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Varianz und Standardabweichung

Spickzettel
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Varianz
Die Varianz ist ein Maß für die Streuung einer Zufallsvariable. Sie gibt also ein Maß dafür an, wie weit die Zufallsvariable im Schnitt von ihrem Erwartungswert abweicht. Die Varianz kann wie folgt berechnet werden:
$\scriptsize{V(X) = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} (x_i-E(X))^2 \cdot P(x_i) = (x_1-E(X))^2 \cdot P(x_1) +(x_2-E(X))^2\cdot P(x_2) + … + (x_n-E(X))^2 \cdot P(x_n)}$
Dabei bezeichnet $E(X)$ den Erwartungswert von $X$.
Standardabweichung
Die Standardabweichung ist ebenfalls ein Maß für die Streuung einer Zufallsvariable um ihren Erwartungswert und lässt sich wie folgt berechnen:
$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$
$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$
#variable#standardabweichung
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Einführungsaufgabe

Daten und Zufall: Varianz und Standardabweichung
Abb. 1: Cola-Flaschen
Daten und Zufall: Varianz und Standardabweichung
Abb. 1: Cola-Flaschen
Flasche$1$$2$$3$$4$$5$$6$$7$$8$$9$$10$
Füllmenge in ml$257$$255$$257$$258$$257$$256$$257$$260$$258$$257$
a)
Berechne das arithmetische Mittel der Stichprobe.
b)
Wie groß sind Varianz und Standardabweichung?

Aufgabe 1

Berechne für jede Datenreihe das arithmetische Mittel, die Varianz und die Standardabweichung.
a)
$0,58; 0,55; 0,6; 0,57; 0,58; 0,59$
b)
$60\,\text{min}$, $53\,\text{min}$, $58\,\text{min}$, $61\,\text{min}$, $57\,\text{min}$, $60\,\text{min}$, $55\,\text{min} $

Aufgabe 2

Die Olympischen Spiele 2016 fanden in Rio, Brasilien statt. Einer der Menschen, die durch die Olympischen Spiele erst richtig bekannt wurden, ist Usain Bolt. Er gewann, wie auch bei den Olympischen Spielen 2012, die Goldmedaille in der Disziplin $100\,\text{m}$ Leichtathletik Männer. In der Tabelle siehst du die Zeiten der Finalteilnehmer. Berechne das arithmetische Mittel, die Varianz und die Standardabweichung.
Platzierung$1$$2$$3$$4$$5$$6$$7$$8$
Zeit in Sekunden$9,81$$9,89$$9,91$$9,93$$9,94$$9,96$$10,04$$10,06$

Aufgabe 3

Lukas und Julia haben beide mehrmals ihre Luft so lange wie möglich angehalten und die Zeiten gestoppt. Die Messergebnisse haben sie in einer Tabelle notiert.
Welcher der beiden kann die Luft länger anhalten? Begründe.
Versuch$1$$2$$3$$4$$5$
Lukas$47\,\text{sek}$$61\,\text{sek}$$53\,\text{sek}$$57\,\text{sek}$$54\,\text{sek}$
Julia$53\,\text{sek}$$50\,\text{sek}$$54\,\text{sek}$$52\,\text{sek}$

