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Zufallsexperimente

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Ein Experiment, bei dem du das Ergebnis nicht vorhersagen kannst, nennt man Zufallsexperiment. Je nachdem ob du das Experiment einfach oder mehrfach hintereinander durchführst, nennt man das Experiment ein einfaches Zufallsexperiment oder ein mehrstufiges Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment besitzt folgende Eigenschaften:
  • Die Ergebnismenge gibt dir an, welche Ergebnisse dein Experiment haben kann. Du schreibst: $\text{Ergebnismenge}\,\Omega=$$\{\text{Alle möglichen Ergebnisse}\}$
  • Erfüllt dein Ergebnis vorher festgelegte Kriterien, dann tritt ein Ereignis ein. Du schreibst: $\text{Ereignis}\,E=\{\text{Alle Ergebnisse,}$$\text{ die ein bestimmtes Kriterium}$$\text{ erfüllen}\}$
  • Tritt ein Ereignis nicht ein, dann tritt sein Gegenereignis ein. Du schreibst: $\text{Gegenereignis}\,\overline{E}=\{\text{Alle}$$\text{ Ergebnisse, die nicht zum}$$\text{ Ereignis gehören}\}$
Den Ausgang von mehreren Stufen eines mehrstufigen Zufallsexperiments kannst du in einem Baumdiagramm darstellen. Du zeichnest ein Pfadsegment für jedes mögliche Ergebnis ein und gibst die passenden Wahrscheinlichkeiten $p$ an. Das wiederholst du für jede Stufe des Experiments und erhältst das Baumdiagramm.
Willst du die Wahrscheinlichkeit für einen Pfad des Baumdiagramms errechnen, dann verwendest du die $\boldsymbol{1.}$ Pfadregel. Du multiplizierst alle Wahrscheinlichkeiten der Pfadsegmente miteinander.
Willst du die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis, bei dem mehrere Pfade das richtige Ergebnis liefern, berechnen, dann verwendest du die $\boldsymbol{2.}$ Pfadregel. Du addierst die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade, die zu deinem Ereignis gehören.
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Aufgaben
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1.
Tom wirft mit einem klassischen Spielwürfel mit den Zahlen 1 bis 6.
Gib die Ergebnismenge $\Omega$ und die Ereignismenge für das Ereignis: „Tom wirft eine 1“ an.
2.
In einer Urne sind sechs Kugeln: eine rote, zwei schwarze und drei weiße.
Bestimme die Ergebnismenge $\Omega$
3.
Finde zu folgenden Ergebnismengen geeignete Zufallsexperimente.
a)
$\mathbf{\Omega} = \left\{\right.$Hauptgewinn; Gewinn; Niete; Trostpreis$\left.\right\}$
b)
$\mathbf{\Omega} = \left\{\right.$Zahl; Bube; Dame; König; Ass$\left.\right\}$
c)
$\mathbf{\Omega} = \{$männlich, weiblich$\}$
4.
In einer Urne sind 21 Kugeln, davon sind 7 weiß und 14 schwarz.
Zeichne ein Baumdiagramm für zweimaliges Ziehen mit Zurücklegen und trage die Wahrscheinlichkeiten ein.
5.
In einer Urne sind 20 Kugeln: 15 rote und 5 weiße. Zunächst legst du die Kugeln immer zurück in die Urne. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit…
a)
…genau eine weiße Kugel zu ziehen?
b)
…bei dreimaligem Ziehen genau drei rote Kugeln zu ziehen?
c)
…bei viermaligem Ziehen zwei rote und zwei weiße Kugeln zu ziehen?
Nun legst du die Kugeln nicht mehr zurück. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit…
d)
…bei zweimaligem Ziehen eine weiße und eine rote Kugel zu ziehen?
e)
…bei fünfmaligem Ziehen fünf weiße Kugeln zu ziehen?
6.
In einem Beutel sind rote und grüne Murmeln, insgesamt sind es 20 Stück..
Die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Murmeln (mit zurücklegen) zu ziehen, ist 25%. Berechne, wie viele rote Murmeln im Beutel sind.
7.
Du würfelst zwei mal mit einem Würfel.
Sind diese Aussagen wahr oder falsch? Begründe deine Antwort.
a)
Die Wahrscheinlichkeit, zwei gleiche Zahlen zu würfeln, ist kleiner als 10%.
b)
Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Zahlen größer als 3 sind, ist kleiner als 50%.
c)
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 5 ist, ist 11,11%.
d)
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Zahlen 9 ist, ist größer als die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Zahlen 8 ist.
