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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Digitales Schulbuch
Funktionen und Gleich...
Lineare Gleichungen
Einführung
Einfache lineare Glei...
Gleichungen mit Klamm...
Gleichungen mit Brüch...
Gleichungen mit Brüch...
Gleichungen in Zahlen...
Gleichungen in Sachau...
Quadratische Gleichun...
Einführung
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x<sup>2</sup>+px=0
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Exponentialfunktionen...
Exponentialgleichunge...
Exponentialfunktionen
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Logarithmus
Logarithmusfunktion
Verschiebung und Spie...
Vermischte Aufgaben
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Gradmaß und Bogenmaß
Eigenschaften der Sin...
Eigenschaften der Kos...
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Streckung und Stauchu...
Streckung und Strauch...
Vermischte Aufgaben
Proportionale Zuordnu...
Rechnen mit proportio...
Schaubilder von propo...
Weg-Zeit-Zuordnungen
Abbildungen Im Koordi...
Orthogonale Affinität
Parallelverschiebung
Achsenspiegelung
Drehung
Vermischte Aufgaben
Geometrie in der Eben...
Dreieck
Einführung
Gleichschenkliges Dre...
Gleichseitiges Dreiec...
Allgemeines Dreieck
Sinussatz
Kosinussatz
Vermischte Aufgaben
Rechtwinkliges Dreiec...
Einführung
Satz des Pythagoras
Kathetensatz
Höhensatz
Satz des Thales
Sinus, Kosinus und Ta...
Flächeninhalt und Umf...
Vermischte Aufgaben
Vierecke und Vielecke
Einführung
Quadrat
Rechteck
Parallelogramm
Rhombus und Raute
Trapez
Drachen
Allgemeines Viereck
Regelmäßiges Vieleck
Vermischte Aufgaben
Kreis
Einführung
Flächeninhalt und Umf...
Kreisring
Kreissektor und Kreis...
Kreissegment
Geraden und Winkel am...
Vermischte Aufgaben
Geometrische Konstruk...
Einführung
Mittelsenkrechte
Lotgerade
Senkrechte
Winkelhalbierende
Dreieckskonstruktione...
Zentrische Streckung
Vermischte Aufgaben
Strahlensätze
Geometrie im Raum
Körper
Einführung
Schrägbild
Körpernetz
Zweitafelbild
Prisma
Einführung
Würfel
Quader
Vermischte Aufgaben
Spitze Körper
Kegel
Pyramide
Stümpfe
Kegelstumpf
Pyramidenstumpf
Sonstige Körper
Zylinder
Kugel
Rotationskörper
Zusammengesetzte Körp...
Trigonometrie in Körp...
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Raumdiagonale
Potenzen und Wurzeln
Potenzen
Einführung
Quadratzahlen und Pot...
Rechnen mit Potenzen
Einfache Potenzen
Potenzen mit negative...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen potenzieren
Wissenschaftliche Sch...
Wurzeln
Einführung
Quadratwurzeln und Ku...
Rechnen mit Wurzeln
Wurzeln multipliziere...
Teilweises Wurzelzieh...
Rechnen mit Wurzeln u...
Daten und Zufall
Statistische Grundbeg...
Absolute und relative...
Listen und Häufigkeit...
Arithmetisches Mittel...
Median und Quartile
Spannweite und mittle...
Diagramme
Vermischte Aufgaben
Diagramme
Säulendiagramm
Balkendiagramm
Liniendiagramm
Kreisdiagramm
Streifendiagramm
Boxplot
Vermischte Aufgaben
Kombinatorik
Wahrscheinlichkeitsre...
Einstufige Zufallsexp...
Ergebnis und Ereignis
Gesetz der großen Zah...
Zufallsvariable und E...
Mehrstufige Zufallsex...
Sachrechnen
Zinseszins
Vermischte Aufgaben

Listen und Häufigkeitstabellen

Spickzettel
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Eine Urliste ist eine Sammlung von (unsortierten) Daten.
Aus dieser Urliste erstellst du eine Strichliste.
Danach überträgst du dein Ergebnis und die relativen Häufigkeiten der Daten in eine Häufigkeitstabelle.
