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Ergebnis und Ereignis

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Ergebnis
Ausgang eines Zufallsexperiments.
Ein Element aus der Ergebnismenge, d. h. ein mögliches Ergebnis (z. B. eine 2 ) würfeln.
Ergebnis
Ausgang eines Zufallsexperiments.
Ein Element aus der Ergebnismenge, d. h. ein mögliches Ergebnis (z. B. eine 2 ) würfeln.
Ereignis $E$
Eine Teilmenge der Ergebnismenge besteht aus Ergebnissen, die bestimmte Eigenschaften erfüllen (sprachlich formuliert: z. B. eine gerade Zahl würfeln; in Mengenschreibweise: $E = \{2;\;4;\;6\}$).
Ereignis $E$
Eine Teilmenge der Ergebnismenge besteht aus Ergebnissen, die bestimmte Eigenschaften erfüllen (sprachlich formuliert: z. B. eine gerade Zahl würfeln; in Mengenschreibweise: $E = \{2;\;4;\;6\}$).
Ergebnismenge $\Omega$
Enthält alle möglichen Ergebnisse, die bei einem Zufallsexperiment herauskommen können.
Ergebnismenge $\Omega$
Enthält alle möglichen Ergebnisse, die bei einem Zufallsexperiment herauskommen können.
Gegenereignis $\overline{E}$
Eine Menge mit allen Ergebnissen, die $E$ nicht enthält
(z. B. keine gerade Zahl würfeln; $\overline{E} = \{1;\;3;\;5\}$).
Gegenereignis $\overline{E}$
Eine Menge mit allen Ergebnissen, die $E$ nicht enthält
(z. B. keine gerade Zahl würfeln; $\overline{E} = \{1;\;3;\;5\}$).

Beispiel

Quelle: www.fotolia.com - Albachiaraa
Du würfelst mit einem normalen Spielwürfel. Du kannst eine 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 würfeln,
d.h Augenzahlen zwischen 1 und 6 sind möglich. Ergebnismenge $\mathbf{\Omega}$ = $\left\{1;\;2;\;3;\;4;\;5;\;6\right\}.$
Du sollst aber eine Zahl würfeln, die durch 3 teilbar ist.
Ereignis: „Die gewürfelte Zahl ist durch 3 teilbar.“ $\textbf{E} = \{3;\;6\}$. D. h. dieses Ereignis tritt ein, wenn du eine 3 oder eine 6 würfelst.
Gegenereignis: „Augenzahl ist nicht nur 3 teilbar.“
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Aufgaben
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1.
Quelle: www.fotolia.com - Sabine Bochmann
Fußball WM 2010 in Südafrika - Viertelfinale: Um zu entscheiden, ob Deutschland oder Argentinien anspielt, wirft der Schiedsrichter eine 1€-Münze.
Beim Wurf der Zahl 1 beginnt Deutschland.
Gib zuerst die Ergebnismenge $\mathbf{\Omega}$ an und bestimme anschließend die
Menge für das Ereignis $E$: „Der Schiedsrichter wirft eine Zahl“.
2.  Finde zu folgenden Ergebnismengen geeignete Zufallsexperimente.
a)  $\mathbf{\Omega} = \left\{\right.$Hauptgewinn; Gewinn; Niete; Trostpreis$\left.\right\}$
b)  $\mathbf{\Omega} = \left\{\right.$Zahl; Bube; Dame; König; Ass$\left.\right\}$
c)  $\mathbf{\Omega} = \left\{\text{männlich};\;\text{weiblich}\right\}$
d)  $\mathbf{\Omega} = \left\{1;\;2;\;3;\;4;\;5;\;6\right\}$
e)  $\mathbf{\Omega} = \left\{\text{rot};\;\text{grün};\;\text{orange};\;\text{gelb}\right\}$
3.  Du wirfst einen Spielwürfel. Folgende Ereignisse $E$ sind als Mengen angegeben. Formuliere je eine Regel (Bedingung), für welche die Ereignismengen passen.
