Inhalt
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Hauptschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 7
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Hauptschulabschluss
VERA 8
Hauptschulabsc...
Prüfung
wechseln
Hauptschulabschluss
VERA 8
Mach dich schlau mit SchulLV!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!
Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Digitales Schulbuch
Funktionen und Gleich...
Lineare Gleichungen
Einführung
Einfache lineare Glei...
Gleichungen mit Klamm...
Gleichungen mit Brüch...
Gleichungen mit Brüch...
Gleichungen in Zahlen...
Gleichungen in Sachau...
Quadratische Gleichun...
Einführung
Sonderfälle
Reinquadratische Glei...
x<sup>2</sup>+px=0
Gleichungen lösen
P-q-Formel
Mitternachtsformel
Satz von Vieta
Bruchgleichungen
Vermischte Aufgaben
Lineares Gleichungssy...
Einführung
Graphisches Lösungsve...
Rechnerisches Lösungs...
Gleichsetzungsverfahr...
Einsetzungsverfahren
Additionsverfahren
Determinantenverfahre...
Vermischte Aufgaben
Lineare Funktionen
Einführung
Funktionsgraphen zeic...
Funktionsgleichungen ...
Schnittpunkte
Parallele und orthogo...
Vermischte Aufgaben
Quadratische Funktion...
Einführung
Funktionsterm
Verschiebung in y-Ric...
Verschiebung in x-Ric...
Stauchung und Strecku...
Vermischte Aufgaben
Scheitelform und allg...
Funktionsgleichung au...
Schnittpunkt Gerade -...
Achsenschnittpunkte
Vermischte Aufgaben
Potenzfunktion
Mit positivem Exponen...
Mit negativem Exponen...
Streckung, Stauchung ...
Potenzgesetze
Vermischte Aufgaben
Exponentialfunktionen...
Exponentialgleichunge...
Exponentialfunktionen
Wachstum
Logarithmus
Logarithmusfunktion
Verschiebung und Spie...
Vermischte Aufgaben
Trigonometrische Funk...
Einheitskreis
Gradmaß und Bogenmaß
Eigenschaften der Sin...
Eigenschaften der Kos...
Eigenschaften der Tan...
Streckung und Stauchu...
Streckung und Strauch...
Vermischte Aufgaben
Proportionale Zuordnu...
Rechnen mit proportio...
Schaubilder von propo...
Weg-Zeit-Zuordnungen
Abbildungen Im Koordi...
Orthogonale Affinität
Parallelverschiebung
Achsenspiegelung
Drehung
Vermischte Aufgaben
Geometrie in der Eben...
Dreieck
Einführung
Gleichschenkliges Dre...
Gleichseitiges Dreiec...
Allgemeines Dreieck
Sinussatz
Kosinussatz
Vermischte Aufgaben
Rechtwinkliges Dreiec...
Einführung
Satz des Pythagoras
Kathetensatz
Höhensatz
Satz des Thales
Sinus, Kosinus und Ta...
Flächeninhalt und Umf...
Vermischte Aufgaben
Vierecke und Vielecke
Einführung
Quadrat
Rechteck
Parallelogramm
Rhombus und Raute
Trapez
Drachen
Allgemeines Viereck
Regelmäßiges Vieleck
Vermischte Aufgaben
Kreis
Einführung
Flächeninhalt und Umf...
Kreisring
Kreissektor und Kreis...
Kreissegment
Geraden und Winkel am...
Vermischte Aufgaben
Geometrische Konstruk...
Einführung
Mittelsenkrechte
Lotgerade
Senkrechte
Winkelhalbierende
Dreieckskonstruktione...
Zentrische Streckung
Vermischte Aufgaben
Strahlensätze
Geometrie im Raum
Körper
Einführung
Schrägbild
Körpernetz
Zweitafelbild
Prisma
Einführung
Würfel
Quader
Vermischte Aufgaben
Spitze Körper
Kegel
Pyramide
Stümpfe
Kegelstumpf
Pyramidenstumpf
Sonstige Körper
Zylinder
Kugel
Rotationskörper
Zusammengesetzte Körp...
Trigonometrie in Körp...
Streckenzug
Raumdiagonale
Potenzen und Wurzeln
Potenzen
Einführung
Quadratzahlen und Pot...
Rechnen mit Potenzen
Einfache Potenzen
Potenzen mit negative...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen potenzieren
Wissenschaftliche Sch...
Wurzeln
Einführung
Quadratwurzeln und Ku...
Rechnen mit Wurzeln
Wurzeln multipliziere...
Teilweises Wurzelzieh...
Rechnen mit Wurzeln u...
Daten und Zufall
Statistische Grundbeg...
Absolute und relative...
Listen und Häufigkeit...
Arithmetisches Mittel...
Median und Quartile
Spannweite und mittle...