Urliste
$\Downarrow$
Strichliste
$\Downarrow$
Häufigkeitstabelle

Beispiel

Eine Wetterstation hat die Temperaturen der letzten Tage aufgezeichnet (in $^{\circ}C$):
Urliste:
$5, 7, 6, 3, 2, 5, 5, 7, 2, 3, 7, 7, 6, 1, 5$
Strichliste:
Häufigkeitstabelle:
Temperatur
1$^{\circ}$C
2$^{\circ}$C
3$^{\circ}$C
5$^{\circ}$C
6$^{\circ}$C
7$^{\circ}$C
Summe
Absolute Häufigkeit
1
2
2
4
2
4
15
Relative Häufigkeit
6,67$\%$
13,33$\%$
13,33$\%$
26,67$\%$
13,33$\%$
26,67$\%$
100$\%$
Temperatur
Absolute Häufigkeit
Relative Häufigkeit
1$^{\circ}$C
1
6,67$\%$
2$^{\circ}$C
2
13,33$\%$
3$^{\circ}$C
2
13,33$\%$
5$^{\circ}$C
4
26,67$\%$
6$^{\circ}$C
2
13,33$\%$
7$^{\circ}$C
4
26,67$\%$
Summe
15
100$\%$
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Aufgaben
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1.
Erstelle für diese Urlisten eine Strichliste.
a)
1, 5, 1, 2, 3, 10, 4, 2, 4, 5, 1, 2, 3, 10, 8, 4, 2
b)
1,75, 1,90, 2,03, 1,65, 1,75, 1,80, 1,69, 1,67, 1,77
c)
K, K, Z, K, Z, Z, Z, K, K, Z, Z, Z, K
d)
A, B, B, C, F, T, F, D, A, C, T, A
2.
Ergänze in diesen Häufigkeitstabellen die fehlenden Angaben.
a)
Note
1
2
3
4
5
6
Summe
Absolute Häufigkeit
1
3
3
2
1
0
Relative Häufigkeit
10$\%$
30$\%$
20$\%$
10$\%$
Note
1
2
Absolute Häufigkeit
1
3
Relative Häufigkeit
10$\%$
b)
Note
1
2
3
4
5
6
Summe
Absolute Häufigkeit
25
Relative Häufigkeit
8$\%$
24$\%$
40$\%$
16$\%$
4$\%$
100$\%$
Note
1
2
Absolute Häufigkeit
Relative Häufigkeit
8$\%$
24$\%$
3.
Die Grafik ist eine Aufzeichnung von mehreren Würfen mit einem Würfel.
Auf der $x$-Achse steht die Augenzahl, die $y$-Achse zeigt, wie oft die entsprechende Augenzahl gewürfelt wurde.
a)
Wie oft wurde der Würfel geworfen?
b)
Bestimme die relativen Häufigkeiten für alle Augenzahlen!
c)
Übertrage deine Ergebnisse in eine Häufigkeitstabelle.
4.
Erstelle aus diesen Urlisten eine Häufigkeitstabelle.
a)
1, 2, 5, 4, 4, 3, 1, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 5, 4, 3, 3, 2, 1, 5
b)
A, B, B, C, F, T, F, D, A, C, T, A
5.
Wirf einen Würfel zehnmal.
a)
Erstelle während des Werfens die Urliste.
b)
Erstelle aus der Urliste eine Strichliste.
c)
Zeichne eine Häufigkeitstabelle, in der du die absoluten und relativen Häufigkeiten für jede Augenzahl angibst.
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Lösungen
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1.
Für die verschiedenen Urlisten erhältst du folgende Strichlisten.
a)
b)
c)
d)
2.
Die zu ergänzenden Angaben sind fettgedruckt.
a)
Fehlende Angaben berechnen
Da alle Werte bei der absoluten Häufigkeit gegeben sind, erhältst du durch die Addition der Häufigkeiten die Gesamtzahl (Summe) der Noten.
Summe $= 1 + 3 + 3+ 2 + 1 + 0 = 10$
Die fehlenden Prozentzahlen (relative Häufigkeiten) kannst du dann ausrechnen, indem du die Häufigkeit der einzelnen Noten durch die Anzahl aller Noten teilst. Dann musst du die Dezimalzahl noch in die Prozent-Schreibweise umrechnen.
Beispiel für 2: $\text{relative Häufigkeit (2)} $$= \frac{3}{10} $ $= 0,3 \mathrel{\widehat{=}}30\%$
Note
1
2
3
4
5
6
Summe
Absolute Häufigkeit
1
3
3
2
1
0
10
Relative Häufigkeit
10$\%$
30$\%$
30$\%$
20$\%$
10$\%$
0$\%$
100$\%$
Note
Absolute
Häufigkeit
Relative
Häufigkeit
1
1
10$\%$
2
3
30$\%$
3
3
30$\%$
4
2
20$\%$
5
1
10$\%$
6
0
0$\%$
Summe
10
100$\%$
b)
Fehlende Angaben berechnen
Hier kannst du zuerst die fehlende Prozentzahl berechnen. Addiere die vorhandenen Prozentzahlen und berechnest dann, wie viel Prozent zu $100\%$ fehlen.