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Lösungen
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1)
Ergebnismenge>Ergebnismenge $\Omega$ bestimmen
Beim Wurf des Würfels gibt es sechs mögliche Ergebnisse: 1, 2, 3, 4, 5 und 6.
Die Ergebnismenge ist $\Omega= \{1;2;3;4;5;6\}$
Ereignismenge bestimme
Das Ereignis: „Tom wirft eine 1“.
Ereignismenge: $E= \{1\}$.
2)
Ergebnismenge bestimmen
Die Ergebnismenge der Urne ist:
$\Omega(\text{Urne})= \left\{\text{rote Kugel;schwarze Kugel;weiße Kugel}\right\}$.
$\Omega$ {Urne} = {rote Kugel;
schwarze Kugel;
weiße Kugel}
3)
Die Lösungen hier sind nur Vorschläge! Es gibt noch andere Zufallsexperimente, die möglich wären.
a)
$\mathbf{\Omega} = \left\{\text{Hauptgewinn};\;\text{Gewinn};\;\text{Niete};\;\text{Trostpreis}\right\}$
$\Omega$ = {Hauptgewinn;
Gewinn;
Niete;
Trostpreis}
$\blacktriangleright$mögliche Zufallsexperimente
  • An einem Glücksrad drehen.
  • Ein Los ziehen.
b)
$\mathbf{\Omega} = \left\{\text{Zahl};\;\text{Bube};\;\text{Dame};\;\text{König};\;\text{Ass}\right\}$
$\Omega$ = {Zahl;
Bube;
Dame;
König;
Ass}
$\blacktriangleright$mögliche Zufallsexperimente
  • Bei einem Kartenspiel musst du eine Karte ziehen. Der Zufall entscheidet über den Wert der Karte.
  • Bei einer Wahrsagerin musst du eine Karte ziehen. Die gezogene Karte hängt auch hier vom Zufall ab.
c)
$\mathbf{\Omega} = \left\{\text{männlich};\;\text{weiblich}\right\}$
$\blacktriangleright$mögliche Zufallsexperimente
  • Die Geburt eines Kindes kann als Zufallsexperiment aufgefasst werden. Die Eltern haben keinen Einfluss auf das Geschlecht des Kindes. Der Zufall entscheidet, ob das Geschlecht des Kindes männlich oder weiblich ist.
  • Um eine Person deiner Klasse für eine bestimmte Aufgabe auszuwählen, schreibt jeder seinen Namen auf einen Zettel. Anschließend kommen diese in ein Gefäß. Ein Zettel wird gezogen. Das Geschlecht der gezogenen Person hängt auch hier vom Zufall ab
4)
Baumdiagramm zeichnen:
Berechne die Wahrscheinlichkeiten:
für die weißen Kugeln: $P(\text{weiß}) = \dfrac{7}{21} = \dfrac{1}{3}$
für die schwarzen Kugeln: $P(\text{schwarz}) = \dfrac{14}{21} = \dfrac{2}{3}$
5)
a)
Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen.
Von insgesamt 20 Kugeln sind 5 Kugeln weiß. $\text{P(weiß)} =\frac{5}{20}= \frac{1}{4}=0,25=25\%$
b)
Wahrscheinlichkeit, drei rote Kugeln zu ziehen.
1. Schritt: Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugeln zu ziehen
Von insgesamt 20 Kugeln sind 15 Kugeln rot. $\text{P(rot)} =\frac{15}{20} =\frac{3}{4}=0,75=75\%$
2. Schritt: Wahrscheinlichkeit, drei rote Kugeln zu ziehen
Berechne die Wahrscheinlichkeit, bei dreimaligem Ziehen genau drei rote Kugeln zu ziehen, mit der 1. Pfadregel.
$\text{P(rrr)}=\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\;=\; 0,421875 \approx 42\%$
c)
Wahrscheinlichkeit, zwei rote und zwei weiße Kugeln zu ziehen.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, bei viermaligem Ziehen zwei rote und zwei weiße Kugeln zu ziehen, mit der 1. Pfadregel.