Diagramme
Vermischte Aufgaben
Diagramme
Säulendiagramm
Balkendiagramm
Liniendiagramm
Kreisdiagramm
Streifendiagramm
Boxplot
Vermischte Aufgaben
Kombinatorik
Wahrscheinlichkeitsre...
Einstufige Zufallsexp...
Ergebnis und Ereignis
Gesetz der großen Zah...
Zufallsvariable und E...
Mehrstufige Zufallsex...
Sachrechnen
Zinseszins
Vermischte Aufgaben

Zufallsvariable und Erwartungswert

Spickzettel
Download als Dokument:PDF
Eine Variable $X$, deren Wert zufällig gebildet wird, nennt man eine Zufallsvariable.
Der Erwartungswert einer Zufallsvariable ist der Durchschnittswert der Ergebnisse.
Sind $x_1, x_2,…, x_n$ die Ergebnisse eines Experiments und
sind $p_1, p_2,…, p_n$ die Wahrscheinlichkeiten für jedes dieser Ergebnisse, dann ist
$E(X)=p_1\cdot x_1 + p_2\cdot x_2 + …. + p_n\cdot x_n$
der Erwartungswert der Zufallsvariable $X$.

Beispiel

Ein Wurf mit einem Würfel ist ein Zufallsexperiment. Die möglichen Ergebnisse beim Würfeln sind $x_1=1$, $x_2=2$, …, $x_6=6$ und die Wahrscheinlichkeiten sind $p_1, p_2,…, p_n=\frac{1}{6}$.%
$\begin{array}{} E(X)&=&\frac{1}{6}\cdot 1 + \frac{1}{6}\cdot 2 + \frac{1}{6}\cdot 3 + \frac{1}{6}\cdot 4 + \frac{1}{6}\cdot 5 + \frac{1}{6}\cdot 6\\ &=& \frac{1}{6} + \frac{2}{6} + \frac{3}{6} + \frac{4}{6} + \frac{5}{6} + \frac{6}{6}=\frac{21}{6}=3,5 \end{array}$
Wenn du sehr oft würfelst und den Durchschnitt der Ergebnisse bildest, dann erhälst du den Wert 3,5.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Aufgaben
Download als Dokument:PDF
1.  Welche dieser Aussagen beinhaltet eine Zufallsvariable? Erkläre deine Antwort kurz und gib, falls möglich, die Zufallsvariable an.
a)   Die Dauer der Fahrzeit von Frankfurt nach Berlin mit der Deutschen Bahn beträgt 4 Stunden und 13 Minuten.
b)   Du gewinnst bei Schere, Stein, Papier.
c)   Ein Stein, der fallen gelassen wird, fällt auf den Boden.
d)   Die Lebenszeit einer Fliege beträgt oft nur wenige Tage.
e)   Jedes Lebewesen stirbt irgendwann.
2.  Die Lebensdauer eines Notebooks ist eine Zufallsvariable.
Ein Hersteller hat für seine Produkte diese Liste aufgestellt:
$\begin{array}{C{2.6cm}|C{2.6cm}} \text{Lebensdauer } x \text{ in Monaten} & \text{Wahrscheinlichkeit}\\[5pt] 6 < x \leq 12& 5\% \\\hline 12 < x \leq 16 & 20\% \\\hline 16 < x \leq 20 & 25\% \\\hline 20 < x \leq 24& 35\% \\\hline 24 < x \leq 36& 10\% \\\hline 36 < x & 5\% \end{array}$
a)  Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ein Laptop älter als 24 Monate?
b)  Mit welcher Wahrscheinlichkeit hält ein Laptop zwischen 12 und 24 Monaten?
c)  Berechne den Erwartungswert der Lebensdauer eines Notebooks.
3.  In einem Beutel befinden sich Kugeln mit Nummern darauf. Es sind fünf Kugeln mit der 1, sieben Kugeln mit der 2 und neun Kugeln mit der 3 im Beutel. Das Ziehen einer Kugel ist ein Laplace-Experiment.
a)  Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, direkt hintereinander zwei Zweien ohne zurücklegen zu ziehen?
b)  Berechne den Erwartungswert.
4.  Du wettest mit einem Freund um den Ausgang eines Spiels, dessen Wahrscheinlichkeiten ihr nicht kennt. Das Spiel hat nur zwei Ergebnisse: A und B.
Tritt A ein, dann erhältst du 5 €, tritt B ein, dann musst du 3 € bezahlen.
Wie müssen die Wahrscheinlichkeiten sein, falls du langfristig im Durchschnitt Gewinn machen willst (E(X)>0)?
