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Gesetz der großen Zahlen

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Die realtive Häufigkeit gibt das Verhältnis an, wie oft ein Ereignis (absolute Häufigkeit) bei einer bestimmten Anzahl von Versuchen eingetreten ist.
Das Gesetz der großen Zahlen trifft eine Aussage über die relativen Häufigkeiten eines Zufallsexperiments.
Es besagt, dass sich die relativen Häufigkeiten bei einer großen Anzahl an Wiederholungen an die theoretischen Wahrscheinlichkeiten des Experiments annähern. Die Annäherung ist allerdings nicht immer vorhanden. Es kommt vor, dass die Differenz zwischen relativer Häufigkeit und theoretischer Häufigkeit wächst. Generell gilt allerdings, je häufiger das Experiment durchgeführt wird, desto höher ist die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit mit der theoretischen Häufigkeit übereinstimmt.

Beispiel

Bei einem Münzwurf ist die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl zu erhalten $50\%.$
Dies ist aber nur eine Wahrscheinlichkeit, es kann auch 10 mal hintereinander ein Kopf kommen (rel. Häufg. der Zahl = $0\%$).
Das Gesetz der großen Zahlen sagt nun, dass sich die relative Häufigkeit für viele Wiederholungen an die wahre Wahrscheinlichkeit, eine Zahl zu erhalten, annähert.
Dies ist aber nur eine Wahrscheinlichkeit, es kann auch 10 mal hintereinander ein Kopf kommen (rel. Häufg. der Zahl = $0\%$).
Das Gesetz der großen Zahlen sagt nun, dass sich die relative Häufigkeit für viele Wiederholungen an die wahre Wahrscheinlichkeit, eine Zahl zu erhalten, annähert.
Daten und Zufall: Gesetz der großen Zahlen
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Aufgaben
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1.   Wirf eine Münze 50 mal und schreibe auf, wie oft ein Kopf vorgekommen ist.
Berechne die relative Häufigkeit des Kopfes nach 50 Würfen. Um wie viel Prozent weicht dein Wert von der wahren Wahrscheinlichkeit ab?
2.  Eine Münze wurde 15-mal geworfen und dabei entstand diese Liste:
(K = Kopf, Z = Zahl)
$ K, K, Z, K, Z, Z, Z, K, Z, K, K, Z, K, Z, K$
$ K, K, Z, K, Z, Z, Z, K, Z, K, K, Z, K, Z, K$
Berechne die relative Häufigkeit des Kopfes nach jedem Wurf und zeichne ein:
Daten und Zufall: Gesetz der großen Zahlen
Daten und Zufall: Gesetz der großen Zahlen
3.  Wirf eine Münze zehnmal und schreibe das Ergebnis der einzelnen Würfe auf.
Erstelle ein Liniendiagramm, dass die relative Häufigkeit der Zahl nach jedem Wurf zeigt.
4.  Ein Würfel wurde 1.000.000 mal geworfen und das Ergebnis ausgewertet. Dabei kam heraus, dass 30% der gewürfelten Zahlen eine 6 waren.
Ist dies ein fairer Würfel? Begründe deine Antwort!
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Lösungen
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1.  Abweichung von relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit berechnen
1. Schritt: Münze werfen
Wirf 50 mal die Münze und notiere dir, wie oft Kopf geworfen wurde.
Das bedeutet die Anzahl der Werte ist 50.
Angenommen, du hast 28 mal Kopf geworfen, dann ist absolute Häufigkeit 28.
2. Schritt: Relative Häufigkeit berechnen
Jetzt errechnest du die relative Häufigkeit für diesen Wert
relative Häufigkeit= $\dfrac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Anzahl der Werte}}$
relative Häufigkeit= $\frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Anzahl der Werte}}$
relative Häufigkeit= $\dfrac{28}{50}=0,56=56\%$
3. Schritt: Wahrscheinlichkeit berechnen
K:„Kopf wird geworfen“
P(K) = $\dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl mögliche Ergebnisse}}$
P(K) = $\dfrac{1}{2}=0,5=50\%$
4. Schritt: Abweichung berechnen
$56\%-50\%=6\%$
