Inhalt
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Gemeinschaftsschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 9
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geo
Lernbereich
Grundkurs
Erweiterungskurs
Abitur (GTR)
Abitur (CAS)
Realschulabschluss
Werkrealschulabschluss
Hauptschulabschluss
VERA 8 Gymnasium
VERA 8 Realschule
VERA 8 Hauptschule
Abitur (GTR)
Prüfung
wechseln
Abitur (GTR)
Abitur (CAS)
Realschulabschluss
Werkrealschulabschluss
Hauptschulabschluss
VERA 8 Gymnasium
VERA 8 Realschule
VERA 8 Hauptschule
Mach dich schlau mit SchulLV!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Arithmetisches Mittel und Modalwert

Spickzettel
Download als Dokument:PDF
Heutzutage werden unzählige Befragungen, Messungen oder Experimente durchgeführt, um Daten über gewisse Themengebiete zu gewinnen. Um diese anschließend besser zu verstehen und interpretieren zu können, kannst du verschiedene Kennzahlen berechnen. Ausgangspunkt dazu ist zum Beispiel eine Liste mit Werten und der Anzahl der Messungen/Befragungen:
Wert$ x_1 $$ x_2 $$ x_4 $
Anzahl$ 1$$ 2 $$ 4 $
Ausgehend davon kannst du zum Beispiel den Mittelwert, Quartile oder auch Spannnweite und mittlere Abweichung bestimmen. Der Mittelwert $\overline{x}$, auch arithmetisches Mittel genannt, berechnet dabei den Durchschnitt der gegebenen Werte, während du mit Spannweite $SPW$ und mittlerer Abweichung $MAA$ die Streuung der Daten untersuchen kannst.
$\overline{x}=\dfrac{x_1+x_2+…+x_n}{n}$
$SPW=x_{max}-x_{min}$
$MAA$ $=\dfrac{|x_1-\overline{x}|+|x_2-\overline{x}|+…+|x_n-\overline{x}|}{n}$
$\overline{x}=\dfrac{x_1+x_2+…+x_n}{n}$
$SPW=x_{max}-x_{min}$
$MAA$ $=\dfrac{|x_1-\overline{x}|+|x_2-\overline{x}|+…+|x_n-\overline{x}|}{n}$
Um Quartile zu bestimmen, benötigst du eine sortierte Liste. Eine solche beginnt mit $x_1=x_{min}$ und der letzte Wert ist $x_n=x_{max}$. Quartile teilen die Werte einer solchen Liste in zwei Teile auf:
Quartile kannst du wie folgt berechnen:
  • Unteres Quartil: $q_u=x_{0,25\cdot (n+1)}$
  • Oberes Quartil: $q_o=x_{0,75\cdot (n+1)}$
  • Mittleres Quartil (Median): abh. von $n$
    • $n$ ungerade: $q_o=x_{0,5\cdot (n+1)}$
    • $n$ gerade: $q_o=0,5\cdot(x_{0,5\cdot n}+x_{0,5\cdot (n+1)})$
  • Unteres Quartil: $q_u=x_{0,25\cdot (n+1)}$
  • Oberes Quartil: $q_o=x_{0,75\cdot (n+1)}$
  • Mittleres Quartil (Median):
    abh. von $n$
    • $n$ ungerade: $q_o=x_{0,5\cdot (n+1)}$
    • $n$ gerade:
      $q_o$$=0,5\cdot(x_{0,5\cdot n}+x_{0,5\cdot (n+1)})$
Des Weiteren gibt es den so genannten Modalwert. Dies ist der Wert, der am häufigsten vorkommt.

Beispiel

Gegeben sei folgende sortierte Liste, die $14$ Werte enthält:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28
Wir berechnen:
  • $\overline{x}=\dfrac{2+4+…+26+28}{14}=15$
  • $SPW=x_{max}-x_{min}=28-2=26$
  • $q_u=x_{0,25\cdot (14+1)}=x_{3,75}\approx x_{4}=8$
  • $q_o=x_{0,75\cdot (14+1)}=x_{11,25}\approx x_{11}=22$
  • $q_m=0,5\cdot(x_{0,5\cdot14}+x_{0,5\cdot (14+1)})$
    $\;\;\;\;\,\approx 0,5\cdot(x_{7}+x_{8})=0,5\cdot(14+16)$
    $\;\;\;\;\,=15$
  • $\overline{x}$$=\dfrac{2+4+…+26+28}{14}=15$
  • $SPW=x_{max}-x_{min}$$=28-2$$=26$
  • $q_u=x_{0,25\cdot (14+1)}$$=x_{3,75}\approx x_{4}=8$
  • $q_o=x_{0,75\cdot (14+1)}$$=x_{11,25}\approx x_{11}=22$
  • $\begin{array}[ccc] q_m&=&0,5\cdot(x_{0,5\cdot14}+x_{0,5\cdot (14+1)})\\ &\approx& 0,5\cdot(x_{7}+x_{8})\\ &=&0,5\cdot(14+16)\\ &=&15 \end{array}$
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Aufgaben
Download als Dokument:PDF
1.
Bestimme das arithmetische Mittel und den Modalwert von …
a)
diesen Körpergrößen (in m): 1,75, 1,90, 2,03, 1,65, 1,75, 1,80, 1,69, 1,67, 1,75
b)
diesen Noten: 2, 3, 4, 1, 2, 5, 2, 3, 4, 2, 1, 1, 6, 5, 2, 2, 3, 2, 2,
c)
diesen Stundenlöhnen (in € pro h): 7, 8, 5,50, 9, 10, 12, 11, 18, 9, 9,30, 8, 9, 8, 9,20
2.
Ergänze in diesen Häufigkeitstabellen die fehlenden Angaben.
Ein Würfel wurde zehnmal geworfen. Das arithmetische Mittel dieser zehn Würfe ist 3,5.
Dies sind neun der zehn Würfe: 1, 6, 3, 5, 4, 4, 2, 3, 2
Bestimme den fehlenden Wert.
3.
Ein Würfel wurde sechs Mal geworfen. Sowohl der Modal- als auch der Mittelwert ist 4.
Dies hier sind vier der sechs Würfe: 2, 4, 5, 6
Bestimme die zwei fehlenden Werte.
4.
Fünf Freunde vergleichen ihr Taschengeld.
Tim erhält 8€ pro Woche. Sarah bekommt 40€ im Monat. Max bekommt einmal im halben Jahr 240€. Tobias hat pro Monat 50€ und Marina bekommt jede Woche 10€.
Wie viel Geld haben die Freunde durchschnittlich jeden Monat zur Verfügung?
5.
Einer Wetterstation hat in den letzten Tagen diese Temperaturen aufgezeichnet (in $^\circ\,\text{C}$): 11, 12, 13, 11, 13
a)
Wie hoch ist die Durchschnittstemperatur der letzten fünf Tage?
b)
Wie hoch war die Temperatur am sechsten Tag, wenn die Durchschnittstemperatur um $0,5^\circ\,\text{C}$ gestiegen ist?
c)
Gib eine mögliche, realistische Temperatur für den siebten Tag an, damit die Durchschnittstemperatur wieder den Wert aus Teil a annimmt.