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1.  Aussagen überprüfen
a)  Ja, diese Aussage beinhaltet eine Zufallsvariable. Die Zugfahrt dauert nie exakt gleich lange und ist somit zufällig.
b)  Ja, diese Aussage beinhaltet eine Zufallsvariable, weil es zufällig ist ob du gewinnst oder verlierst.
c)  Nein, diese Aussage enthält keine Zufallsvariable, das Experiment hat immer den gleichen Ausgang.
d)  Ja, diese Aussage enthält eine Zufallsvariable, da der Todeszeitpunkt einer Fliege zufällig ist.
e)  Diese Aussage enthält keine Zufallsvariable sondern ist eine Tatsache.
2.   Lebensdauer von Notebooks
a) Wahrscheinlichkeit berechnen:
Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Monate kannst du aus der Tabelle ablesen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Laptop älter als 24 Monate wird beträgt:
$P(24)= 10 \%$
$P(36)= 5 \%$
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit insgesamt:
$P(>22) = P(>24) + P(>36) = 10\,\% +\,5\% = 15\,\%.$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 15% wird ein Laptop älter als 24 Monate.
b) Wahrscheinlichkeit berechnen:
Entnehme die Wahrscheinlichkeiten der Tabelle:
$P(12 \text{ bis } 24) = P(12) + P(16) + P(20) + P(24) = 20\,\% + 25\,\% + 35\,\% + 10\,\% = 90\,\%$
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Laptop zwischen 12 und 24 Monate hält, beträgt 90%.
c) Erwartungswert berechnen:
Berechne den Erwartungswert mit dieser Formel:
$E(X)= p_1\cdot x_1+p_2\cdot x_2+…p_n\cdot x_n$
Schreibe die Wahrscheinlichkeiten als Dezimalzahlen:
$p_1=5\,\%=0,05$
$p_2=20\,\%=0,2$
Setze für $x_1$ bis $x_6$ die Lebensdauer in Monaten und für $p_1$ bis $p_6$ die entsprechende Wahrscheinlichkeit ein.
$E(X)= 0,05\cdot6+0,2\cdot12+0,25\cdot16+0,35\cdot20+0,1\cdot24+0,05\cdot36$
$E(X)= 17,9.$
Für den Laptop wird eine Lebensdauer von mehr als 17,9 Monaten erwartet.
3.   Wahrscheinlichkeit berechnen
a) Wahrscheinlichkeit berechnen:
Insgesamt sind $5+7+9= 21$ Kugeln in dem Beutel.
Die Wahrscheinlichkeit im ersten Zug eine 2 zu ziehen beträgt:
$P(2)=\dfrac{7}{21}=\dfrac{1}{3}$
Im zweiten Zug befinden sich dann insgesamt nur noch $20$ Kugeln und $6$ Kugeln mit einer 2 in der Urne. Berechne die Wahrscheinlichkeit, direkt hintereinander zwei Zweien zu ziehen:
$P(2,2)=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{6}{20}=\dfrac{1}{10}=0,1=10\,\%$
Die Wahrscheinlichkeit, zwei Zweien hintereinander zu ziehen, ist 10%.
b) Erwartungswert berechnen:
Den Erwartungswert errechnest du mit dieser Formel:
$E(X)= p_1\cdot x_1+p_2\cdot x_2+p_3\cdot x_3$
Setze für $x_1$ bis $x_3$ die Nummer der Kugel und für $p_1$ bis $p_3$ die entsprechende Wahrscheinlichkeit ein.
$E(X)= \left(\dfrac{5}{21}\cdot1\right)+\left(\dfrac{7}{21}\cdot2\right)+\left(\dfrac{9}{21}\cdot3\right)$
$E(X)\approx 2,2$
Der Erwartungswert beträgt ca. 2,2.
4.  Wahrscheinlichkeit einer Wette bestimmen
Die Wahrscheinlichkeit für deinen Gewinn bezeichnest du mit p.
Die Gegenwahrscheinlichkeit ist $1 -p.$
Stelle eine Gleichung auf, die die Wahrscheinlichkeiten beinhaltet:
$E(X)>0$
$E(X)= p_1\cdot x_1+p_2\cdot x_2$
$x_1=5\,\text{€}$ $\quad$ $x_2=-3\,\text{€}$
$p_1=p$ $\quad$ $p_2=1-p$
Setze die Werte in die Gleichung ein und löse sie nach p auf.
$\begin{array}[t]{rll} 5p - 3\cdot(1-p)& >&0 \\[5pt] 5p - 3 + 3p &>& 0&\quad \scriptsize \mid\; +3\\[5pt] 8p &>& 3&\quad \scriptsize \mid\;:8 \\[5pt] p&>& \frac{3}{8} \end{array}$
Die Gegenwahrscheinlichkeit beträgt: $(1-p)=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$
Die Wahrscheinlichkeit für Ergebnis $A$ muss $p >\frac{3}{8}$ und die Gegenwahrscheinlichkeit muss $(1-p) < \frac{5}{8}$ sein, um langfristig gesehen Gewinn zu machen.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App