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Laplace-Experiment

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Erklärung

Ein Zufallsexperiment mit gleichwahrscheinlichen Ergebnissen nennt man Laplace-Experiment.
Folgende Experimente sind Laplace-Experimente:
  • Einen fairen Würfel werfen
  • Ein Glücksrad drehen
  • Eine Zahl im Lotto erraten
Ist $n$ die Anzahl der möglichen Ergebnisse, so ist die Wahrscheinlichkeit eines jeden Ergebnisses:
$p=\dfrac{1}{n}$
$p=\dfrac{1}{n}$
Für die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses $E$ gilt die Laplace-Regel:
$P(E)=\dfrac{\text{Anzahl der Ereignisse, bei denen $E$ eintritt}}{\text{Anzahl der Ereignisse, die möglich sind}}$
$n_1$ = Anzahl der Ereignisse, bei denen $E$ eintritt
$n_2$ = Anzahl der Ereignisse, die möglich sind
$P(E)=\dfrac{{n_1}}{{n_2}}$
Die Wahrscheilichkeit für das Gegenereignis:
$P\left(\overline{E}\right)=1-P\left(E\right)$
$P\left(\overline{E}\right)=1-P\left(E\right)$

Beispiel

Tamara spielt mit einem fairen Würfel. Berechne:
  • Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu würfeln?
  • Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln?
  • Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, durch fünf teilbare Zahl zu würfeln?
Ein Würfel hat sechs Augenzahlen. Somit ist die Anzahl aller möglichen Ereignisse gleich $6$. Da der Würfel fair ist, kommt jede Zahl mit gleicher Wahrscheinlichkeit vor. Also gilt:
  • Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu würfeln $\;=\;P(6)=\boldsymbol{\frac{1}{6}}$
  • Um eine gerade Zahl zu würfeln, gibt es folgende Möglichkeiten:
    1. Würfle eine $2$
    2. Würfle eine $4$
    3. Würfle eine $6$
    Somit ist die Anzahl der Ereignisse, bei denen man eine gerade Zahl würfelt, gleich $3$. Also gilt:
    Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln $\;=\;P(\text{Gerade Zahl})=\frac{3}{6}=\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
  • Es gibt nur eine Zahl, die durch fünf teilbar ist. Diese ist die Fünf selbst. Also gilt:
    Wahrscheinlichkeit, eine durch fünf teilbare Zahl zu würfeln $\;=\;P(5)=\boldsymbol{\frac{1}{6}}$
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