermittle die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
E1 = Kopf, Kopf, Zahl
E2 = Kopf, Zahl, Kopf
E3 = Zahl, Kopf, Kopf
b)
Vergleiche die Ergebnisse aus dem ersten Aufgabenteil. Was fällt dir auf?

Aufgabe 4

Aus einem regulären Skat-Kartendeck werden nacheinander Karten gezogen ohne Zurücklegen. Ein reguläres Skat-Kartendeck besteht aus $32$ Karten, welche von jedem der vier Wappen die Karten mit der Wertigkeit von Acht bis Ass enthalten.
a)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste gezogene Karte ein rotes Wappen besitzt?
b)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit zuerst eine Acht und anschließend eine Neun zu ziehen, unabhängig von dem Wappen?
c)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit nacheinander vier Karten mit dem gleichen Wappen zu ziehen?
d)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit als erste Karte das Herz Ass und anschließend das Pik Ass zu ziehen?

Aufgabe 5

Daten und Zufall: Pfadregeln
Abb. 2: Manuel Neuer
Daten und Zufall: Pfadregeln
Abb. 2: Manuel Neuer

Aufgabe 6

Laura und Daniel spielen zusammen "Mensch ärgere dich nicht". Nach einigen Spielrunden fällt Laura auf, dass Daniel erstaunlich oft Sechser würfelt. Sie beobachten die nächsten sechs Spielrunden. Von diesen sechs Runden würfelt Daniel vier mal eine Sechs. Laura unterstellt Daniel, der Würfel sei gezinkt. Wie könnte sie ihre Vermutung mathematisch begründen?

Aufgabe 7

Samuel ist über die Ferien in Madrid. Aus einer Fussballzeitschrift weiß er, dass $70\,\text{%}$ der Bewohner Madrids Real Madrid Fan sind und die restlichen Atlético Madrid Fans. Weiterhin erinnert er sich daran, dass $90\,\text{%}$ der Real Madrid Fans ein Trikot ihrer Mannschaft besitzen, bei den Atlético Madrid Fans besitzen lediglich $60\,\text{%}$ ein Trikot.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft Samuel in Madrid eine Person, die kein Trikot ihres Fanclubs besitzt?
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
[2]
https://goo.gl/jXEjHK – Manuel Neuer, Anas Alsaidy, CC BY-SA 2.0.
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$ Baumdiagramm zeichnen
Wenn du das Baumdiagramm zeichnest, musst du dir in jeder Stufe des Baumes überlegen, welche möglichen Ergebnisse es gibt. Davon ist abhängig, in wie viele Teiläste sich der Baum aufteilt. Hier siehst du den Baum für das gegebene Zufallsexperiment.
Daten und Zufall: Pfadregeln
Abb. 1: Baumdiagramm
Daten und Zufall: Pfadregeln
Abb. 1: Baumdiagramm
b)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für "Zwei Mal Rot" bestimmen
Damit ein Spieler zwei Wertgutscheine gewinnt, muss das Glücksrad zwei Mal auf Rot stoppen. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Glücksrad im roten Bereich stehen bleibt, beträgt $\frac{1}{3}$, für den blauen Bereich beträgt sie $\frac{2}{3}$. Für diese Aufgabe wendest du die Pfadmultiplikationsregel an. Entlang eines Pfades werden Wahrscheinlichkeiten multipliziert.
$\begin{array}[t]{rll} P\left(\text{"Zwei Mal Rot"}\right)&=& \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \\[5pt] &=& \frac{1}{9} \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler zwei Wertgutscheine gewinnt, beträgt $\frac{1}{9}$.
c)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für "Ein Mal Rot" bestimmen
Nun gibt es zwei Möglichkeiten. Entweder das Glücksrad bleibt beim ersten Versuch auf Rot stehen oder beim Zweiten. Für die Berechnung benötigst du die Pfadmultiplikations- als auch die Pfadadditionsregel. Diese besagt, dass die Wahrscheinlichkeiten mehrere Pfade addiert werden. Mit diesen beiden Regeln kannst du die Wahrscheinlichkeit berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} P\left(\text{"Ein Mal Rot"}\right)&=& \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \\[5pt] &=& \frac{2}{9} + \frac{2}{9} \\[5pt] &=& \frac{4}{9} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P\left(\text{"Ein Mal Rot"}\right)&=& … \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler einen Wertgutschein gewinnt, beträgt $\frac{4}{9}$.
d)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für "Mindestens ein Mal Rot" bestimmen
Du sollst nun die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass ein Spieler mindestens einen Wertgutschein gewinnt, also das Glücksrad mindestens ein Mal auf Rot stehen bleibt. Diese Wahrscheinlichkeit setzt sich aus der Wahrscheinlichkeit für "Ein Mal Rot" und "Zwei Mal Rot" zusammen. Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten hast du bereits berechnet, diese musst du nur noch addieren und erhältst somit die gesamte Wahrscheinlichkeit.
$\begin{array}[t]{rll} P\left(\text{"Mindestens ein Mal Rot"}\right)&=& \frac{1}{9} + \frac{4}{9} \\[5pt] &=& \frac{5}{9} \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler mindestens einen Wertgutschein gewinnt, beträgt $\frac{5}{9}$.

