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Wahrscheinlichkeit zusammengesetzter Ereignisse

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Wenn du zwei Ereignisse $E_1$ und $E_2$ gegeben hast, die keine Ergebnisse gemeinsam haben, können diese Ereignisse zu einem neuen Ereignis $E$ zusammengefasst werden. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Ereignisse $E_1$ und $E_2$ eintreten, kannst du mit der Summenregel berechnen.
$P(E)=P(E_1)+P(E_2)$
Alle Ergebnisse eines Ereignisses $E$, die nicht günstig sind, wird Gegenereignis $\color{#87c800}{\overline{E}}$ genannt.
Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignis kannst du mit einer Formel berechnen:
$P(\overline{E})=1-P(E)$

Beispiel

Ein Glücksrad hat rote, blaue, gelbe und transparente Felder. Die Wahrscheinlichkeiten, ein rotes, blaues oder gelbes Feld zu drehen ist gegeben mit:
$P(rot)=\frac{1}{24}$, $P(blau)=\frac {7}{24}$, $P(gelb)=\frac{11}{24}$
E: „Eine Farbe wird gedreht“
Berechne die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $E$:
$\begin{array}[t]{rll} P(E)&=&P(rot)+P(blau)+P(gelb) & \\[5pt] &=&\frac{1}{24}+\frac{7}{24}+\frac{11}{24}=\frac{19}{24} \end{array}$
Berechne nun die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein transparentes Feld gedreht wird. Am einfachsten ist es wenn du das Gegenereignis berechnest.
$P(\overline{E})=1-P(E)=1-\frac{19}{24}=\frac{5}{24}$
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1. Berechne die Wahrscheinlichkeit in einem Skatspiel folgende Karten zu ziehen
a) Karo- oder Herzkarte
b) Dame oder König
c) weder 8 noch 9
2. In einer Lostrommel befinden sich 600 Lose. Davon gibt es 200 Kugelschreiber, 50 CD's, 20 Smartphones und einen Fernseher zu gewinnen. Luca zieht ein Los. Berechne die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
a) A: „Luca gewinnt etwas“
b) B: „Luca gewinnt etwas außer einem Smartphone“
c) C: „Luca gewinnt nichts“
d) D: „Luca gewinnt den Fernseher oder nichts“
3. Marius würfelt mit einem Dodekaeder (Würfel mit 12 Flächen die mit den Zahlen 1-12 beschriftet sind). Berechne die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse
a) A: „Zahl kleiner als 6 oder größer als 8 “
b) B: „eine durch 4 teilbare oder eine Primzahl werfen “
c) C: „Keine 9 werfen “
d) D: „keine gerade Zahl werfen “
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1. Wahrscheinlichkeit berechnen
Daten und Zufall: Wahrscheinlichkeit zusammengesetzter Ereignisse
Daten und Zufall: Wahrscheinlichkeit zusammengesetzter Ereignisse
Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Skat#/media/File:Skatblatt_Turnierbild.jpg
a) Hier sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass eine Karo- oder Herzkarte gezogen wird. Insgesamt gibt es 32 Spielkarten. 8 der Spielkarten sind Karokarten und $8$ sind Herzkarten. Berechne zuerst die einzelnen Wahrscheinlichkeiten und danach kannst du die Summenregel anwenden.
$P(\text{Karo})=\frac{8}{32}$, $P(\text{Herz})=\frac{8}{32}$
$P(\text{Karo oder Herz}) =P(\text{Karo})+P(\text{Herz})=\frac{8}{32}+\frac{8}{32}=\frac{16}{32}=\frac{1}{2} $
Mit einer Wahrscheinlichkei von $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$ ist die gezogene Karte eine Karo- oder Herzkarte.
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Dame oder ein König gezogen wird. In einem Skat-Spiel gibt es 4 Damen und 4 Könige. Die Einzelwahrscheinlichkeiten sind dann:
$P(\text{Dame})=\frac{4}{32}$, $P(\text{König})=\frac{4}{32}$
Mit der Summenregel erhälst du:
$P(\text{Dame oder König})=\frac{4}{32}+\frac{4}{32}=\frac{8}{32}=\frac{1}{4}$
Mit einer Wahrscheinlichkei von $\boldsymbol{\frac{1}{4}}$ ist die gezogene Karte eine Dame oder ein König.
c)  Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weder eine 8 noch eine 9 gezogen wird. Am einfachsten ist es wenn du das Gegenereignis berechnest, also es wird eine 9 oder 8 gezogen. Es gibt vier mal die 8 und vier mal die 9.
$P(8)=\frac{4}{32}$, $P(9)=\frac{4}{32}$
Mit der Summenregel erhälst du:
$P(8 \text{ oder } 9)=\frac{4}{32}+\frac{4}{32}=\frac{8}{32}=\frac{1}{4}$
