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Laplace-Experiment

Spickzettel
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Erklärung

Ein Zufallsexperiment mit gleichwahrscheinlichen Ergebnissen nennt man Laplace-Experiment.
Folgende Experimente sind Laplace-Experimente:
  • Einen fairen Würfel werfen
  • Ein Glücksrad drehen
  • Eine Zahl im Lotto erraten
Ist $n$ die Anzahl der möglichen Ergebnisse, so ist die Wahrscheinlichkeit eines jeden Ergebnisses:
$p=\dfrac{1}{n}$
$p=\dfrac{1}{n}$
Für die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses $E$ gilt die Laplace-Regel:
$P(E)=\dfrac{\text{Anzahl der Ereignisse, bei denen $E$ eintritt}}{\text{Anzahl der Ereignisse, die möglich sind}}$
$n_1$ = Anzahl der Ereignisse, bei denen $E$ eintritt
$n_2$ = Anzahl der Ereignisse, die möglich sind
$P(E)=\dfrac{{n_1}}{{n_2}}$
Die Wahrscheilichkeit für das Gegenereignis:
$P\left(\overline{E}\right)=1-P\left(E\right)$
$P\left(\overline{E}\right)=1-P\left(E\right)$

Beispiel

Tamara spielt mit einem fairen Würfel. Berechne:
  • Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu würfeln?
  • Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln?
  • Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, durch fünf teilbare Zahl zu würfeln?
Ein Würfel hat sechs Augenzahlen. Somit ist die Anzahl aller möglichen Ereignisse gleich $6$. Da der Würfel fair ist, kommt jede Zahl mit gleicher Wahrscheinlichkeit vor. Also gilt:
  • Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu würfeln $\;=\;P(6)=\boldsymbol{\frac{1}{6}}$
  • Um eine gerade Zahl zu würfeln, gibt es folgende Möglichkeiten:
    1. Würfle eine $2$
    2. Würfle eine $4$
    3. Würfle eine $6$
    Somit ist die Anzahl der Ereignisse, bei denen man eine gerade Zahl würfelt, gleich $3$. Also gilt:
    Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln $\;=\;P(\text{Gerade Zahl})=\frac{3}{6}=\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
  • Es gibt nur eine Zahl, die durch fünf teilbar ist. Diese ist die Fünf selbst. Also gilt:
    Wahrscheinlichkeit, eine durch fünf teilbare Zahl zu würfeln $\;=\;P(5)=\boldsymbol{\frac{1}{6}}$
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Aufgaben
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1.  Entscheide, ob es sich um ein Laplace-Experiment handelt
a)  Eine faire Münze werfen
b) Mit einem gezinkten Würfel spielen. Dabei wird die Seite „$1$“ mit einem Metallgewicht beschwert, so dass man in ca. $90\;\%$ der Fälle eine „$6$“ würfelt.
c)  In einer Urne befinden sich $10$ Kugeln. Davon sind $5$ grün, $3$ gelb und $2$ rot. Es wird eine Kugel gezogen.
d)  Pferderennen mit $10$ Teilnehmern
e)  Ein Glücksrad mit Zahlen zwischen $1$ und $20$ drehen. Bei geraden Zahlen gewinnt man einen Preis, bei ungeraden Zahlen nicht.
2.  Berechne Wahrscheinlichkeiten eines Laplace-Experiments
Man spielt ein Kartenspiel. Es gibt insgesamt $52$ Karten von der Zahl $2$ bis zu den Assen. Zieht man eine Herz-Karte, erhält man einen Punkt. Zieht man eine Karo-Karte, erhält man drei Punkte. Zieht man eine Pik-Karte, erhält man zwei Punkte. Zieht man eine Kreuz-Karte, erhält man vier Punkte.
a)  Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, vier Punkte zu erhalten?
b)  Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, einen Pik-König zu ziehen?
c)  Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine rote Karte zu ziehen?
d)  Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, ein Bild zu ziehen?
e)  Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine durch $2$ teilbare Zahl zu ziehen?
f)  Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl zu ziehen, die nicht durch $2$ teilbar ist?
g) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine rote durch drei teilbare Zahl-Karte zu ziehen?
3.  Entscheide, bei welchen Spielen man mit höherer Wahrscheinlichkeit gewinnt.
  • Spiel A: Eine Münze werfen. Bei Kopf gewinnt man, bei Zahl verliert man.
  • Spiel B: Einen fairen Würfel werfen. Bei geraden Augenzahl gewinnt man, bei ungeraden verliert man.
  • Spiel C: Ein Glücksrad drehen. Auf dem Rad stehen Zahlen von $1$ bis $20$. Man gewinnt bei einer Primzahl oder bei einer durch $5$ teilbaren Zahl und verliert sonst.
4.  Berechne die Wahrscheinlichkeit
In einem Scrabblebeutel sind 102 Spielsteine, davon sind 15 E, sechs I und zwei K.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeiten ein E, I oder K zu ziehen.
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit kein E, I oder K zu ziehen.
