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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Digitales Schulbuch
Funktionen und Gleich...
Lineare Gleichungen
Einführung
Einfache lineare Glei...
Gleichungen mit Klamm...
Gleichungen mit Brüch...
Gleichungen mit Brüch...
Gleichungen in Zahlen...
Gleichungen in Sachau...
Quadratische Gleichun...
Einführung
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Reinquadratische Glei...
x<sup>2</sup>+px=0
Gleichungen lösen
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Vermischte Aufgaben
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Lineare Funktionen
Einführung
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Funktionsgleichungen ...
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Exponentialfunktionen
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Logarithmusfunktion
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Streckung und Strauch...
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Dreieck
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Gleichschenkliges Dre...
Gleichseitiges Dreiec...
Allgemeines Dreieck
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Kosinussatz
Vermischte Aufgaben
Rechtwinkliges Dreiec...
Einführung
Satz des Pythagoras
Kathetensatz
Höhensatz
Satz des Thales
Sinus, Kosinus und Ta...
Flächeninhalt und Umf...
Vermischte Aufgaben
Vierecke und Vielecke
Einführung
Quadrat
Rechteck
Parallelogramm
Rhombus und Raute
Trapez
Drachen
Allgemeines Viereck
Regelmäßiges Vieleck
Vermischte Aufgaben
Kreis
Einführung
Flächeninhalt und Umf...
Kreisring
Kreissektor und Kreis...
Kreissegment
Geraden und Winkel am...
Vermischte Aufgaben
Geometrische Konstruk...
Einführung
Mittelsenkrechte
Lotgerade
Senkrechte
Winkelhalbierende
Dreieckskonstruktione...
Zentrische Streckung
Vermischte Aufgaben
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Geometrie im Raum
Körper
Einführung
Schrägbild
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Zweitafelbild
Prisma
Einführung
Würfel
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Vermischte Aufgaben
Spitze Körper
Kegel
Pyramide
Stümpfe
Kegelstumpf
Pyramidenstumpf
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Zylinder
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Rotationskörper
Zusammengesetzte Körp...
Trigonometrie in Körp...
Streckenzug
Raumdiagonale
Potenzen und Wurzeln
Potenzen
Einführung
Quadratzahlen und Pot...
Rechnen mit Potenzen
Einfache Potenzen
Potenzen mit negative...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen potenzieren
Wissenschaftliche Sch...
Wurzeln
Einführung
Quadratwurzeln und Ku...
Rechnen mit Wurzeln
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Teilweises Wurzelzieh...
Rechnen mit Wurzeln u...
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Statistische Grundbeg...
Absolute und relative...
Listen und Häufigkeit...
Arithmetisches Mittel...
Median und Quartile
Spannweite und mittle...
Diagramme
Vermischte Aufgaben
Diagramme
Säulendiagramm
Balkendiagramm
Liniendiagramm
Kreisdiagramm
Streifendiagramm
Boxplot
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Ergebnis und Ereignis
Gesetz der großen Zah...
Zufallsvariable und E...
Mehrstufige Zufallsex...
Sachrechnen
Zinseszins
Vermischte Aufgaben

Vermischte Aufgaben

Aufgaben
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1.
Bei der letzten Mathearbeit wurden diese Noten geschrieben:
Note123456
Anzahl3710410
Zeichne
a)
ein Liniendiagramm, an dem du ablesen kannst, welche Note wie oft geschrieben wurde.
b)
ein Kreisdiagramm, an dem du ablesen kannst, welchen Anteil jede Note hat.
2.
Drei Freunde haben 40 Runden Schere, Stein, Papier gespielt und ein Kreisdiagramm für die verschiedenen Figuren erstellt.
Zeichne mit diesen Angaben ein Balkendiagramm, in dem du erkennen kannst, welche Figur wie oft vorkam. Sortiere die Balken aufsteigend nach der Größe: der kürzeste Balken ganz oben.
3.
Das größte Feld ist dreimal so lang wie das kleinste, welches halb so groß ist wie das drittgrößte. Das zweitgrößte hat 75 % der Länge des größten und ist 3 cm lang.
