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Pfadregeln

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Du hast nun gelernt was ein mehrstufiges Zufallsexperiment und ein Baumdiagramm ist. Im nächsten Schritt möchten wir die Wahrscheinlichkeiten P(E) für ein mehrstufiges Zufallsexperiment bestimmen. Dabei kannst du auch nach der Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses fragen (z.B. zuerst Kopf dann Zahl werfen).

1. Pfadregel: Multiplikationsregel

Mit der Multiplikationsregel kannst du die Wahrscheinlichkeit P(E) dafür berechnen, dass verschiedene Ereignisse eintreten werden. Wichtig ist dabei die Reihenfolge des Eintretens.
Merke: $\quad$ Multipliziere alle Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades

Beispiel

Zu allererst musst du die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse an die Pfade im Baumdiagramm schreiben
Bsp.: Wir haben insgesamt 10 Kugeln, 2 davon sind orange, 5 davon sind grün. Somit ist die Wahrscheinlichkeit eine orange Kugel zu ziehen $\dfrac{2}{10}$, eine grüne Kugel hingegen $\dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$
Ereignis $E:$ "erst grün dann orange" $=\left\{(g, o)\right\}$
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E:P(E) =P(g, l) = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{10}=\dfrac{2}{20} = \dfrac{1}{10}$

2. Pfadregel: Additionsregel

Mit der Additionsregel kann man die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass mehrere Ereignisse eintreten werden. Dabei spielt die Reihenfolge des Eintretens in der Regel keine Rolle.
Merke: $\quad$ Addiere die Wahrscheinlichkeiten aller passenden Ergebnisse („Pfade addieren“)

Beispiel

Zweimaliges Werfen einer Münze: Wahrscheinlichkeit für einmal Kopf und Zahl
Ergebnismenge: $\Omega=\left\{(K, K); (K, Z); (Z, K); (Z, Z)\right\}$
Ereignis $E$: Kopf und Zahl werfen; $E=\left\{(K, Z); (Z, K)\right\}$
Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse (1. Pfadregel):
$P (K,Z) = 0,5\cdot0,5 = 0,25$
$P (Z,K) = 0,5\cdot0,5 = 0,25$
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses (2. Pfadregel):
$P(E)=P(K, Z) + P(Z, K) =0,25 + 0,25 = 0,5$
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