Quelle: www.fotolia.com - pmphoto
a)  $E = \left\{1;\;2;\;3;\;4;\;5;\;6\right\}$
b)  $E = \left\{1;\;3;\;5\right\}$
c)  $E = \left\{2;\;4;\;6\right\}$
d)  $E = \left\{3;\;6\right\}$
4.  Bei einem Würfel sind die Seiten mit den Zahlen 1 und 6 blau, 2 und 5 rot und 3 und 4 gelb gefärbt. Gib folgenden Ereignisse als Mengen an.
Tipp: Du musst dir überlegen, welche Augenzahlen zu den Ereignissen passen.
a)  Die gewürfelte Zahl ist rot und gerade.
b)  Die gewürfelte Zahl ist gelb.
c)  Die gewürfelte Zahl ist grün und gerade.
d)  Die gewürfelte Zahl ist kleiner als 7 und blau.
e)  Die gewürfelte Zahl ist kleiner als 5 und gelb oder rot.
5.  Es ist eine Tombola auf eurem Schulfest: Wer ein Los kauft zieht entweder einen Gewinn $(G)$, einen Kleingewinn $(K)$ oder eine Niete $(N)$.
a)  Bestimme die Ergebnismenge $\mathbf{\Omega}$.
b)  Gib für ein Ereignis deiner Wahl die passende Menge der Ergebnisse an.
6.
Quelle: www.wikipedia.de - Pumbaa80
Du bietest deinem Freund ein Gummibärchen an.
Da ihm die Farbe des Bärchens egal ist, greift er ohne hinzusehen in das Päckchen.
Bestimme die Ergebnismenge $\mathbf{\Omega}$
7.  Tina streitet mit ihrer Familie um die Fernbedienung.
Sie will unbedingt die Talentshow $(T)$ sehen, die heute Abend alle aus ihrer Klasse anschauen.
Ihre Schwester möchte ihre Serie $(S)$ nicht verpassen.
Gleichzeitig kommt ein Fußballspiel $(F)$ der Lieblingsmannschaft ihres Vaters.
Lisas Mutter hat hingegen Lust auf eine Kochsendung $(K)$.
Damit alle die gleiche Chance auf ihr Lieblingsprogramm haben, entscheidet die Familie per Los.
Bestimme die Ergebnismenge $\mathbf{\Omega}$, bevor du folgende Ereignisse in Mengenschreibweise angibst.
a)  Lisa muss auf die Talentshow verzichten.
b)  Lisas Schwester hat gewonnen.
c)  Lisas Eltern haben beide verloren.
d)  Die Mutter kocht morgen das Essen aus der Kochsendung.
8.
In nebenstehendem Gefäß befinden sich Kugeln verschiedener Farben, die jeweils mit einer Ziffer gekennzeichnet sind.
Beschreibe hierzu ein einstufiges Zufallsexperiment und gib mindestens drei verschiedene Ereignisse an. Verwende dabei die Begriffe Ergebnismenge $\mathbf{\Omega}$ und Ereignis $E$.
In obenstehendem Gefäß befinden sich Kugeln verschiedener Farben, die jeweils mit einer Ziffer gekennzeichnet sind.
Beschreibe hierzu ein einstufiges Zufallsexperiment und gib mindestens drei verschiedene Ereignisse an. Verwende dabei die Begriffe Ergebnismenge $\mathbf{\Omega}$ und Ereignis $E$.
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Lösungen
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1.  $\blacktriangleright$Ergebnismenge bestimmen
Beim Wurf einer Münze gibt es zwei mögliche Ergebnisse, die mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten können: „Wurf zeigt Zahl“ $(Z)$ und „Wurf zeigt Kopf“ $(K)$.
Die Ergebnismenge ist $\Omega= \{Z;\,K\}$.
$\blacktriangleright$Menge für Ereignis bestimmen
Das Ereignis ist: „Der Schiedsrichter wirft eine Zahl“. Dieses tritt ein, wenn die Zahl $(Z)$ der Münze oben liegt.
Ereignis $E= \{Z\}$.
2.  Die Lösungen hier sind nur Vorschläge! Es gibt bestimmt noch andere Zufallsexperimente, die möglich wären.
a) 
$\mathbf{\Omega} = \left\{\text{Hauptgewinn};\;\text{Gewinn};\;\text{Niete};\;\text{Trostpreis}\right\}$
$\Omega$ = {$\text{Hauptgewinn}$;
$\text{Gewinn}$;
$\text{Niete}$;
$\text{Trostpreis}$}
$\blacktriangleright$mögliche Zufallsexperimente
  • An einem Glücksrad drehen.