Aufgabe 4

Beim Qualifying des Monaco Grand Prix 2016 erzielte Lewis Hamilton unter anderem folgende Rundenzeiten: $1\text{:}18.704\,\text{min}$, $1\text{:}18.831\,\text{min}$, $1\text{:}19.002\,\text{min}$, $1\text{:}18.964\,\text{min}$, $1\text{:}18.798\,\text{min}$.
Berechne die durchschnittliche Rundenzeit.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
https://goo.gl/9c78ba – Coca Cola, Mike Mozart, CC BY-2.0.
[2]
https://goo.gl/nOFwUh – Lewis Hamilton, 2015 US Grand Prix, PRODave Wilson, CC BY-NC-ND 2.0.
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$ Arithmetisches Mittel berechnen
Du sollst nun das arithmetische Mittel der Füllmengen der zehn Flaschen berechnen. Das arithmetische Mittel ist nichts anderes als der Durchschnitt. Das bedeutet für die Berechnung summierst du alle Messwerte auf und dividierst die Summe durch die Anzahl der Messwerte.
$\begin{array}[t]{rll} \overline{x}&=& \dfrac{257\,\text{ml}+255\,\text{ml}+257\,\text{ml}+258\,\text{ml}+257\,\text{ml}+256\,\text{ml}+257\,\text{ml}+260\,\text{ml}+258\,\text{ml} + 257\,\text{ml}}{10} \\[5pt] &=& \dfrac{2572\,\text{ml}}{10} \\[5pt] &=& 257,2\,\text{ml} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overline{x}&=& … \end{array}$
Das arithmetische Mittel beträgt $\overline{x}=257,2\,\text{ml}$.
b)
$\blacktriangleright$ Varianz und Standardabweichung berechnen
Die Varianz ist das arithmetische Mittel der quadrierten Abweichungen. Das bedeutet, du berechnest die Abweichung vom arithmetischen Mittel, subtrahierst also das arithmetische Mittel von dem Messwert, quadrierst diese Zahl und summierst letztendlich alle quadrierten Abweichungen auf. Anschließend dividierst du die Summe durch die Anzahl an Messwerten und erhältst somit die Varianz. Die Standardabweichung berechnet sich als die Wurzel der Varianz.
Messwert Abweichung von $\overline{x}$ Quadrierte Abweichung
$257\,\text{ml}$$-0,2\,\text{ml}$$0,04\,\text{ml}^2$
$255\,\text{ml}$$-2,2\,\text{ml}$$4,84\,\text{ml}^2$
$257\,\text{ml}$$-0,2\,\text{ml}$$0,04\,\text{ml}^2$
$258\,\text{ml}$$0,8\,\text{ml}$$0,64\,\text{ml}^2$
$257\,\text{ml}$$-0,2\,\text{ml}$$0,04\,\text{ml}^2$
$256\,\text{ml}$$-1,2\,\text{ml}$$1,44\,\text{ml}^2$
$257\,\text{ml}$$-0,2\,\text{ml}$$0,04\,\text{ml}^2$
$260\,\text{ml}$$2,8\,\text{ml}$$7,84\,\text{ml}^2$
$258\,\text{ml}$$0,8\,\text{ml}$$0,64\,\text{ml}^2$
$257\,\text{ml}$$-0,2\,\text{ml}$$0,04\,\text{ml}^2$
Nun summierst du die quadrierten Abweichungen auf und dividierst die Summe durch die Anzahl der Messwerte.
$\begin{array}[t]{rll} V(x)&=&\dfrac{0,04\,\text{ml}^2+4,84\,\text{ml}^2+0,04\,\text{ml}^2+0,64\,\text{ml}^2+0,04\,\text{ml}^2+1,44\,\text{ml}^2+0,04\,\text{ml}^2+7,84\,\text{ml}^2+0,64\,\text{ml}^2+0,04\,\text{ml}^2}{10} \\[5pt] &=& 1,556\,\text{ml}^2 \\[10pt] \sigma(x)&=& \sqrt{V(x)} \\[5pt] &=& \sqrt{1,556\,\text{ml}^2} \\[5pt] &\approx& 1,25 \,\text{ml} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} V(x)&=& …\\[10pt] \sigma(x)&=& … \end{array}$
Die Varianz hat einen Wert von $V(x)=1,556\,\text{ml}^2$ und die Standardabweichung beträgt $\sigma(x)=1,25 \,\text{ml}$.

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$ Arithmetisches Mittel, Varianz und Standardabweichung berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \overline{x}&=& \dfrac{0,58+0,55+0,6+0,57+0,58+0,59}{6} \\[5pt] &=& \dfrac{3,47}{6} \\[5pt] &\approx& 0,578 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overline{x}&=& … \end{array}$
Messwert Abweichung von $\overline{x}$ Quadrierte Abweichung
$0,58$$0,002$$0,000004$
$0,55$$-0,028$$0,000784$
$0,6$$0,022$$0,000484$
$0,57$$0,008$$0,000064$
$0,58$$0,002$$0,000004$
$0,59$$0,012$$0,000144$
Nun kannst du die Varianz und die Standardabweichung berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} V(x)&=& \dfrac{0,000004+0,000784+0,000484+0,000064+0,000004+0,000144}{6} \\[5pt] &=& \dfrac{0,001484}{6} \\[5pt] &\approx& 0,000247 \\[10pt] \sigma(x)&=& \sqrt{V(x)}\\[5pt] &=& \sqrt{0,000247} \\[5pt] &\approx& 0,0157 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} V(x)&=& … \\[10pt] \sigma(x)&=& … \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$ Arithmetisches Mittel, Varianz und Standardabweichung berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \overline{x}&=& \dfrac{60\,\text{min}+53\,\text{min}+58\,\text{min}+61\,\text{min}+57\,\text{min}+60\,\text{min}+55\,\text{min}}{7} \\[5pt] &=& \dfrac{404}{6} \\[5pt] &\approx& 57,7 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overline{x}&=& … \end{array}$
Messwert Abweichung von $\overline{x}$ Quadrierte Abweichung
$60\,\text{min}$$2,3\,\text{min}$$5,29\,\text{min}^2$
$53\,\text{min}$$-4,7\,\text{min}$$22,09\,\text{min}^2$
$58\,\text{min}$$0,3\,\text{min}$$0,09\,\text{min}^2$
$61\,\text{min}$$3,3\,\text{min}$$10,89\,\text{min}^2$
$57\,\text{min}$$-0,7\,\text{min}$$0,49\,\text{min}^2$
$60\,\text{min}$$2,3\,\text{min}$$5,29\,\text{min}^2$
$55\,\text{min}$$-2,7\,\text{min}$$7,29\,\text{min}^2$
Als nächstes berechnest du die Varianz und die Standardabweichung.
$\begin{array}[t]{rll} V(x)&=& \dfrac{5,29\,\text{min}^2+22,09\,\text{min}^2+0,09\,\text{min}^2+10,89\,\text{min}^2+0,49\,\text{min}^2+5,29\,\text{min}^2+7,29\,\text{min}^2}{7} \\[5pt] &=& \dfrac{51,43\,\text{min}^2}{6} \\[5pt] &\approx& 8,5717\,\text{min}^2 \\[10pt] \sigma(x)&=& \sqrt{V(x)}\\[5pt] &=& \sqrt{8,5717\,\text{min}^2} \\[5pt] &\approx& 2,928\,\text{min} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} V(x)&=& … \\[10pt] \sigma(x)&=& … \end{array}$

