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Spannweite und mittlere Abweichung

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Die Spannweite (SPW) und die mittlere absolute Abweichung (MAA) sind zwei Methoden, um Werte einer Liste auf ihre Streuung zu untersuchen.
$\begin{array}{rll} \text{SPW}&& \text{kleiner Wert} \Rightarrow \text{kleine Streuung (hoher Wert kann auch an Außreiser liegen)}\\[5pt] &=& \text{größter Wert}-\text{kleinster Wert}\\[5pt] &=& x_{max}- x_{min} \end{array}$
$\begin{array}{rll} \text{SPW}&&… \end{array}$
$\begin{array}{rll} \text{MAA}&=& \text{durchschnittl. Abweichung jedes Wertes vom arithm. Mittel}\\[5pt] &=& \dfrac{|x_1-\overline{x}|+|x_2-\overline{x}|+…+|x_n-\overline{x}|}{n} \end{array}$
$\begin{array}{rll} \text{MAA}&=… \end{array}$

Beispiel – Noten einer Mathearbeit

Durchschnittsnote $2,6$; $n=20$ Noten
1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4
$\begin{array}{rll} \text{SPW}&=& x_{max}- x_{min}\\[5pt] &=& 4-1\\[5pt] &=& 3 \end{array}$
$\begin{array}{rll} \text{MAA}&=& \dfrac{|1-2,6|+…+|4-2,6|}{20}\\[5pt] &=& \dfrac{|-1,6|+…+|1,4|}{20}\\[5pt] &=& \dfrac{1,6+…+1,4}{20}\\[5pt] &=& \dfrac{16}{20}\\[5pt] &=& 0,8\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{rll} \text{MAA}&=& 0,8\\[5pt] \end{array}$
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Aufgaben
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1.
Bestimme die Spannweite dieser Werte.
a)
1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1
b)
2, 10, 3, 5, 2, 10, 2, 5, 10, 5, 2, 8, 9
c)
8, -10, 23, 13, -4, 23, 32, 4, -12, 33, 3, 9, 20, 11, 12, 33, 12, 10, 33, 9
d)
0,78, 0,45, 0,43, 0,88, 0,32, 0,35, 0,07, 0,69, 0,02
2.
Bestimme die mittlere absolute Abweichung dieser Werte.
a)
7 3 2 3 6 5 1 3 3 5 6
b)
1, -5, -3, 0, 2, 2, -1, 4, -1, 5, -4, 0,13
c)
0,78, 0,97, 0,03, 0,71, 0,58, 0,62, 0,85, 0,37, 0,44, 0,59, 0,89
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Lösungen
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1.
Listen sortieren
a)
Die Formel für die Spannweite ist:
Spannweite SPW $ = x_{max}- x_{min}$
Jetzt setzt du den niedrigsten und höchsten Wert aus der Liste in die Formel ein:
SPW$=1-0$
SPW$=1$
Somit beträgt die Spannweite 1.
b)
Die Formel für die Spannweite ist:
Spannweite SPW $ = x_{max}- x_{min}$
Jetzt setzt du den niedrigsten und höchsten Wert aus der Liste in die Formel ein:
SPW$=10-2$
SPW$=8$
Somit beträgt die Spannweite 8.
c)
Die Formel für die Spannweite ist:
Spannweite SPW $ = x_{max}- x_{min}$
Jetzt setzt du den niedrigsten und höchsten Wert aus der Liste in die Formel ein:
SPW$=33-(-12)$
SPW$=45$
Somit beträgt die Spannweite 45.
d)
Die Formel für die Spannweite ist:
Spannweite SPW $ = x_{max}- x_{min}$
Jetzt setzt du den niedrigsten und höchsten Wert aus der Liste in die Formel ein:
SPW$=0,88-0,02$
SPW$=0,86$
Somit beträgt die Spannweite 0,86.
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