Wie lang sind die einzelnen Felder und welchen prozentualen Anteil haben sie? Zeichne das Streifendiagramm.
Verwende diese Vorlage:
4.
Ein Handballverein möchte mehr über die Altersstruktur seiner Mitglieder erfahren. Dieses Diagramm zeigt die Altersverteilung des Verein:
a)
Wie viele sind höchstens 30 Jahre alt?
b)
Stelle die Altersstruktur in einem Streifendiagramm mit der Länge 10 cm dar.
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Lösungen
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1.
a)
Liniendiagramm erstellen
Zeichne mit den Werten aus der Tabelle ein Liniendiagramm über die Häufigkeit jeder Note.
b)
Kreisdiagramm erstellen
1. Schritt: Die Anzahl aller geschriebenen Noten addieren
$3+7+10+4+1+0=25$
Insgesamt wurden 25 Noten geschrieben.
2. Schritt: Die prozentualen Anteile jeder Note berechnen
Du kannst mit dem Dreisatz rechnen.
Es gilt: 25 Noten $\;\mathrel{\widehat{=}}\;100\,\%$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Note 2
$\begin{array}{rcl} 25& \mathrel{\widehat{=}} &100\,\%\\[2pt] 7&\mathrel{\widehat{=}}&x\\[5pt] \hline x&=&\dfrac{100\,\%\cdot 7}{25}\\[2pt] x&=&28\,\% \end{array}$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Note 4
$\begin{array}{rcl} 25& \mathrel{\widehat{=}} &100\,\%\\[2pt] 4&\mathrel{\widehat{=}}&x\\[5pt] \hline x&=&\dfrac{100\,\%\cdot 4}{25}\\[2pt] x&=&16\,\% \end{array}$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Note 6
$\begin{array}{rcl} 25& \mathrel{\widehat{=}} &100\,\%\\[2pt] 0&\mathrel{\widehat{=}}&x\\[5pt] \hline x&=&\dfrac{100\,\%\cdot 0}{25}\\[2pt] x&=&0\,\% \end{array}$
3. Schritt: Die Gradzahlen des Kreisdiagramms berechnen
Rechne mit dem Dreisatz.
Die Winkeslsumme im Kreis beträgt 360°.
Es gilt: $360°\;\mathrel{\widehat{=}}\;100\,\%$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Note 2
$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}} & 360° \\[2pt] 28\,\% & \mathrel{\widehat{=}} & x \\[5pt] \hline x & = & \dfrac{360 \cdot 28\,\%}{100\,\%} \\[2pt] x & = & 100,8° \end{array}$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Note 4
$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}} & 360° \\[2pt] 16\,\% & \mathrel{\widehat{=}} & x \\[5pt] \hline x & = & \dfrac{360 \cdot 16\,\%}{100\,\%} \\[2pt] x & = & 57,6° \end{array}$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Note 6
$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}} & 360° \\[2pt] 0\,\% & \mathrel{\widehat{=}} & x \\[5pt] \hline x & = & \dfrac{360 \cdot 0\,\%}{100\,\%} \\[2pt] x & = & 0° \end{array}$
4. Schritt: Aus den errechneten Gradzahlen ein Kreisdiagramm erstellen
2.
Balkendiagramm erstellen
1. Schritt:Die Winkel der Kreisauschnitte bestimmen
$\blacktriangleright\blacktriangleright$  Lösungsweg A
Du kannst die Winkel mit dem Geodreieck abmessen.
Wenn du richtig gemessen hast, kommst du zu folgendem Ergebnis:
FigurWinkel
Schere$45°$
Stein$135°$
Papier$180°$
$\blacktriangleright\blacktriangleright$  Lösungsweg B
Du kannst die Winkel berechnen.
Der Kreisausschnitt „Papier“ ist ein Halbkreis und hat somit eine Größe von $\frac{360°}{2}=\boldsymbol{180°}$.
