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Zufallsvariable und Erwartungswert

Spickzettel
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Eine Variable $X$, deren Wert zufällig gebildet wird, nennt man eine Zufallsvariable.
Der Erwartungswert einer Zufallsvariable ist der Durchschnittswert der Ergebnisse.
Sind $x_1, x_2,…, x_n$ die Ergebnisse eines Experiments und
sind $p_1, p_2,…, p_n$ die Wahrscheinlichkeiten für jedes dieser Ergebnisse, dann ist
$E(X)=p_1\cdot x_1 + p_2\cdot x_2 + …. + p_n\cdot x_n$
der Erwartungswert der Zufallsvariable $X$.

Beispiel

Ein Wurf mit einem Würfel ist ein Zufallsexperiment. Die möglichen Ergebnisse beim Würfeln sind $x_1=1$, $x_2=2$, …, $x_6=6$ und die Wahrscheinlichkeiten sind $p_1, p_2,…, p_n=\frac{1}{6}$.%
$\begin{array}{} E(X)&=&\frac{1}{6}\cdot 1 + \frac{1}{6}\cdot 2 + \frac{1}{6}\cdot 3 + \frac{1}{6}\cdot 4 + \frac{1}{6}\cdot 5 + \frac{1}{6}\cdot 6\\ &=& \frac{1}{6} + \frac{2}{6} + \frac{3}{6} + \frac{4}{6} + \frac{5}{6} + \frac{6}{6}=\frac{21}{6}=3,5 \end{array}$
Wenn du sehr oft würfelst und den Durchschnitt der Ergebnisse bildest, dann erhälst du den Wert 3,5.
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Aufgaben
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1.  Welche dieser Aussagen beinhaltet eine Zufallsvariable? Erkläre deine Antwort kurz und gib, falls möglich, die Zufallsvariable an.
a)   Die Dauer der Fahrzeit von Frankfurt nach Berlin mit der Deutschen Bahn beträgt 4 Stunden und 13 Minuten.
b)   Du gewinnst bei Schere, Stein, Papier.
c)   Ein Stein, der fallen gelassen wird, fällt auf den Boden.
d)   Die Lebenszeit einer Fliege beträgt oft nur wenige Tage.
e)   Jedes Lebewesen stirbt irgendwann.
2.  Die Lebensdauer eines Notebooks ist eine Zufallsvariable.
Ein Hersteller hat für seine Produkte diese Liste aufgestellt:
$\begin{array}{C{2.6cm}|C{2.6cm}} \text{Lebensdauer } x \text{ in Monaten} & \text{Wahrscheinlichkeit}\\[5pt] 6 < x \leq 12& 5\% \\\hline 12 < x \leq 16 & 20\% \\\hline 16 < x \leq 20 & 25\% \\\hline 20 < x \leq 24& 35\% \\\hline 24 < x \leq 36& 10\% \\\hline 36 < x & 5\% \end{array}$
a)  Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ein Laptop älter als 24 Monate?
b)  Mit welcher Wahrscheinlichkeit hält ein Laptop zwischen 12 und 24 Monaten?
c)  Berechne den Erwartungswert der Lebensdauer eines Notebooks.
3.  In einem Beutel befinden sich Kugeln mit Nummern darauf. Es sind fünf Kugeln mit der 1, sieben Kugeln mit der 2 und neun Kugeln mit der 3 im Beutel. Das Ziehen einer Kugel ist ein Laplace-Experiment.
a)  Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, direkt hintereinander zwei Zweien ohne zurücklegen zu ziehen?
b)  Berechne den Erwartungswert.
4.  Du wettest mit einem Freund um den Ausgang eines Spiels, dessen Wahrscheinlichkeiten ihr nicht kennt. Das Spiel hat nur zwei Ergebnisse: A und B.
Tritt A ein, dann erhältst du 5 €, tritt B ein, dann musst du 3 € bezahlen.
Wie müssen die Wahrscheinlichkeiten sein, falls du langfristig im Durchschnitt Gewinn machen willst (E(X)>0)?
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Lösungen
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1.  Aussagen überprüfen
a)  Ja, diese Aussage beinhaltet eine Zufallsvariable. Die Zugfahrt dauert nie exakt gleich lange und ist somit zufällig.
b)  Ja, diese Aussage beinhaltet eine Zufallsvariable, weil es zufällig ist ob du gewinnst oder verlierst.