$100\% $ $- (8\% + 24\% + 40\% + 16\% + 4\%) =$ $ 8\%$
Die absoluten Häufigkeiten kannst du mit dem Dreisatz berechnen. Das Beispiel zeigt dir die Berechnung für die Note 1.
$\blacktriangleright$ Möglichkeit 1
$\begin{array}{lccl} \scriptsize :100& 100\% & &\mathrel{\widehat{=}} &25 &\scriptsize :100\\[2pt] \scriptsize \cdot 8& 1\% & &\mathrel{\widehat{=}} &0,25 &\scriptsize \cdot 8\\[2pt] & 8\% & &\mathrel{\widehat{=}} &2 & \end{array}$
$\blacktriangleright$ Möglickeit 2
$\begin{array}{lccl} 100\% & &\mathrel{\widehat{=}} &25 \\[2pt] 8\% & &\mathrel{\widehat{=}} &x \\[2pt] x &=& \dfrac{100\%\cdot25}{8\%}\\[2pt] x &=& 2\% \end{array}$
Trage die berechneten Werte in die Häufigkeitstabelle ein.
Note
1
2
3
4
5
6
Summe
Absolute Häufigkeit
2
6
10
4
2
1
25
Relative Häufigkeit
8$\%$
24$\%$
40$\%$
16$\%$
8$\%$
4$\%$
100$\%$
Note
Absolute
Häufigkeit
Relative
Häufigkeit
1
2
8$\%$
2
6
24$\%$
3
10
40$\%$
4
4
16$\%$
5
2
8$\%$
6
1
4$\%$
Summe
10
100$\%$
3.
a)
Gesamtzahl der Würfe berechnen
Addiere die Häufigkeiten der einzelnen Augenzahlen, um die Gesamtzahl der Würfe zu erhalten.
$3 + 5 + 6 + 4 + 4 + 8 = 30$
b)
Relative Häufigkeiten berechnen
Die relativen Häufigkeiten erhältst du, wenn du die absolute Häufigkeit durch die Gesamtzahl der Würfe teilst.
    $\text{ relative Häufigkeit} (1) = \frac{3}{30} = 0,1 \mathrel{\widehat{=}} 10\%$
$\text{relative Häufigkeit} (2) = \frac{5}{30} \approx 0,167 \mathrel{\widehat{=}} 16,7\%$
$\text{relative Häufigkeit} (3) = \frac{6}{30} = 0,2 \mathrel{\widehat{=}} 20\%$
$\text{relative Häufigkeit} (4) = \frac{4}{30} \approx 0,133 \mathrel{\widehat{=}} 13,3\%$
$\text{relative Häufigkeit} (5) = \frac{4}{30} \approx 0,133 \mathrel{\widehat{=}} 13,3\%$
$\text{relative Häufigkeit} (6) = \frac{8}{30} \approx 0,267 \mathrel{\widehat{=}} 26,7\%$
$\text{relative Häufigkeit} (1) \\= \frac{3}{30} = 0,1 \mathrel{\widehat{=}} 10\%$
$\text{relative Häufigkeit} (2) \\= \frac{5}{30} \approx 0,167 \mathrel{\widehat{=}} 16,7\%$
$\text{relative Häufigkeit} (3) \\= \frac{6}{30} = 0,2 \mathrel{\widehat{=}} 20\%$
$\text{relative Häufigkeit} (4) \\= \frac{4}{30} \approx 0,133 \mathrel{\widehat{=}} 13,3\%$
$\text{relative Häufigkeit} (5) \\= \frac{4}{30} \approx 0,133 \mathrel{\widehat{=}} 13,3\%$
$\text{relative Häufigkeit} (6) \\= \frac{8}{30} \approx 0,267 \mathrel{\widehat{=}} 26,7\%$
c)
Häufigkeitstabelle erstellen
Um die Häufigkeitstabelle erstellen zu können, benötigst du die absoluten Häufigkeiten aus der Grafik und die relativen Häufigkeiten, die du in Teilaufgabe b) berechnet hast.