Wenn du im Kreisausschnitt „Stein“ eine Hilfslinie einzeichnest (siehe Skizze), erkennst du sehr schnell, dass der Kreisausschnitt „Schere“ ein Achtelkreis ist und somit einen Winkel von $\frac{360}{8}=\boldsymbol{45°}$ hat.
Den letzten Kreisausschnitt „Stein“ kannst du über die Winkelsumme im Kreis berechnen:  $360°-180°-45°=\boldsymbol{135°}$
2. Schritt: Die Häufigkeit jeder Figur berechnen
Drei Freunde spielen 40 Runden. In 40 Spielrunden werden $40\cdot3=120$ Figuren ausgespielt.
Somit gilt: $360°\;\mathrel{\widehat{=}}\;120$ Figuren.
Du kannst mit dem Dreisatz rechnen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Schere
$\begin{array}{rrcll} \scriptsize:360\;\mid& 360°&=&120\,\%&\scriptsize\mid\;:360\\[3pt] \scriptsize\cdot45\;\mid&1&=&0,\overline{3}\,\%&\scriptsize\mid\;\cdot45\\[3pt] &45&=&15\,\%& \end{array}$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Stein
$\begin{array}{rrcll} \scriptsize:360\;\mid& 360°&=&120\,\%&\scriptsize\mid\;:360\\[3pt] \scriptsize\cdot135\;\mid&1&=&0,\overline{3}\,\%&\scriptsize\mid\;\cdot135\\[3pt] &135&=&45\,\%& \end{array}$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Papier
$\begin{array}{rrcll} \scriptsize:360\;\mid& 360°&=&120\,\%&\scriptsize\mid\;:360\\[3pt] \scriptsize\cdot180\;\mid&1&=&0,\overline{3}\,\%&\scriptsize\mid\;\cdot180\\[3pt] &180&=&60\,\%& \end{array}$
3. Schritt: Aus den errechneten Werten ein Balkendiagramm erstellen
Sortiere die Balken aufsteigend ihrer Größe nach. Beginne oben mit dem kürzesten Balken.
3.
Streifendiagramm ergänzen
1. Schritt: Die Längen der einzelnen Felder berechnen
Definiere die Länge des kleinsten Felds als $x$. Aus der Aufgabenstellung geht hervor, dass das größte Feld 3 mal so lang ist wie das kleinste.
Also gilt: Größtes Feld $=3\cdot x$
Ebenso bekannt ist, dass das kleinste Feld halb so lang ist wie das drittgrößte Feld.
Also gilt: Drittgrößtes Feld $=2\cdot x$
Das zweitgrößte Feld hat 75 % der Länge des größten Felds und ist 3 cm lang.
Berechne mit dem Dreisatz die Länge des größten Felds.
$\scriptsize:75\;\mid$$75\,\%$$\mathrel{\widehat{=}}$$3\,\text{cm}$$\scriptsize\mid\;:75$
$\scriptsize\cdot100\;\mid$$1\,\%$$\mathrel{\widehat{=}}$$0,04\,\text{cm}$$\scriptsize\mid\;\cdot100$
$100\,\%$$\mathrel{\widehat{=}}$$4\,\text{cm}$
Berechnung der Länge des kleinsten Felds:
$\begin{array}{rll} 3x&=&4\,\text{cm}&\qquad\scriptsize{\mid\;:3}\\ x&=&1,\overline{3}\,\text{cm}\\ x&\approx& 1,33\,\text{cm} \end{array}$
Berechnung der Länge des drittgrößten Felds:
$\begin{array}{rll} l&=&2\cdot x&\qquad\scriptsize{\text{Wert für}\;x\;\text{einsetzen}}\\ l&=&2\cdot 1,\overline{3}\,\text{cm}\\ l&=&2,\overline{6}\,\text{cm}\\ l&\approx &2,67\,\text{cm} \end{array}$
$\begin{array}{rll} l&\approx &2,67\,\text{cm} \end{array}$
Längen auf einen Blick:
FeldLänge
kleinstes$1,33\,\text{cm}$
drittgrößtes$2,67\,\text{cm}$
zweitgrößtes$3\,\text{cm}$
größtes$4\,\text{cm}$
2. Schritt: Die prozentualen Anteile der einzelnen Felder berechnen
Ermittle zuerst die Länge des Streifendiagramms indem du sie Längen aller Felder addierst.