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Arithmetisches Mittel, Varianz und Standardabweichung berechnen
Alle Werte berechnest du wie in den Aufgaben zuvor.
$\begin{array}[t]{rll} \overline{x}&=& \dfrac{9,81\,\text{sek}+9,89\,\text{sek}+9,91\,\text{sek}+9,93\,\text{sek}+9,94\,\text{sek}+9,96\,\text{sek}+10,04\,\text{sek}+10,06\,\text{sek}}{8} \\[5pt] &=& \dfrac{79,54}{8} \\[5pt] &\approx& 9,94\,\text{sek} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overline{x}&=& … \end{array}$
Messwert Abweichung von $\overline{x}$ Quadrierte Abweichung
$9,81\,\text{sek}$$-0,13\,\text{sek}$$0,0169\,\text{sek}^2$
$9,89\,\text{sek}$$-0,05\,\text{sek}$$0,0025\,\text{sek}^2$
$9,91\,\text{sek}$$-0,03\,\text{sek}$$0,0009\,\text{sek}^2$
$9,93\,\text{sek}$$-0,01\,\text{sek}$$0,0001\,\text{sek}^2$
$9,94\,\text{sek}$$0\,\text{sek}$$0\,\text{sek}^2$
$9,96\,\text{sek}$$0,02\,\text{sek}$$0,0004\,\text{sek}^2$
$10,04\,\text{sek}$$0,1\,\text{sek}$$0,01\,\text{sek}^2$
$10,06\,\text{sek}$$0,12\,\text{sek}$$0,0144\,\text{sek}^2$
Berechne nun die Varianz und die Standardabweichung.
$\begin{array}[t]{rll} V(x)&=& \dfrac{0,0169\,\text{sek}^2+0,0025\,\text{sek}^2+0,0009\,\text{sek}^2+0,0001\,\text{sek}^2+0\,\text{sek}^2+0,0004\,\text{sek}^2+0,01\,\text{sek}^2+0,0144\,\text{sek}^2}{8} \\[5pt] &=& \dfrac{0,0452\,\text{sek}^2}{8} \\[5pt] &\approx& 0,00565\,\text{sek}^2 \\[10pt] \sigma(x)&=& \sqrt{V(x)}\\[5pt] &=& \sqrt{0,00565\,\text{sek}^2} \\[5pt] &\approx& 0,075\,\text{sek} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} V(x)&=& … \\[10pt] \sigma(x)&=& … \end{array}$
Das arithmetische Mittel beträgt $\overline{x}=9,94\,\text{sek}$, die Varianz $V(x)=0,00565\,\text{sek}^2$ und die Standardabweichung $\sigma(x)=0,075\,\text{sek}$.

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Arithmetisches Mittel berechnen
Um beurteilen zu können, wer länger die Luft anhalten kann, berechnest du das arithmetische Mittel für die Zwei. Der, der den höheren Durschnitt hat, kann auch länger die Luft anhalten. $x$ steht hierbei für Lukas und $y$ für Julia.
$\begin{array}[t]{rll} \overline{x}&=& \dfrac{47\,\text{sek}+61\,\text{sek}+53\,\text{sek}+57\,\text{sek}+47\,\text{sek}}{5} \\[5pt] &=& \dfrac{272\,\text{sek}}{5} \\[5pt] &=& 54,4 \,\text{sek} \\[10pt] \overline{y}&=& \dfrac{53\,\text{sek}+50\,\text{sek}+54\,\text{sek}+52\,\text{sek}}{4} \\[5pt] &=& \dfrac{209\,\text{sek}}{5} \\[5pt] &=& 52,25\,\text{sek} \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overline{x}&=& … \\[10pt] \overline{y}&=& … \end{array}$
Das Ergebnis zeigt, dass Lukas im Durchschnitt länger die Luft anhalten kann als Julia.

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$ Arithmetisches Mittel und Varianz berechnen
Du gehst vor, wie du es in den Aufgaben zuvor gelernt hast.
$\begin{array}[t]{rll} \overline{x}&=& \dfrac{1\text{:}18.704\,\text{min}+ 1\text{:}18.831\,\text{min}+1\text{:}19.002\,\text{min}+1\text{:}18.964\,\text{min}+1\text{:}18.798\,\text{min}}{5} \\[5pt] &=& \dfrac{6\text{:}34.299\,\text{min}}{5} \\[5pt] &\approx& 1\text{:}18.860\,\text{min} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overline{x}&=& … \end{array}$
Die durchschnittliche Rundenzeit beträgt $1\text{:}18.860\,\text{min}$.
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