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Lösungen
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1.  Entscheiden, ob es sich um ein Laplace-Experiment handelt
a)  Bei einer fairen Münze ist die Wahrscheinlichkeit von Zahl und Kopf gleich $\frac{1}{2}$ .
Somit handelt es sich um ein Laplace-Experiment.
b)  Da der Würfel gezinkt ist und in ca. $90\;\%$ der Fälle eine „$6$“ kommt, ist die Wahrscheinlichkeit, eine „$6$“ zu würfeln, gleich $0,9$. Somit handelt es sich um kein Laplace-Experiment, da die Wahrscheinlichkeiten nicht gleich sind.
c)  Für die Wahrscheinlichkeiten, eine Kugel einer bestimmten Farbe zu ziehen, gilt:
  • eine grüne zu ziehen: $\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$
  • eine gelbe zu ziehen: $\frac{3}{10}=\frac{3}{10}$
  • eine rote zu ziehen: $\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$
Die Wahrscheinlichkeiten, eine Kugel einer bestimmten Farbe zu ziehen, sind nicht gleich. Somit handelt es sich um kein Laplace-Experiment.
d)  Jedes Pferd hat verschiedene Fähigkeiten. Somit sind die Wahrscheinlichkeiten eines Gewinns verschieden. Also handelt es sich um kein Laplace-Experiment.
e)  Zwischen den Zahlen $1$ und $20$ gibt es genau $10$ gerade und $10$ ungerade Zahlen. Also stimmt die Anzahl der geraden Zahlen mit der Anzahl der ungeraden Zahlen überein. Somit stimmen auch deren Wahrscheinlichkeiten überein, daher handelt es sich um ein Laplace-Experiment.
2.  Wahrscheinlichkeiten eines Laplace-Experiments berechnen
Es handelt sich um ein Laplace-Experiment. Somit sind die Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses durch die Laplace-Regel gegeben:
$P(E)=\dfrac{\text{Anzahl der Ereignisse, bei denen $E$ eintritt}}{\text{Anzahl der Ereignisse, die möglich sind}}$
$n_1$ = Anzahl der Ereignisse, bei denen $E$ eintritt
$n_2$ = Anzahl der Ereignisse, die möglich sind
$P(E)=\dfrac{{n_1}}{{n_2}}$
Es gibt insgesamt $52$ Karten. Diese sind in $4$ Farben unterteilt. Das heißt es gibt jeweils $52:4=13$ Karten einer Farbe.
$\blacktriangleright\;$ Wahrscheinlichkeit für vier Punkte berechnen
a)  Vier Punkte erhältst du, wenn du eine Kreuz-Karte ziehst.
Da es $13$ Kreuz-Karten gibt, ist die Wahrscheinlichkeit, eine Kreuz-Karte zu ziehen $\;=\dfrac{13}{52}=\boldsymbol{\dfrac{1}{4}}$
$\blacktriangleright\;$ Wahrscheinlichkeit für einen Pik-König berechnen
b)  Es gibt insgesamt $52$ verschiedene Karten.
Da es nur einen Pik-König gibt, ist die Wahrscheinlichkeit, einen Pik-König zu ziehen $\;=\boldsymbol{\dfrac{1}{52}}$
$\blacktriangleright\;$ Wahrscheinlichkeit für eine rote Karte berechnen
c)  Es gibt $13$ Karten der jeweiligen Farbe. Zu den roten Karten gehören die Karo-Karten und Herz-Karten.
Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Karte zu ziehen $=\;$ Die Wahrscheinlichkeit, eine Karo-Karte zu ziehen $+$ die Wahrscheinlichkeit, eine Herz-Karte zu ziehen. Also:
Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Karte zu ziehen $=\;\dfrac{13}{52}+\dfrac{13}{52}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}$
$\blacktriangleright\;$ Wahrscheinlichkeit für eine Bild-Karte berechnen
d)  Zu den Bild-Karten gehören Bube, Dame, König und Ass. Die gibt es jeweils in $4$ Farben. Also gibt es insgesamt $4+4+4+4=16$ Bild-Karten.
Die Wahrscheinlichkeit, eine Bild-Karte zu ziehen $=\;\dfrac{16}{52}=\boldsymbol{\dfrac{4}{13}}$
$\blacktriangleright\;$ Wahrscheinlichkeit für eine durch zwei teilbare Karte berechnen
e)  Unter den Spielkarten gibt es Zahlen von $2$ bis $10$. Davon sind die Zahlen $\;2; 4; 6; 8; 10$ gerade. Also gibt es insgesamt $5$ gerade Zahlen, die jeweils eine der $4$ möglichen Farben haben.
Also ist die Anzahl der durch zwei teilbaren Karten: $\;4\cdot 5 =20$. Somit:
Die Wahrscheinlichkeit, eine durch zwei teilbare Karte zu ziehen $=\;\dfrac{20}{52}=\boldsymbol{\dfrac{5}{13}}$
$\blacktriangleright\;$ Wahrscheinlichkeit für eine nicht durch zwei teilbare Karte berechnen
f)  Diese Wahrscheilichkeit kannst du mit dem Gegenereignis berechnen. In dem Aufgabenteil zuvor hast du die Wahrscheilichkeit berechnet, dass die Karte durch zwei teilbar ist.