$P(\text{keine 8 oder 9})= 1-P(8 \text{ oder } 9)= 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$
Mit einer Wahrscheinlichkei von $\boldsymbol{\frac{3}{4}}$ wird keine 8 oder 9 gezogen.
2. Wahrscheinlichkeit berechnen
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Luca etwas gewinnt. Berechne als erstes die Wahrscheinlichkeit einen Kugelschreiber, eine CD, ein Smartphon oder den Fernseh zu gewinnen.
$P(\text{Kugelschreiber})=\frac{200}{600}=\frac{1}{3} $, $P(\text{CD})=\frac{50}{600}=\frac{1}{12} $
$P(\text{Smartphone})=\frac{20}{600}=\frac{1}{30} $, $P(\text{Fernseher})=\frac{1}{600} $
Um nun die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A zu berechnen wendest du die Summenregel an.
$P(A)=\frac{1}{3}+\frac{1}{12}+\frac{1}{30}+\frac{1}{600}=\frac{271}{600} $
Mit einer Wahrscheinlichkei von $\boldsymbol{\frac{271}{600}}$ gewinnt Luca etwas.
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Luca etwas gewinnt außer einem Kugelschreibe. Hier kannst du die Wahrscheinlichkeit wie in Aufgabenteil a) mit der Änderung, dass du die Wahrscheinlichkeit ein Smartphone zu gewinnen weg lässt, berechnen.
$P(B)=\frac{1}{3}+\frac{1}{12}+\frac{1}{600}=\frac{251}{600} $
Mit einer Wahrscheinlichkei von $\boldsymbol{\frac{251}{600}}$ gewinnt Luca etwas außer dem Smartphone.
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Luca nichts gewinnt. Am einfachsten ist es hier mit dem Gegenereignis zu rechnen, denn du hast die Wahrscheinlichkeit das Luaca etwas gewinnt schon berechnet.
$P(C)=1-P(A)=1-\frac{271}{600} =\frac{329}{600}$
Mit einer Wahrscheinlichkei von $\boldsymbol{\frac{329}{600}}$ gewinnt Luca nichts.
d) Hier sollst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass Luca den Fernseh gewinnt oder nichts. Setze in die Summenformel die Wahrscheinlichkeiten $P(C)$ und $P(Fernseher)$ ein.
$P(D)=\frac{329}{600}+\frac{1}{600}=\frac{330}{600}=\frac{11}{20}$
Mit einer Wahrscheinlichkei von $\boldsymbol{\frac{11}{20}}$ gewinnt Luca den Fernseher oder nichts.
3. Wahrscheinlichkeit berechnen
a) In dieser Aufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass Marius eine Zahl kleiner als 6 und größer als 8 würfelt.
1,2,3,4 und 5 sind kleiner als 6, also 5 Zahlen und 9,10,11 und 12 sind größer als 8, also 4 Zahlen.
$P(\text{kleiner als 6})=\frac{5}{12}$, $P(\text{größer als 8})=\frac{4}{12}$
Mit der Summenregel kannst du jetzt die Wahrscheinlichkeit für Ereignis A berechnen.
$P(A)=\frac{5}{12}+\frac{4}{12}= \frac{9}{12}=\frac{3}{4}$
Mit einer Wahrscheinlichkei von $\boldsymbol{\frac{3}{4}}$ würfelt Marius eine Zahl die kleiner als 6 und größer als 8 ist.
b) In dieser Aufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass Marius eine Zahl die durch 4 teilbar oder eine Primzahl ist, würfelt.
Die Zahlen 4,8 und 12 sind durch 4 teilbar, die Zahlen 2,3,5,7 und 11 sind Primzahlen.
Insgesamt treffen also $8$ Zahlen auf das Ereignis zu. Damit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit wie folgt:
$P(B)=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$
Mit einer Wahrscheinlichkei von $\boldsymbol{\frac{2}{3}}$ würfelt Marius eine Zahl die durch 4 teilbar oder eine Primzahl ist.
c) Hier sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass Marius keine 9 würfelt. Verwnede hier wieder das Gegenereignis, also dass Marius eine 9 würfelt.
$P(\text{9 würfeln})=\frac{1}{12}$,
$P(C)=1-P(\text{9 würfeln})=1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}$
Mit einer Wahrscheinlichkei von $\boldsymbol{\frac{11}{12}}$ würfelt Marius keine 9.
d) Hier sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass Marius keine gerade Zahl würfelt. Verwnede hier wieder das Gegenereignis, also dass Marius eine ungerade Zahl würfelt.
$P(\text{ungerade})=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$,
$P(C)=1-P(\text{ungerade})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
Mit einer Wahrscheinlichkei von $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$ würfelt Marius keine gerade Zahl.
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