Erstelle auf der Basis dieser Daten eine solche Tabelle:
Augenzahl
1
2
3
4
5
6
Summe
Absolute Häufigkeit
3
5
6
4
4
8
30
Relative Häufigkeit
10$\%$
16,7$\%$
20$\%$
13,3$\%$
13,3$\%$
26,7$\%$
100$\%$
Augenzahl
Absolute
Häufigkeit
Relative
Häufigkeit
1
3
10$\%$
2
5
16,7$\%$
3
6
20$\%$
4
4
13,3$\%$
5
4
13,3$\%$
6
8
26,7$\%$
Summe
30
100$\%$
4.
a)
Häufigkeitstabelle erstellen
1. Schritt: Fehlende Werte berechnen
Die absoluten Häufigkeiten für die Werte erhältst du durch das Auszählen der Urliste.
Die relativen Häufigkeiten berechnest du, indem du die Häufigkeit einer Zahl durch die Gesamtanzahl (hier 20) teilst.
Beispiel für 1: $\text{relative Häufigkeit (1)} = \frac{6}{20} $ $= 0,3 \mathrel{\widehat{=}}30\%$
Auf diese Weise kannst du alle Werte berechnen.
2. Schritt: Häufigkeitstabelle erstellen
Trage die ausgezählten und berechneten Werte nun in die Häufigkeitstabelle ein:
Wert
1
2
3
4
5
Summe
Absolute Häufigkeit
6
4
3
4
3
20
Relative Häufigkeit
30$\%$
20$\%$
15$\%$
20$\%$
15$\%$
100$\%$
Wert
Absolute
Häufigkeit
Relative
Häufigkeit
1
6
30$\%$
2
4
20$\%$
3
3
15$\%$
4
4
20$\%$
5
3
15$\%$
Summe
20
100$\%$
b)
Häufigkeitstabelle erstellen
Hier kannst du vorgehen, wie in Teilaufgabe a). Du erhältst dann folgende Häufigkeitstabelle:
Wert
A
B
C
D
F
T
Summe
Absolute Häufigkeit
3
2
2
1
2
2
12
Relative Häufigkeit
25$\%$
16,7$\%$
16,7$\%$
8,3$\%$
16,7$\%$
16,7$\%$
≈ 100$\%$
Wert
Absolute
Häufigkeit
Relative
Häufigkeit
A
3
25$\%$
B
2
16,7$\%$
C
2
16,7$\%$
D
1
8,3$\%$
F
2
16,7$\%$
T
2
16,7$\%$
Summe
12
100$\%$
Achtung: Die $ ≈ 100\%$ bei der Summe kommen durch einen Rundungsfehler zustande.
5.
Bei dieser Aufgabe gibt es keine eindeutige Lösung. Die Ergebnisse sind davon abhängig, wie oft du die verschiedenen Augenzahlen gewürfelt hast.
a)
Urliste erstellen
Um eine Urliste zu erstellen, notierst du dir nach jedem Wurf die Augenzahl, die du gewürfelt hast. Eine Liste kann dann zum Beispiel so aussehen:
5, 3, 6, 4, 3, 1, 4, 3, 5, 3
b)
Urliste in Strichliste umwandeln
Mit einer Strichliste kannst du darstellen, wie oft du welche Augenzahl gewürfelt hast. Für die Urliste aus Aufgabe a) sieht die Strichliste so aus:
Um die Richtigkeit deiner Strichliste zu überprüfen kannst du, wenn du fertig bist, alle Striche addieren. Das muss die Gesamtzahl der Würfe (hier waren es 10) ergeben.
c)
Häufigkeitstabelle erstelle
Um die Häufigkeitstabelle erstellen zu können, übernimmst du die absoluten Häufigkeiten aus der Strichliste. Die relativen Häufigkeiten kannst du berechnen, indem du die absolute Häufigkeit durch die Gesamtzahl aller Würfe teilst.
Beispiel Augenzahl 5: $\text{relative Häufigkeit (5)} = \frac{2}{10}$ $ = 0,2 \mathrel{\widehat{=}}20\%$
Augenzahl
1
2
3
4
5
6
Summe
Absolute Häufigkeit
1
0
40
2
2
1
10
Relative Häufigkeit
10$\%$
0$\%$
40$\%$
20$\%$
20$\%$
10$\%$
100$\%$
Augenzahl
Absolute
Häufigkeit
Relative
Häufigkeit
1
1
10$\%$
2
0
40$\%$
3
40
40$\%$
4
2
20$\%$
5
2
20$\%$
6
1
10$\%$
Summe
10
100$\%$
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