  • Ein Los ziehen.
b) 
$\mathbf{\Omega} = \left\{\text{Zahl};\;\text{Bube};\;\text{Dame};\;\text{König};\;\text{Ass}\right\}$
$\Omega$ = {$\text{Zahl}$;
$\text{Bube}$;
$\text{Dame}$;
$\text{König}$;
$\text{Ass}$}
$\blacktriangleright$mögliche Zufallsexperimente
  • Bei einem Kartenspiel musst du eine Karte ziehen. Der Zufall entscheidet über den Wert der Karte.
  • Bei einer Wahrsagerin musst du eine Karte ziehen. Die gezogene Karte hängt auch hier vom Zufall ab.
c) $\mathbf{\Omega} = \left\{\text{männlich};\;\text{weiblich}\right\}$
$\blacktriangleright$mögliche Zufallsexperimente
  • Die Geburt eines Kindes kann als Zufallsexperiment aufgefasst werden. Die Eltern haben keinen Einfluss auf das Geschlecht des Kindes. Der Zufall entscheidet, ob das Geschlecht des Kindes männlich oder weiblich ist.
  • Um eine Person deiner Klasse für eine bestimmte Aufgabe auszuwählen, schreibt jeder seinen Namen auf einen Zettel. Anschließend kommen diese in ein Gefäß. Ein Zettel wird gezogen. Das Geschlecht der gezogenen Person hängt auch hier vom Zufall ab
d)  $\mathbf{\Omega} = \left\{1;\;2;\;3;\;4;\;5;\;6\right\}$
$\blacktriangleright$mögliche Zufallsexperimente
  • Du würfelst mit einem normalen Spielwürfel. Die Augenzahl ist abhängig vom Zufall. Hierbei handelt es sich sogar um ein Laplace-Experiment, da alle Augenzahlen mit gleicher Wahrscheinlichkeit oben liegen können.
  • In einem Gefäß befinden sich Plättchen/Kugeln, die mit Zahlen gekennzeichnet sind. Du greifst mit verbundenen Augen hinein und nimmst dir eines der Plättchen. Der Wert des Plättchens ist zufällig.
e)  $\mathbf{\Omega} = \left\{\text{rot};\;\text{grün};\;\text{orange};\;\text{gelb}\right\}$
$\blacktriangleright$mögliche Zufallsexperimente
  • In einem Gefäß sind Kugeln in den Farben rot, grün, orange und gelb. Mit verbundenen Augen nimmst du eine Kugel heraus. Der Zufall entscheidet über die Farbe der Kugel.
  • Die Felder eines Glücksrads sind mit den Farben rot, grün, orange und gelb gekennzeichnet. Du drehst an dem Rad. Auf welchem Feld das Rad stehen bleibt hängt vom Zufall ab.
  • Eine Packung mit Süßigkeiten enthält Fruchtgummis in den Farben rot, grün, orange und gelb. Du nimmst blind einen Fruchtgummi aus der Packung heraus. Die Farbe der Süßigkeit hängt vom Zufall ab.
3. 
a)  $E = \left\{1;\;2;\;3;\;4;\;5;\;6\right\}$
Ereignis: „Eine Zahl zwischen 1 und 6 würfeln.“
b)  $E = \left\{1;\;3;\;5\right\}$
Ereignis: „Eine ungerade Zahl würfeln.“
c)  $E = \left\{2;\;4;\;6\right\}$
Ereignis: „Eine gerade Zahl würfeln.“
d)  $E = \left\{3;\;6\right\}$
Ereignis: „Eine durch 3 teilbare Zahl würfeln.“
e)  $E = \left\{\;\right\}$
Hier musst du ein Ereignis angeben, welches nicht möglich ist, sodass die Menge leer ist.
Unmögliche Ereignisse wären z.B.:
  • Ereignis: „Eine Zahl größer als 6 würfeln.“
  • Ereignis:„Eine 9 würfeln.“
  • Ereignis:„Eine Zahl würfeln, die durch 3 und 4 teilbar ist.“
4.
a)  Die gewürfelte Zahl ist rot und gerade.