c)  Nein, diese Aussage enthält keine Zufallsvariable, das Experiment hat immer den gleichen Ausgang.
d)  Ja, diese Aussage enthält eine Zufallsvariable, da der Todeszeitpunkt einer Fliege zufällig ist.
e)  Diese Aussage enthält keine Zufallsvariable sondern ist eine Tatsache.
2.   Lebensdauer von Notebooks
a) Wahrscheinlichkeit berechnen:
Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Monate kannst du aus der Tabelle ablesen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Laptop älter als 24 Monate wird beträgt:
$P(24)= 10 \%$
$P(36)= 5 \%$
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit insgesamt:
$P(>22) = P(>24) + P(>36) = 10\,\% +\,5\% = 15\,\%.$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 15% wird ein Laptop älter als 24 Monate.
b) Wahrscheinlichkeit berechnen:
Entnehme die Wahrscheinlichkeiten der Tabelle:
$P(12 \text{ bis } 24) = P(12) + P(16) + P(20) + P(24) = 20\,\% + 25\,\% + 35\,\% + 10\,\% = 90\,\%$
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Laptop zwischen 12 und 24 Monate hält, beträgt 90%.
c) Erwartungswert berechnen:
Berechne den Erwartungswert mit dieser Formel:
$E(X)= p_1\cdot x_1+p_2\cdot x_2+…p_n\cdot x_n$
Schreibe die Wahrscheinlichkeiten als Dezimalzahlen:
$p_1=5\,\%=0,05$
$p_2=20\,\%=0,2$
Setze für $x_1$ bis $x_6$ die Lebensdauer in Monaten und für $p_1$ bis $p_6$ die entsprechende Wahrscheinlichkeit ein.
$E(X)= 0,05\cdot6+0,2\cdot12+0,25\cdot16+0,35\cdot20+0,1\cdot24+0,05\cdot36$
$E(X)= 17,9.$
Für den Laptop wird eine Lebensdauer von mehr als 17,9 Monaten erwartet.
3.   Wahrscheinlichkeit berechnen
a) Wahrscheinlichkeit berechnen:
Insgesamt sind $5+7+9= 21$ Kugeln in dem Beutel.
Die Wahrscheinlichkeit im ersten Zug eine 2 zu ziehen beträgt:
$P(2)=\dfrac{7}{21}=\dfrac{1}{3}$
Im zweiten Zug befinden sich dann insgesamt nur noch $20$ Kugeln und $6$ Kugeln mit einer 2 in der Urne. Berechne die Wahrscheinlichkeit, direkt hintereinander zwei Zweien zu ziehen:
$P(2,2)=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{6}{20}=\dfrac{1}{10}=0,1=10\,\%$
Die Wahrscheinlichkeit, zwei Zweien hintereinander zu ziehen, ist 10%.
b) Erwartungswert berechnen:
Den Erwartungswert errechnest du mit dieser Formel:
$E(X)= p_1\cdot x_1+p_2\cdot x_2+p_3\cdot x_3$
Setze für $x_1$ bis $x_3$ die Nummer der Kugel und für $p_1$ bis $p_3$ die entsprechende Wahrscheinlichkeit ein.
$E(X)= \left(\dfrac{5}{21}\cdot1\right)+\left(\dfrac{7}{21}\cdot2\right)+\left(\dfrac{9}{21}\cdot3\right)$
$E(X)\approx 2,2$
Der Erwartungswert beträgt ca. 2,2.
4.  Wahrscheinlichkeit einer Wette bestimmen
Die Wahrscheinlichkeit für deinen Gewinn bezeichnest du mit p.
Die Gegenwahrscheinlichkeit ist $1 -p.$
Stelle eine Gleichung auf, die die Wahrscheinlichkeiten beinhaltet:
$E(X)>0$
$E(X)= p_1\cdot x_1+p_2\cdot x_2$
$x_1=5\,\text{€}$ $\quad$ $x_2=-3\,\text{€}$
$p_1=p$ $\quad$ $p_2=1-p$
Setze die Werte in die Gleichung ein und löse sie nach p auf.
$\begin{array}[t]{rll} 5p - 3\cdot(1-p)& >&0 \\[5pt] 5p - 3 + 3p &>& 0&\quad \scriptsize \mid\; +3\\[5pt] 8p &>& 3&\quad \scriptsize \mid\;:8 \\[5pt] p&>& \frac{3}{8} \end{array}$
Die Gegenwahrscheinlichkeit beträgt: $(1-p)=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$
Die Wahrscheinlichkeit für Ergebnis $A$ muss $p >\frac{3}{8}$ und die Gegenwahrscheinlichkeit muss $(1-p) < \frac{5}{8}$ sein, um langfristig gesehen Gewinn zu machen.
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