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Einführung

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Du hast bereits ein einstufiges Zufallsexperiment kennengelernt. Ein mehrstufiges Zufallsexperiment ist sozusagen die Hintereinanderschaltung mehrerer einstufiger Zufallsexperimente. Die Ergebnismenge $\Omega$ ergibt sich durch die Kombination der Möglichkeiten, wie es in Beispiel 1 dargestellt ist.
Folgende sind mehrstufige Zufallsexperimente:
  • Mehrmaliges Werfen einer Münze und notieren der einzelnen Ergebnisse
  • Mehrmaliges Drehen eines Glücksrads und notieren der einzelnen Ergebnisse
  • Mehrmaliges Werfen eines Würfels und notieren der einzelnen Ergebnisse
Die Wahrscheinlichkeiten von Mehrstufigen Zufallsexperimenten lassen sich schnell und einfach mithilfe eines Baumdiagrammes darstellen. In Beispiel 2 lernst du das Aufstellen eines solchen Baumdiagrammes kennen.

Beispiel 1

Das 3-malige Werfen einer Münze stellt ein 3-stufiges Zufallsexperiment dar. Die Ergebnismenge $\Omega$ beim 3-maligen Werfen mit Beachtung der Reihenfolge, ergibt sich wie folgt: (Kopf $\mathrel{\widehat{=}}$ K, Zahl $\mathrel{\widehat{=}}$ Z)
$\begin{array}[t]{rll} \Omega&=& \{KKK, ZZZ, KZZ, KZK, ZKK, ZKZ, KKZ, ZZK\} \end{array}$

Beispiel 2

In einer Urne befinden sich 10 Kugeln: 3 lila Kugeln, 2 orange Kugeln und 5 grüne Kugeln. Aus der Urne wird nun nacheinander, mit Zurücklegen, zweimal eine Kugel gezogen. Ein Baumdiagramm dazu sieht folgendermaßen aus:
Mehrstufige Zufallsexperimente: Einführung
Mehrstufige Zufallsexperimente: Einführung
Mehrstufige Zufallsexperimente: Einführung
Mehrstufige Zufallsexperimente: Einführung
Eine Stufe zeigt uns einen Durchlauf des Experimentes auf und stellt somit ein Teilexperiment dar („Ziehen der 1. Kugel aus der Urne“).
Ein Zweig im Baumdiagramm entspricht einem Ergebnis einer Stufe bzw. eines Teilexperimentes („Wir haben die Möglichkeit in einem Durchlauf eine grüne, eine orange oder eine lila Kugel zu ziehen“).
Tipp: In unserem Beispiel haben wir die Kugeln zurückgelegt, d.h. wir haben in jedem Durchgang die selben Möglichkeiten. In anderen Aufgaben kann es vorkommen, dass die Kugeln nicht zurückgelegt werden. Dann musst du darauf achten, dass sich dabei die Möglichkeiten (die drei Farben zu ziehen) verändern.
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1. Ergebnismenge bestimmen
Elena hat sich bei einer Tombola drei Lose gekauft. Diese werden in Gewinn (G) und Niete (N) unterschieden. Gebe die Ergebnismenge $\Omega$ mit Berücksichtigung der Reihenfolge an.
2.  Baumdiagramm zeichnen und Ergebnismenge bestimmen
Auf der Messe gibt es ein Glücksrad mit drei Farben: orange (o), grün (g) und blau (b). Felix dreht zweimal an diesem Rad
Mehrstufige Zufallsexperimente: Einführung
Mehrstufige Zufallsexperimente: Einführung
a)  Zeichne ein Baumdiagramm.
b)  Gebe die Ergebnismenge $\Omega$ mit Beachtung der Reihenfolge an.
3.  Baumdiagramm zeichnen
In einer Urne befinden sich 1 blaue, 3 grüne und 2 rote Kugeln. Aus dieser Urne wird ohne Zurücklegen dreimal eine Kugel gezogen. Zeichne zu diesem 3-stufigen Zufallsexperiment ein Baumdiagramm
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1. Ergebnismenge angeben
In dieser Aufgabe musst du die Ergebnismenge $\Omega$ bestimmen. Diese ergibt sich durch die Kombination der Möglichkeiten. (Niete $\mathrel{\widehat{=}}$ N, Gewinn $\mathrel{\widehat{=}}$ G)
$\begin{array}[t]{rll} \Omega&=& \{NNN, NNG, NGN, NGG, GGG, GGN, GNG, GNN\} \end{array}$
Tipp: Wenn du sicher gehen möchtest, dass du kein Ergebnis vergessen hast, dann skizziere dir ein Baumdiagramm und gehe die Zweige entlang.
Mehrstufige Zufallsexperimente: Einführung
Mehrstufige Zufallsexperimente: Einführung
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Mehrstufige Zufallsexperimente: Einführung
a)  Zeichne ein Baumdiagramm.
Mehrstufige Zufallsexperimente: Einführung
Mehrstufige Zufallsexperimente: Einführung
b)  Gebe die Ergebnismenge $\Omega$ mit Beachtung der Reihenfolge an.
$\begin{array}[t]{rll} \Omega&=& \{gg, gb, go, bg, bb, bo, og, ob, oo\} \end{array}$
3.  Baumdiagramm zeichnen
In dieser Aufgabe ziehen wir aus der Urne drei Kugeln ohne Zurücklegen, d.h. wir müssen darauf achten, dass sich nach dem Ziehen die Anzahl der farbigen Kugeln verändert.
In unserer Aufgabe haben wir eine blaue, zwei rote und drei grüne Kugeln. Dies führt dazu, dass wir keine zwei blaue Kugeln hintereinander ziehen können.
Mehrstufige Zufallsexperimente: Einführung
Mehrstufige Zufallsexperimente: Einführung
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