Somit folgt: $1-\dfrac{5}{13}=\dfrac{8}{13}$
Die Wahrscheinlichkeit, eine Karte zu ziehen, die nicht durch zwei teilbar ist$=\;\boldsymbol{\dfrac{8}{13}}$
$\blacktriangleright\;$ Wahrscheinlichkeit für eine durch drei teilbare rote Karte berechnen
g) Durch drei teilbare Zahl-Karten sind: $\;3; 6; 9$. Es gibt also $3$ Zahl-Karten, die durch drei teilbar sind. Davon sind jeweils $3$ in Karo und $3$ in Herz, also insgesamt $6$. Somit:
Die Wahrscheinlichkeit, eine durch drei teilbare rote Karte zu ziehen $=\;\dfrac{6}{52}=\boldsymbol{\dfrac{3}{26}}$
3.  Bestimmen, mit welchen Spielen man mit größerer Wahrscheinlichkeit gewinnt.
Nutze
$P(E)=\dfrac{\text{Anzahl der Ereignisse, bei denen $E$ eintritt}}{\text{Anzahl der Ereignisse, die möglich sind}}$
$n_1$ = Anzahl der Ereignisse, bei denen $E$ eintritt
$n_2$ = Anzahl der Ereignisse, die möglich sind
$P(E)=\dfrac{{n_1}}{{n_2}}$
  • Spiel A: Da die Münze fair ist, sind die Wahrscheinlichkeiten von Kopf und Zahl gleich $\frac{1}{2}$. Also:
    Die Wahrscheinlichkeit eines Gewinns $\boldsymbol{\;=\dfrac{1}{2}}$
  • Spiel B: Da der Würfel fair ist, sind die Wahrscheinlichkeiten für jede Augenzahl $\frac{1}{6}$. Da zwischen $1$ und $6$ drei gerade Zahlen $2;4;6$ gibt, gilt:
    Die Wahrscheinlichkeit eines Gewinns $\;=\dfrac{3}{6}\boldsymbol{\;=\dfrac{1}{2}}$
  • Spiel C: Zwischen den Zahlen von $1$ bis $20$ suche Primzahlen und durch fünf teilbare Zahlen:
    • Primzahlen: $\;2;3;5;7;11;13;17;19\;$
    • durch fünf teilbare Zahlen: $\;5;10;15;20\;$
    Somit gibt es $8$ Primzahlen und $4$ durch fünf teilbare Zahlen. Also gilt:
    Die Wahrscheinlichkeit eines Gewinns $\;=\dfrac{8}{20}+\dfrac{4}{20}=\dfrac{12}{20}\boldsymbol{\;=\dfrac{3}{5}}$
Vergleiche die Ergebnisse der drei Spiele und erhalte:
$\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\lt\dfrac{3}{5}$
Somit wähle das Spiel C, da die Wahrscheinlichkeit des Gewinns dort am größten ist.
4. 
$\blacktriangleright\;$Wahrscheinlichkeiten bestimmen
a)  Es sind 102 Spielsteine, d.h. der Ergebnisraum $\Omega$ enthält 102 Elemente. Davon sind 15 Buchstaben E, sechs I und zwei K.
Die Ergebnismenge für ein „E“ enthält 15 Elemente Die Ergebnismenge für ein „I“ enthält sechs Elemente Die Ergebnismenge für ein „K“ enthält zwei Elemente
Die Formel lautet:
$P(E) = \dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl möglicher Ergebnisse}}$
$m_1$ = Anzahl günstiger Ergebnisse
$m_2$ = Anzahl möglicher Ergebnisse
$P(E)=\dfrac{{m_1}}{{m_2}}$
$P(E) = \dfrac{15}{102} =\dfrac{5}{34}$
$P(I) = \dfrac{6}{102} =\dfrac{1}{17}$
$P(K) = \dfrac{2}{102}=\dfrac{1}{51}$
Die Wahrscheinlichkeiten betragen somit für den Buchstaben E = $\frac{5}{34}$, für I =$\frac{1}{17}$ und für K = $\frac{1}{51}$.
b) Die Wahrscheilichkeit kein E, kein I und kein K zu würfeln kannst du mit dem Gegenereignis berechnen.
$P(\overline{E}) = 1-P(E) =1-\dfrac{5}{34}=\dfrac{29}{34}$
$P(I) = 1-P(I) =1-\dfrac{1}{17}=\dfrac{16}{17}$
$P(K) = 1-P(K)=1-\dfrac{1}{51}=\dfrac{50}{51}$
$P(\overline{E}) = 1-P(E) =1-\dfrac{5}{34}=\dfrac{29}{34}$
$P(I) = 1-P(I) =1-\dfrac{1}{17}=\dfrac{16}{17}$
$P(K) = 1-P(K)=1-\dfrac{1}{51}=\dfrac{50}{51}$
Die Wahrscheinlichkeiten betragen somit für den Buchstaben E = $\frac{29}{34}$, für I =$\frac{16}{17}$ und für K = $\frac{50}{51}$.
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