$1,33\,\text{cm}+2,67\,\text{cm}+3\,\text{cm}+4\,\text{cm}$$=11\,\text{cm}$
Du kannst nun die prozentualen Anteile mit dem Dreisatz berechnen.
Es gilt: $11\,\text{cm}\;\mathrel{\widehat{=}}\;100\,\%$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Drittgrößtes Feld
$\scriptsize:11\;\mid$$11\,\text{cm}$$\mathrel{\widehat{=}}$$100\,\%$$\scriptsize\mid\;:11$
$\scriptsize\cdot2,66\;\mid$$1\,\text{cm}$$\mathrel{\widehat{=}}$$9,\overline{09}\,\%$$\scriptsize\mid\;\cdot2,66$
$2,\overline{6}\,\text{cm}$$\mathrel{\widehat{=}}$$24,\overline{24}\,\%$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Größtes Feld
$\scriptsize:11\;\mid$$11\,\text{cm}$$\mathrel{\widehat{=}}$$100\,\%$$\scriptsize\mid\;:11$
$\scriptsize\cdot4\;\mid$$1\,\text{cm}$$\mathrel{\widehat{=}}$$9,\overline{09}\,\%$$\scriptsize\mid\;\cdot4$
$4\,\text{cm}$$\mathrel{\widehat{=}}$$36,\overline{36}\,\%$
3. Schritt: Das Streifendiagramm mit den errechneten Längen der Felder ergänzen
4.
a)
Daten aus Diagramm ablesen
Aus dem Diagramm geht hervor, dass es in der jeweiligen Altersgruppe gibt:
  • 25 - 30 Jahre: 25 Mitglieder
  • 20 - 25 Jahre: 30 Mitglieder
  • 16 - 20 Jahre: 40 Mitglieder
  • 12 - 16 Jahre: 20 Mitglieder
  • bis 12 Jahre: 10 Mitglieder
Zähle nun die Mitglieder dieser fünf Altersgruppen zusammen.
$25+30+40+20+10=125$
In diesem Handballverein spielen 125 Spieler, die nicht älter als 30 Jahre sind.
b)
Streifendiagramm erstellen
1. Schritt: Die Gesamtzahl der Mitglieder berechnen
$10+20+40+30+25+15+10$$=150$
In diesem Handballverein gibt es insgesamt 150 Mitglieder.
2. Schritt: Die Länge der einzelnen Felder des Streifendiagramms berechnen
Das Streifendiagramm soll eine Länge von 10 cm haben.
Es gilt: $10\,\text{cm}\;\mathrel{\widehat{=}}\;150$ Mitglieder
Du kannst mit dem Dreisatz rechnen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  12 - 16 Jahre
$\begin{array}{rcl} 150& \mathrel{\widehat{=}} &10\,\text{cm}\\[2pt] 20&\mathrel{\widehat{=}}&x\\[5pt] \hline x&=&\dfrac{10\,\text{cm}\cdot 20}{150}\\[2pt] x&\approx&1,33\,\text{cm} \end{array}$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  20 - 25 Jahre
$\begin{array}{rcl} 150& \mathrel{\widehat{=}} &10\,\text{cm}\\[2pt] 30&\mathrel{\widehat{=}}&x\\[5pt] \hline x&=&\dfrac{10\,\text{cm}\cdot 30}{150}\\[2pt] x&=&2\,\text{cm} \end{array}$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  30 - 40 Jahre
$\begin{array}{rcl} 150& \mathrel{\widehat{=}} &10\,\text{cm}\\[2pt] 15&\mathrel{\widehat{=}}&x\\[5pt] \hline x&=&\dfrac{10\,\text{cm}\cdot 15}{150}\\[2pt] x&=&1\,\text{cm} \end{array}$
3. Schritt: Aus den errechneten Längen ein Streifendiagramm zeichnen
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