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für "Zwei Mal Pfefferminzgeschmack" berechnen
Wenn die zwei Kaugummis gleichzeitig aus der Tasche gezogen werden, kann man dies auch als Zufallsexperiment auffassen, bei dem die Kaugummis nacheinander gezogen werden. Die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen eines Kaugummis ergibt sich als Quotient aus der Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse. Da zu Beginn zwei Kaugummis mit Pfefferminzgeschmack und einer mit Zitronengeschmack in der Tasche sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen eine Kaugummis mit Pfefferminzgeschmack $\frac{2}{3}$. Bedenke dabei, dass die Gesamtanzahl der Kaugummis in der Tasche sich verändert.
$\begin{array}[t]{rll} P\left(\text{"Zwei Mal Pfefferminzgeschmack"}\right)&=& \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \\[5pt] &=& \frac{2}{6} \\[5pt] &=& \frac{1}{3} \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass Elias die beiden Pfferminzkaugummis aus der Tasche zieht, beträgt $\frac{1}{3}$.
b)
$\blacktriangleright$ Ereignis mit Wahrscheinlichkeit $0$
Nun ist die Frage, welches Ereignis die Wahrscheinlichkeit $0$ besitzt, also nie eintritt. Diese Wahrscheinlichkeit besitzt z.B. das Ereignis "Elias zieht ein Kaugummi mit Melonengeschmack aus der Jackentasche".
c)
$\blacktriangleright$ Ereignis mit Wahrscheinlichkeit $1$
Als nächstes ist die Frage, welches Ereignis die Wahrscheinlichkeit $1$ besitzt, also immer eintritt. Diese Wahrscheinlichkeit besitzt z.B. das Ereignis "Elias zieht einen Kaugummi aus der Jackentasche".

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$ Baumdiagramm zeichnen
Du gehst vor wie in der ersten Aufgabe. Hier siehst du das zugehörige Baumdiagramm.
Daten und Zufall: Pfadregeln
Abb. 2: Baumdiagramm
Daten und Zufall: Pfadregeln
Abb. 2: Baumdiagramm
b)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für "Erster Ball blau" berechnen
Du musst nun den Pfad finden, bei dem der erste Ball blau ist. Dies ist der gesamte rechte Teil des Baumdiagramms. Somit kannst du die Wahrscheinlichkeit direkt ablesen.
$\begin{array}[t]{rll} P\left(\text{"Erster Ball blau"}\right)&=&\frac{4}{12} \\[5pt] &=& \frac{1}{3} \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste gezogene Ball blau ist, beträgt $\frac{1}{3}$.
c)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für "Ein Ball blau" berechnen
Du addierst bei dieser Aufgabe nun die Wahrscheinlichkeit aller Pfade, welche ein Mal einen blauen Ball enthalten.
$\begin{array}[t]{rll} P\left(\text{"Ein Ball blau"}\right)&=&\frac{8}{12} \cdot \frac{4}{11} + \frac{4}{12} \cdot \frac{8}{11}\\[5pt] &=& \frac{32}{132} + \frac{32}{132} \\[5pt] &=& \frac{64}{132} \\[5pt] &=& \frac{16}{33} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P\left(\text{"Ein Ball blau"}\right)&=& … \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der gezogenen Bälle blau ist, beträgt $\frac{16}{33}$.
d)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für "Mind. ein Ball rot" berechnen
Du summierst die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade auf, bei denen mindestens ein roter Ball aus dem Ballsack gezogen wird. Da der linke Teil des Baumes immer einen roten Ball enthält, ist dieser Teil der Lösung.
$\begin{array}[t]{rll} P\left(\text{"Mind. ein Ball rot"}\right)&=&\frac{8}{12} + \frac{4}{12} \cdot \frac{8}{11}\\[5pt] &=& \frac{8}{12} + \frac{32}{132} \\[5pt] &=& \frac{88}{132} + \frac{32}{132} \\[5pt] &=& \frac{120}{132} \\[5pt] &=& \frac{10}{11} \\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der gezogenen Bälle rot ist, beträgt $\frac{10}{11}$.

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit der Ereignisse berechnen
Die Wahrscheinlichkeit für Kopf oder Zahl beträgt jeweils $\frac{1}{2}$. Für die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse ergibt sich dann:
$\begin{array}[t]{rll} P\left(E_1\right)&=& \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \\[5pt] &=& \frac{1}{8} \\[10pt] P\left(E_2\right)&=& \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \\[5pt] &=& \frac{1}{8} \\[10pt] P\left(E_3\right)&=& \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \\[5pt] &=& \frac{1}{8} \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$ Ergebnisse vergleichen
Wenn du die Wahrscheinlichkeiten miteinander vergleichst, siehst du, dass jedes Ereignis die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt. Die Ereignisse unterscheiden sich lediglich in der Reihenfolge von Kopf oder Zahl. Das bedeutet unabhängig von der Reihenfolge der Ereignisse ist die Wahrscheinlichkeit gleich, solange die Anzahl an Kopf und Zahl gleich ist.

