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Vermischte Aufgaben

Aufgaben
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1.  Berechne die Wahrscheinlichkeit
In einer Urne liegen eine schwarze, eine blaue und eine rote Kugel. Sie werden nacheinander ohne Zurücklegen gezogen.
a)  Bestimme die Ergebnismenge $\Omega$.
b)  Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst die rote, dann die blaue und dann die schwarze Kugel gezogen wird.
c)  Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die zuletzt gezogene Kugel blau ist.
2.  Berechne die Wahrscheinlichkeit
Ein neues Medikament kommt auf den Markt. Von diesem weiß man, dass es zu 80% zu einer Heilung führt. Bestimme mithilfe eines Baumdiagrammes die Wahrscheinlichkeit P(E) dafür, dass …
a) … genau zwei von drei behandelte Patienten mit diesem Medikament geheilt werden.
b) … alle drei Patienten nicht geheilt werden.
c) … mindestens zwei Patienten geheilt werden.
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Lösungen
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1.  Wahrscheinlichkeit P(E) berechnen:
Tipp
In dieser Aufgabe ist nicht explizit nach einem Baumdiagramm gefragt, trotzdem ist es einfacher und sicherer, wenn du dir zuerst ein solches Baumdiagramm zeichnest und anschließend die Aufgaben löst.
Mehrstufige Zufallsexperimente: Vermischte Aufgaben
Mehrstufige Zufallsexperimente: Vermischte Aufgaben
a)  Ergebnismenge $\Omega$ bestimmen
Die Ergebnismenge $\Omega$ enthält alle möglichen Ergebnisse, die bei einem Zufallsexperiment entstehen können. Das bedeutet, dass du alle möglichen Kombinationen der drei Kugeln aufschreiben musst. Wichtig ist dabei, dass du die Reihenfolge beachtest.
(schwarz $\mathrel{\widehat{=}}$ s, blau $\mathrel{\widehat{=}}$ b, rot $\mathrel{\widehat{=}}$ r)
$\begin{array}[t]{rll} \Omega&=& \{sbr, srb, brs, bsr, rsb, rbs\} \end{array}$
b)  Wahrscheinlichkeit berechnen
In diesem Teil sollst du die Wahrscheinlichkeit P für das Ereignis $E$ "erst rot, dann blau, dann schwarz" berechnen.
Dazu teilst du das Ereignis in 3 Züge:
1. Zug: Am Anfang hast du noch 3 Kugeln in der Urne. Die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Kugel zu $\quad$ $\quad$ $\quad$ ziehen, ist somit $\dfrac{1}{3}$
2. Zug: Beim 2. Zug hast du nur noch 2 Kugeln in der Urne. Die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Kugel $\quad$ $\quad$ zu ziehen, ist somit nur noch $\dfrac{1}{2}$
3. Zug: Beim 3. Zug hast du nur noch eine Kugeln in der Urne. Da du auf jeden fall nur noch diese eine $\quad$ $\quad$ Kugel ziehen kannst, ist die Wahrscheinlichkeit 1.
Um die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $E=\left\{(rbs)\right\}$ zu berechnen, wendest du die Multiplikationsregel an:
$P(E)= P(rbs)=\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 1 = \dfrac{1}{6} $
c)  Wahrscheinlichkeit berechnen
In diesem Teil sollst du die Wahrscheinlichkeit P für das Ereignis E "letztes blau" berechnen.
Wie du in dem Baumdiagramm erkennen kannst, treffen zwei Pfade auf dieses Ereignis zu.
Die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ergebnisse kannst du, wie in Aufgabenteil b), bestimmen. Für die Wahrscheinlichkeit eines Pfades wendest du die Multiplikationsregel an. Da du in diesem Aufgabenteil jedoch zwei mögliche Pfade hast, addierst du die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten, d.h. du wendest zudem die Additionsregel an:
$P(E)= P(srb;rsb)= P (srb) +P (rsb) =\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 1 + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 1 = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$
2.  Wahrscheinlichkeit P(E) berechnen:
Zunächst zeichnest du ein Baumdiagramm, da du dieses zum Lösen der nächsten drei Aufgabenteile benötigst.
Mehrstufige Zufallsexperimente: Vermischte Aufgaben
Mehrstufige Zufallsexperimente: Vermischte Aufgaben
a)  Im Baumdiagramm kannst du erkennen, dass für das Ereignis E "genau zwei geheilt" mehrere Pfade vorliegen:
$E= \left\{(HHK), (HKH), (KHH)\right\}$
Die Wahrscheinlichkeit P(E) berechnest du mit der Multiplikations-und der Additionsregel:
Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse (1. Pfadregel: Multiplikationsregel):
$P (HHK) = 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2 = 0,128$
$P (HKH) = 0,8 \cdot 0,2 \cdot 0,8 = 0,128$
$P (KHH) = 0,2 \cdot 0,8 \cdot 0,8 = 0,128$
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses (2. Pfadregel: Additionsregel):
$P(E)=P (HHK) +P (HKH) + P (KHH) = 0,128 + 0,128 + 0,128 =0,384$
Tipp
Du kannst die Wahrscheinlichkeit auch als Prozent (%) ausdrücken, was oftmals aussagekräftiger ist.
$P(E)= 0,384 \cdot 100$ $\% = 38,40 $$\%$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei behandelte Patienten geheilt werden beträgt 38,40 $\%$
b)  Im Baumdiagramm kannst du erkennen, dass für das Ereignis E "alle drei nicht geheilt" nur ein Pfad vorliegt:
$E= \left\{(HHH)\right\}$
Die Wahrscheinlichkeit P(E) berechnest du mit der Multiplikationsregel
$P (KKK)= 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2= 0,008 * 100 $$\% = 0,8 $$\%$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle drei behandelten Patienten nicht geheilt werden beträgt 0,8 $\%$
c)  In diesem Aufgabenteil sollst du die Wahrscheinlichkeit P für das Ereignis E "mindestens zwei Patienten geheilt" berechnen. Das Wort "mindestens" gibt dabei an, dass entweder zwei von drei oder sogar drei von drei geheilt werden können:
$E= \left\{(HHK), (HKH), (KHH), (HHH)\right\}$
Die Wahrscheinlichkeit P(E) berechnest du mit der Multiplikationsregel
Die Wahrscheinlichkeit P(E) berechnest du mit der Multiplikations-und der Additionsregel:
Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse (1. Pfadregel: Multiplikationsregel):
$P (HHK) = 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2 = 0,128$
$P (HKH) = 0,8 \cdot 0,2 \cdot 0,8 = 0,128$
$P (KHH) = 0,2 \cdot 0,8 \cdot 0,8 = 0,128$
$P (HHH) = 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 = 0,512$
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses (2. Pfadregel: Additionsregel):
$P(E)=P (HHK) +P (HKH) + P (KHH) + P (HHH)$
$\quad$$\quad$$= 0,128 + 0,128 + 0,128 + 0,512 $
$\quad$$\quad$$=0,896* 100 $$\% $
$\quad$$\quad$$= 89,60 $$\%$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle drei behandelte Patienten geheilt werden beträgt 89,60 $\%$
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