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Zufallsvariable und Erwartungswert

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Eine Variable $X$, deren Wert zufällig gebildet wird, nennt man eine Zufallsvariable.
Der Erwartungswert einer Zufallsvariable ist der Durchschnittswert der Ergebnisse.
Sind $x_1, x_2,…, x_n$ die Ergebnisse eines Experiments und
sind $p_1, p_2,…, p_n$ die Wahrscheinlichkeiten für jedes dieser Ergebnisse, dann ist
$E(X)=p_1\cdot x_1 + p_2\cdot x_2 + …. + p_n\cdot x_n$
der Erwartungswert der Zufallsvariable $X$.

Beispiel

Ein Wurf mit einem Würfel ist ein Zufallsexperiment. Die möglichen Ergebnisse beim Würfeln sind $x_1=1$, $x_2=2$, …, $x_6=6$ und die Wahrscheinlichkeiten sind $p_1, p_2,…, p_n=\frac{1}{6}$.%
$\begin{array}{} E(X)&=&\frac{1}{6}\cdot 1 + \frac{1}{6}\cdot 2 + \frac{1}{6}\cdot 3 + \frac{1}{6}\cdot 4 + \frac{1}{6}\cdot 5 + \frac{1}{6}\cdot 6\\ &=& \frac{1}{6} + \frac{2}{6} + \frac{3}{6} + \frac{4}{6} + \frac{5}{6} + \frac{6}{6}=\frac{21}{6}=3,5 \end{array}$
Wenn du sehr oft würfelst und den Durchschnitt der Ergebnisse bildest, dann erhälst du den Wert 3,5.
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