Der errechnete Wert weicht um $6\%$ von der wahren Wahrscheinlichkeit ab.
2.  Bestimmen der relativen Häufigkeit und Zeichnen eines Liniendiagramms
Du sollst die relative Häufigkeit nach jedem Wurf berechnen, d.h. nach dem ersten Wurf ist die absolute Häufigkeit und Anzahl der Werte 1.
Nach dem vierten Wurf ist die absolute Häufigkeit 3, da dreimal Kopf geworfen wurde.
Die Anzahl der Werte ist 4, da die Münze bis dahin insgesamt viermal geworfen wurde.
Relative Häufigkeit=$\dfrac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Anzahl der Werte}} $
Relative Häufigkeit=$\frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Anzahl der Werte}} $
Wurf $1:\frac{1}{1} = 1$.
Wurf $2:\frac{2}{2} = 1$.
Wurf $3:\frac{2}{3} = 0,67$.
Wurf $4:\frac{3}{4} = 0,75$.
Wurf $5:\frac{3}{5} = 0,6$.
Wurf $6:\frac{3}{6} = 0,5$.
Wurf $7:\frac{3}{7} = 0,43$.
Wurf $8:\frac{4}{8} = 0,5$.
Wurf $9:\frac{4}{9} = 0,44$.
Wurf $10:\frac{5}{10} = 0,5$.
Wurf $11:\frac{6}{11} = 0,54$.
Wurf $12:\frac{6}{12} = 0,5$.
Wurf $13:\frac{7}{13} = 0,54$.
Wurf $14:\frac{7}{14} = 0,5$.
Wurf $15:\frac{8}{15} = 0,53$.
Wurf $1:\frac{1}{1} = 1$.
Wurf $2:\frac{2}{2} = 1$.
Wurf $3:\frac{2}{3} = 0,67$.
Wurf $4:\frac{3}{4} = 0,75$.
Wurf $5:\frac{3}{5} = 0,6$.
Wurf $6:\frac{3}{6} = 0,5$.
Wurf $7:\frac{3}{7} = 0,43$.
Wurf $8:\frac{4}{8} = 0,5$.
Wurf $9:\frac{4}{9} = 0,44$.
Wurf $10:\frac{5}{10} = 0,5$.
Wurf $11:\frac{6}{11} = 0,54$.
Wurf $12:\frac{6}{12} = 0,5$.
Wurf $13:\frac{7}{13} = 0,54$.
Wurf $14:\frac{7}{14} = 0,5$.
Wurf $15:\frac{8}{15} = 0,53$.
Zeichne die Werte nun in das Diagramm ein:
Daten und Zufall: Gesetz der großen Zahlen
Daten und Zufall: Gesetz der großen Zahlen
3.  Erstellen eines Liniendiagramms
1. Schritt: Münze werfen
Zunächst wirfst du zehnmal eine Münze und notierst die Liste.
Nimm an, es entsteht hierbei diese Liste:
$Z Z K Z Z K Z K Z Z$
2. Schritt: Bestimmen der relativen Häufigkeit, Zeichnen eines Liniendiagramms
Dann rechnest du die der Zahl nach jedem Wurf aus:
Du sollst die relative Häufigkeit nach jedem Wurf berechnen, d.h. nach dem ersten Wurf ist die absolute Häufigkeit und Anzahl der Werte 1.
Nach dem vierten Wurf ist die absolute Häufigkeit 3, da dreimal Zahl geworfen wurde und die Anzahl der Werte 4, da die Münze bis dahin insgesamt viermal geworfen wurde.
Wurf $1:\frac{1}{1} = 1$.
Wurf $2:\frac{2}{2} = 1$.
Wurf $3:\frac{2}{3} = 0,67$.
Wurf $4:\frac{3}{4} = 0,75$.
Wurf $5:\frac{4}{5} = 0,8$.
Wurf $6:\frac{4}{6} = 0,66$.
Wurf $7:\frac{5}{7} = 0,71$.
Wurf $8:\frac{5}{8} = 0,625$.
Wurf $9:\frac{6}{9} = 0,67$.
Wurf $10:\frac{7}{10} = 0,7$.
Daten und Zufall: Gesetz der großen Zahlen
Wurf $1:\frac{1}{1} = 1$.
Wurf $2:\frac{2}{2} = 1$.
Wurf $3:\frac{2}{3} = 0,67$.
Wurf $4:\frac{3}{4} = 0,75$.
Wurf $5:\frac{4}{5} = 0,8$.
Wurf $6:\frac{4}{6} = 0,66$.
Wurf $7:\frac{5}{7} = 0,71$.
Wurf $8:\frac{5}{8} = 0,625$.
Wurf $9:\frac{6}{9} = 0,67$.
Wurf $10:\frac{7}{10} = 0,7$.
Daten und Zufall: Gesetz der großen Zahlen
4.  Begründung, warum es sich um keinen fairen Würfel handelt
1. Schritt: Wahrscheinlichkeit einer 6 berechnen
P(E)$= \dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl möglicher Ergebnisse}}= \dfrac{1}{6}\approx 16,67\%$
$m_1$ = Anzahl günstiger Ergebnisse
$m_2$ = Anzahl möglicher Ergebnisse
$P(E) = \dfrac{{m_1}}{{m_2}} = \dfrac{1}{6}\approx 16,67\%$
Die Wahrscheinlichkeit für eine 6 liegt bei $\approx 16,67\%.$
2. Schritt: Begründung, warum es sich um keinen fairen Würfel handelt
Bei dem beschriebenen Versuch lag die Wahrscheinlichkeit für eine 6 bei 30%.
Der Würfel ist somit nicht fair, da die Wahrscheinlichkeit für eine 6 mit 30% zu hoch ist.
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