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Vermischte Aufgaben

Boxplot

Spickzettel
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Ein Boxplot zeigt dir auf einen Blick die wichtigsten Werte einer Häufigkeitsverteilung: den kleinsten und größten Wert, die zwei Quartile und den Zentralwert.
Die Extremwerte werden durch Antennen, sogenannte Whisker markiert. Die Werte, die vom oberen und unteren Quartil umfasst werden, zeichnet man in eine Box.
Auf der unteren Achse trägst du die Einheit ab, mit der du arbeitest (z.B. Stunden, €).

Beispiel

Hier siehst du ein Beispiel für einen Boxplot (siehe Aufgabe 2):
Diagramme: Boxplot
Diagramme: Boxplot
Du kannst auf einen Blick erkennen, dass die Werte zwischen $1$ und $10$ liegen. Das untere Quartil liegt bei $3$, das obere bei $7$ und der Zentralwert ist $5$.
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Aufgaben
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1.
Jungen und Mädchen einer 10. Klassenstufe wurden befragt, wie viele Stunden sie etwa durchschnittlich in der Woche mit Computerspielen verbringen.
Dabei ergab sich folgendes Ergebnis:
Stunden 0 2 4 6 8 10 12 14 16
Jungen 0 3 6 7 9 8 3 2 2
Mädchen 3 8 9 9 6 6 4 0 0
Stunden 0 2 4 6 8 10
Jungen 0 3 6 7 9 8
Mädchen 3 8 9 9 6 6
Bestimme für beide Gruppen die Spannweite. Berechne zudem den Mittelwert der Stundenanzahl der Jungen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit geben zwei zufällig ausgesuchte Jungen der Klassenstufe an, mindestens 10 Stunden mit Computerspielen zu verbringen?
2.
Die Schüler einer Schule wurden nach ihrem Leseverhalten (Lesezeit pro Woche) gefragt.
Dabei ergab sich folgendes Ergebnis:
Lesezeit in h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Mädchen 2 10 25 32 21 15 12 10 9 8
Jungen 5 23 33 25 15 9 6 8 6 3
Lesezeit in h 1 2 3 4 5
Mädchen 2 10 25 32 21
Jungen 5 23 33 25 15
Zeichne einen Boxplot für beide Gruppen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit liest von zwei zufällig ausgesuchten Mädchen mindestens eines der beiden 10 Stunden pro Woche?
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Lösungen
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1.
Spannweite bestimmen
Die Spannweite $d$ ist die Spanne zwischen dem höchsten und dem niedrigsten Wert. Dazu werden diese beiden voneinander abgezogen.
  höchster Wert niedrigster Wert Spannweite
Jungen $16$ h $2$ h $14$ h
Mädchen $12$ h $0$ h $12$ h
  höchster Wert niedrigster Wert
Jungen $16$ h $2$ h
Mädchen $12$ h $0$ h
Die Spannweite der Jungen beträgt $14$ Stunden, die der Mädchen $12$ Stunden.
Mittelwert der Jungen berechnen
Der Mittelwert entspricht dem Durchschnitt aller Werte. Dazu werden alle Werte addiert und durch die Anzahl der Werte dividiert.
Hier muss beachtet werden, wie viele Jungen jeweils die einzelnen Antworten gegeben haben.
$\begin{array}{rll} \overline{x}&=\dfrac{2h\cdot 3+4h\cdot 6+6h\cdot 7+8h\cdot 9+10h\cdot 8+12h\cdot 3+14h\cdot 2+16h\cdot 2}{40}\\[5pt] \overline{x}&=\dfrac{6h+24h+42h+72h+80h+36h+28h+32h}{40}\\[5pt] \overline{x}&=\dfrac{320h}{40}=8h \end{array}$
$ \overline{x}=\dfrac{320h}{40}=8\text{h} $
Der Mittelwert der Jungen liegt bei $8$ Stunden, d.h. die Jungen der 10. Klasse spielen durchschnittlich 8 Stunden in der Woche Computer.
Wahrscheinlichkeit ermitteln
Nun sollst du die Wahrscheinlichkeit bestimmen, mit der zwei zufällig ausgesuchte Jungen der Klassenstufe angeben, mindestens 10 Stunden wöchentlich mit Computerspielen zu verbringen.
Mindestens $10$ Stunden bedeutet, dass die möglichen Antworten der Jungen $10,\;12,\;14$ oder $16$ Stunden waren.
$8$ Jungen gaben an, $10$ Stunden in der Woche Computer zu spielen, $3$ Jungen $12$ Stunden, $2$ Jungen $14$ Stunden und nochmal $2$ Jungen $16$ Stunden. In der Summe spielen also $15$ von den $40$ Befragten mindestens 10 Stunden in der Woche Computer.
Das ergibt eine Wahrscheinlichkeit von $P=\dfrac{15}{40}\cdot \dfrac{14}{39}\approx0,135$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $13,5\%$ geben zwei zufällig ausgesuchte Jungen der Klassenstufe an, mindestens $10$ Stunden mit Computerspielen zu verbringen.
2.
Boxplot der Mädchen zeichnen
Insgesamt wurden 144 Mädchen befragt.
Um den Boxplot zeichnen zu können, müssen zuerst die Quartile bestimmt werden.
  unteres Quartil Zentralwert oberes Quartil
$n=144$ $\frac{1}{4}\cdot144=36$ $\frac{1}{2}\cdot144=72$ $\frac{3}{4}\cdot144=108$
Platz $36.$ $72.$ $108.$
Quartile $q_u=3$ $z=5$ $q_o=7$
  unteres Quartil
$n=144$ $\frac{1}{4}\cdot144=36$
Platz $36.$
Quartile $q_u=3$
Quartilsabstand: $7-3=4$
Diagramme: Boxplot
Diagramme: Boxplot
Boxplot der Jungen zeichnen
Insgesamt wurden 133 Mädchen befragt.
Um den Boxplot zeichnen zu können, müssen zuerst die Quartile bestimmt werden.
  unteres Quartil Zentralwert oberes Quartil
$n=133$ $\frac{1}{4}\cdot133=33,25$ $\frac{1}{2}\cdot133=66,5$ $\frac{3}{4}\cdot133=99,75$
Platz $33.$ $67.$ $99.$
Quartile $q_u=3$ $z=4$ $q_o=6$
  unteres Quartil
$n=133$ $\frac{1}{4}\cdot133=33,25$
Platz $33.$
Quartile $q_u=3$
Quartilsabstand: $6-3=3$
Diagramme: Boxplot
Diagramme: Boxplot
Wahrscheinlichkeit ermitteln
Nun sollst du die Wahrscheinlichkeit bestimmen, mit der mindestens eines von zwei zufällig ausgesuchten Mädchen 10 Stunden pro Woche liest.
$8$ von den $144$ befragten Mädchen lesen $10$ Stunden in der Woche.
$\begin{array}[t]{rll} P&=P(<10;10)+P(10;<10)+P(10;10)\\[5pt] P&=\dfrac{136}{144}\cdot\dfrac{8}{143}+\dfrac{8}{144}\cdot\dfrac{136}{143}+\dfrac{8}{144}\cdot\dfrac{7}{143}\\[5pt] P&=\dfrac{68}{1.287}+\dfrac{68}{1.287}+\dfrac{7}{2.574}\\[5pt] P&=\dfrac{31}{286}\approx 0,11 \end{array}$
$ P=\dfrac{31}{286}\approx 0,11 $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $11\%$ liest mindestens ein Mädchen $10$ Stunden die Woche.
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