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für "Ein rotes Wappen" berechnen
Zwei von vier Wappen sind rot. Somit hat die Hälfte der Karten ein rotes Wappen.
$\begin{array}[t]{rll} P\left(\text{"Erste Karte rotes Wappen"}\right)&=& \frac{16}{32} \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste gezogene Karte ein rotes Wappen besitzt, beträgt $\frac{1}{2}$.
b)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für "Erst eine Acht, dann eine Neun" berechnen
Es gibt je eine Acht von jedem Wappen. Somit gibt es im gesamten Kartendeck vier Achten. Das gleiche gilt für die Neuner. Da ohne Zurücklegen gezogen wird, veringert sich pro Zug die Anzahl der Karten.
$\begin{array}[t]{rll} P\left(\text{"Erst eine Acht, dann eine Neun"}\right)&=& \frac{4}{32} \cdot \frac{4}{31} \\[5pt] &=& \frac{16}{992} \\[5pt] &=& \frac{1}{62} \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, erste eine Acht und danach eine Neun zu ziehen, beträgt $\frac{1}{62}$.
c)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für "Vier Karten mit gleichem Wappen" berechnen
Es gibt von jedem Wappen zu Beginn acht Karten. Insgesamt gibt es vier verschieden Wappen. Das bedeutet du berechnest die Wahrscheinlichkeit für z.B. vier Mal hintereinander eine Herz-Karte ziehen und multiplizierst dieses Ergebnis mit der Anzahl der Wappen.
$\begin{array}[t]{rll} P\left(\text{"Vier Karten mit gleichem Wappen"}\right)&=& 4 \cdot \left( \frac{8}{32} \cdot \frac{7}{31} \cdot \frac{6}{30} \cdot \frac{5}{29} \right) \\[5pt] &=& 4 \cdot \frac{1680}{863040} \\[5pt] &=& \frac{6720}{863040} \\[5pt] &=& \frac{7}{899} \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, hintereinander vier Karten mit dem gleichen Wappen aus dem Kartendeck zu ziehen, beträgt $\frac{7}{899}$.
d)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für "Herz Ass, Pik Ass" berechnen
Jede der beiden Karten gibt nur es nur genau ein Mal im Stapel.
$\begin{array}[t]{rll} P\left(\text{"Herz Ass, Pik Ass"}\right)&=& \frac{1}{32} \cdot \frac{1}{31} \\[5pt] &=& \frac{1}{992} \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, erst das Herz Ass und anschließend das Pik Ass zu ziehen, beträgt $\frac{1}{992}$.

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für "Hält den Elfmeter" berechnen
Es ist bekannt, dass Manuel Neuer von 51 Elfmeterduellen 17 erfolgreich für sich entschied, das heißt 17 Elfmeter halten konnte. Aus diesen Informationen kannst du die Wahrscheinlichkeit berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} P\left(\text{"Neuer hält den Elfmeter"}\right)&=& \frac{17}{51} \\[5pt] &=& \frac{1}{3} \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass Manuel Neuer einen Elfmeter hält, beträgt $\frac{1}{3}$.
b)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für "Hält die nächsten drei Elfmeter" berechnen
Die Wahrscheinlichkeit, dass Manuel Neuer einen Elfmeter hält, hast du gerade berechnet. Damit kannst du die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er drei Elfmeter hält, berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} P\left(\text{"Neuer hält die nächsten drei Elfmeter"}\right)&=& \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \\[5pt] &=& \frac{1}{27} \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass Manuel Neuer die nächsten drei Elfmeter hält, beträgt $\frac{1}{27}$.

Aufgabe 6

Bei einem regulären Spielwürfel ist jede Augenzahl gleich wahrscheinlich mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{6}$. Anhand des Ergebnisses der letzen sechs Runden kannst du die Wahrscheinlichkeit für eine Sechs bei diesem Würfel berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{"Augenzahl Sechs"})&=& \frac{4}{6} \\[5pt] &=& \frac{2}{3} \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit für eine Sechs ist bei diesem Würfel in dieser Stichprobe vier mal so hoch wie normal, weshalb Lauras Vermutung, der Würfel sei gezinkt, wahrscheinlich erscheint.

Aufgabe 7

Bei solchen Problemen empfiehlt es sich immer als erstes ein Baumdiagramm zu zeichnen.
Daten und Zufall: Pfadregeln
Abb. 3: Baumdiagramm
Daten und Zufall: Pfadregeln
Abb. 3: Baumdiagramm
Relevant sind nur die Pfade, welche mit "kein Trikot" enden. Mithilfe der Pfadregeln kannst du dann die Wahrscheinlichkeit bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} P\left(\text{"Person besitzt kein Trikot"}\right)&=& 0,7 \cdot 0,1 + 0,3 \cdot 0,4 \\[5pt] &=& 0,07 + 0,12 \\[5pt] &=& 0,19 \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass Samuel eine Person trifft, die kein Trikot ihres Fanclubs besitzt, beträgt $0,19$.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
[2]
© 2016 – SchulLV.
[3]
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