$E = \left\{2\right\}$
b)  Die gewürfelte Zahl ist gelb.
$E = \left\{3;\;4\right\}$
c)  Die gewürfelte Zahl ist grün und gerade.
$E = \left\{\;\right\}$
Die Menge ist leer, weil du keine Zahl würfeln kannst, die grün und gerade ist. Keine Seite des Würfels ist grün gefärbt.
d)  Die gewürfelte Zahl ist kleiner als 7 und blau
$E = \left\{1;\;6\right\}$
e)  Die gewürfelte Zahl ist kleiner als 5 und gelb oder rot.
$E = \left\{2;\;3;\;4\right\}$
5.
a)  Ergebnismenge $\mathbf{\Omega} = \left\{G;\;K;\;N\right\}$
b)  Hier sind mehrere Ereignisse möglich:
  • Ereignis: „Einen Gewinn ziehen.“ $E = \left\{G\right\}$
  • Ereignis: „Einen Kleingewinn ziehen.“ $E = \left\{K\right\}$
  • Ereignis: „Eine Niete ziehen.“ $E = \left\{N\right\}$
6.  Du kannst hier die Farben frei wählen oder du beziehst dich auf die Gummibärchen der Abbildung.
Eine mögliche Ergebnismenge wäre:
$\mathbf{\Omega} = \left\{\text{dunkelrot};\;\text{hellrot};\;\text{grün};\;\text{orange};\;\text{gelb}\text{weiß}\right\}$.
$\Omega$ = {$\text{dunkelrot}$;
$\text{hellrot}$;
$\text{grün}$;
$\text{orange}$;
$\text{gelbweiß}$}
7.  Die Ergebnismenge ist $\mathbf{\Omega} = \left\{T;\;S;\;F;\;K\right\}.$
a)  Lisa muss auf die Talentshow verzichten. Das bedeutet die Familie sieht sich eine der drei anderen Sendungen an.
Ereignis: $E = \left\{S;\;F;\;K\right\}$
b)  Lisas Schwester hat gewonnen. Das bedeutet die Familie sieht sich die Serie an.
Ereignis: $E = \left\{S\right\}$
c)  Lisas Eltern haben beide verloren. Das bedeutet die Familie sieht sich entweder die Talentshow oder die Serie an.
Ereignis: $E = \left\{S;\;T\right\}$
d)  Die Mutter kocht morgen das Essen aus der Kochsendung. Das bedeutet die Familie sieht sich die Kochsendung an.
Ereignis: $E = \left\{K\right\}$
8.  $\blacktriangleright$ Zufallsexperimente bestimmen
Du greifst mit verbundenen Augen in das Gefäß und nimmst eine Kugel heraus. Die Farbe der Kugel und die darauf abgebildete Zahl hängen vom Zufall ab.
$\blacktriangleright$ Ergebnismenge bestimmen
Hier geben wir alle Kugeln in Form von Ziffern an.
Ergebnismenge $E = \left\{2;\;2;\;3;\;3;\;4;\;7;\;8;\;9;\;9;\;9\right\}$
$\blacktriangleright$ Beispiele für mögliche Ereignisse
  • Ereignis: „Eine Kugel mit einer 9 erhalten.“
  • $E = \left\{9;\;9;\;9\right\}$
  • Ereignis: „Eine grüne Kugel mit einer geraden Zahl erhalten.“
  • $E = \left\{2;\;4\right\}$
  • Ereignis: „Eine gelbe Kugel erhalten.“
  • $E = \left\{3;\;8;\;9\right\}$
  • Ereignis: „Eine rote Kugel erhalten.“
  • $E = \left\{2;\;9\right\}$
  • Ereignis„Eine grüne Kugel erhalten.“
  • Ereignis $E = \left\{2;\;3;\;4;\;7;\;9\right\}$
  • Ereignis: „Eine Kugel mit einer ungeraden Zahl erhalten.“
  • $E = \left\{3;\;3;\;9;\;9;\;9;\;7\right\}$
Du hast bestimmt noch andere Ereignisse gefunden! Hier handelt es sich nur um Beispiele.
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