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Gesetz der großen Zahlen

Spickzettel
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Die realtive Häufigkeit gibt das Verhältnis an, wie oft ein Ereignis (absolute Häufigkeit) bei einer bestimmten Anzahl von Versuchen eingetreten ist.
Das Gesetz der großen Zahlen trifft eine Aussage über die relativen Häufigkeiten eines Zufallsexperiments.
Es besagt, dass sich die relativen Häufigkeiten bei einer großen Anzahl an Wiederholungen an die theoretischen Wahrscheinlichkeiten des Experiments annähern. Die Annäherung ist allerdings nicht immer vorhanden. Es kommt vor, dass die Differenz zwischen relativer Häufigkeit und theoretischer Häufigkeit wächst. Generell gilt allerdings, je häufiger das Experiment durchgeführt wird, desto höher ist die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit mit der theoretischen Häufigkeit übereinstimmt.

Beispiel

Bei einem Münzwurf ist die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl zu erhalten $50\%.$
Dies ist aber nur eine Wahrscheinlichkeit, es kann auch 10 mal hintereinander ein Kopf kommen (rel. Häufg. der Zahl = $0\%$).
Das Gesetz der großen Zahlen sagt nun, dass sich die relative Häufigkeit für viele Wiederholungen an die wahre Wahrscheinlichkeit, eine Zahl zu erhalten, annähert.
Dies ist aber nur eine Wahrscheinlichkeit, es kann auch 10 mal hintereinander ein Kopf kommen (rel. Häufg. der Zahl = $0\%$).
Das Gesetz der großen Zahlen sagt nun, dass sich die relative Häufigkeit für viele Wiederholungen an die wahre Wahrscheinlichkeit, eine Zahl zu erhalten, annähert.
Wahrscheinlichkeitsrechnung: Gesetz der großen Zahlen
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Aufgaben
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1.   Wirf eine Münze 50 mal und schreibe auf, wie oft ein Kopf vorgekommen ist.
Berechne die relative Häufigkeit des Kopfes nach 50 Würfen. Um wie viel Prozent weicht dein Wert von der wahren Wahrscheinlichkeit ab?
2.  Eine Münze wurde 15-mal geworfen und dabei entstand diese Liste:
(K = Kopf, Z = Zahl)
$ K, K, Z, K, Z, Z, Z, K, Z, K, K, Z, K, Z, K$
$ K, K, Z, K, Z, Z, Z, K, Z, K, K, Z, K, Z, K$
Berechne die relative Häufigkeit des Kopfes nach jedem Wurf und zeichne ein:
Wahrscheinlichkeitsrechnung: Gesetz der großen Zahlen
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Lösungen
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1.  Abweichung von relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit berechnen
1. Schritt: Münze werfen
Wirf 50 mal die Münze und notiere dir, wie oft Kopf geworfen wurde.
Das bedeutet die Anzahl der Werte ist 50.
Angenommen, du hast 28 mal Kopf geworfen, dann ist absolute Häufigkeit 28.
2. Schritt: Relative Häufigkeit berechnen
Jetzt errechnest du die relative Häufigkeit für diesen Wert
relative Häufigkeit= $\dfrac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Anzahl der Werte}}$
relative Häufigkeit= $\frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Anzahl der Werte}}$
relative Häufigkeit= $\dfrac{28}{50}=0,56=56\%$
3. Schritt: Wahrscheinlichkeit berechnen
K:„Kopf wird geworfen“
P(K) = $\dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl mögliche Ergebnisse}}$
P(K) = $\dfrac{1}{2}=0,5=50\%$
4. Schritt: Abweichung berechnen
$56\%-50\%=6\%$
Der errechnete Wert weicht um $6\%$ von der wahren Wahrscheinlichkeit ab.
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