$\text{P(rrww)}:\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\;=\; 0,0352 $
$\text{P(rwrw)}:\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}\;=\; 0,0352 $
$\text{P(wwrr)}:\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}\;=\; 0,0352 $
$\text{P(wrwr)}:\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}\;=\; 0,0352 $
$\text{P(wrrw)}:\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}\;=\; 0,0352 $
$\text{P(rwwr)}:\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}\;=\; 0,0352 $
Bilde die Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten (2. Pfadregel):
$3,52\%+3,52\%+…\approx 21\%$
d)
Wahrscheinlichkeit, eine rote und eine weiße Kugel zu ziehen ohne zurücklegen
Die Wahrscheinlichkeit, bei zweimaligem Ziehen eine weiße und eine rote Kugel ohne zurücklegen zu ziehen, berechnest du folgendermaßen:
Der Ergebnisraum: $\Omega$ = {(w,r);(r,w)}
Die Wahrscheinlichkeit beim ersten Ziehen beträgt:
$\text{P(weiß)}= \dfrac{1}{4} \,\text{und}\; \text{P(rot)} = \dfrac{3}{4}$
Beim zweiten Ziehen verändert sich nun jedoch die Wahrscheinlichkeit:
Es sind dann nur noch 19 Kugeln in der Urne und somit beträgt die Wahrscheinlichkeit eine rote oder weiße Kugel zu ziehen:
$\text{P(weiß)}=\dfrac{15}{19} = 0,7894 $ und $\text{P(rot)}=\dfrac{5}{19} = 0,263$
Berechne die Wahrscheinlichkeit, zuerst eine weiße und dann eine rote Kugel zu ziehen, mit der 1.Pfadregel.
$\text{P(w,r)} = \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{15}{19}= 0,197 = 19,7 \%$
Die Wahrscheinlichkeit, zuerst eine rote und dann eine weiße Kugel zu ziehen, liegt bei: $\text{P(r,w)} = \dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{5}{19} = 0,197 = 19,7\%$
Bilde die Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten (2. Pfadregel):$19,7\%+19,7\%=39,4\%$
e)
Wahrscheinlichkeit, fünf weiße Kugeln zu ziehen
Berechne die Wahrscheinlichkeit, bei fünfmaligem Ziehen, fünf weiße Kugeln zu ziehen:
Beim ersten Zug liegt die Wahrscheinlichkeit bei $\frac{5}{20}$
Beim zweiten Zug ist eine weiße Kugel weniger und somit auch insgesamt eine Kugel weniger in der Urne. Die Wahrscheinlichkeit liegt bei $\frac{4}{19}$
…usw
Beim fünften Zug sind vier weiße Kugeln weniger und somit auch insgesamt vier Kugeln weniger in der Urne. Die Wahrscheinlichkeit liegt bei $\frac{1}{16}$
$\text{P(w,w,w,w,w)}$ $=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{4}{19}\cdot\dfrac{3}{18}\cdot\dfrac{2}{17}\cdot\dfrac{1}{16}=0,06\%$
Die Wahrscheinlichkeit, fünf weiße Kugeln zu ziehen, beträgt 0,06%
6)
Anzahl roter Murmeln bestimmen
Die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Murmeln (mit zurücklegen) zu ziehen, ist 25%.
1. Pfadregel:
$\text{P(E)}= \text{P(rot)}\cdot \text{P(rot)}=0,25=\frac{1}{4}$
Da insgesamt 20 Murmeln im Beutel sind gilt:
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{1}{4}=&\dfrac{x}{20}\cdot \dfrac{x}{20}\\ \dfrac{1}{4}=&\dfrac{x^2}{400}&\scriptsize \mid\;\cdot 400 \\[5pt] \dfrac{1}{4}\cdot 400=&x^2&\\ 100=&x^2&\scriptsize \mid\;\sqrt{\,}\\ 10=&x&\\ \end{array}$
Es sind somit 10 rote Murmeln in dem Beutel.
7)
Aussagen auf Richtigkeit überprüfen
a)
P(zwei gleiche)$\mathbf{<}$10
Die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Zahl zu werfen ist $\frac{1}{6}$
Die Wahrscheinlichkeit für zwei gleiche Zahlen beträgt:
$\text{P(2 gleiche)}=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}=0,027= 2,7\%$
Die Aussage ist richtig.
b)
P($\mathbf{>}3$)$\mathbf{<}$50%
Eine Zahl größer als 3 werfen: $\text{E}=\left\{4,5,6\right\}$
Die Wahrscheinlichkeit, eine 4, 5 oder 6 zu werfen, kannst du mit der 2.Pfadregel berechnen.
$\text{P(4)}=\dfrac{1}{6}$
$\text{P(5)}=\dfrac{1}{6}$
$\text{P(6)}=\dfrac{1}{6}$
$\text{P($>$3)}=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$
Die Wahrscheinlichkeit für beide Zahlen ist somit:
$P(>3,>3)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}= 25\%.$
Diese Aussage ist richtig.
c)
P(Summe=5) = 11,11%
Es gibt vier verschiedene Möglichkeiten, das die Summe 5 ist.
$\text{E}=\left\{(1,4);(2,3);(4,1);(3,2)\right\}$
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Zahlen 5 ist, mit der 1. Pfadregel.
$\text{P(1,4)}=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{36}$
$\text{P(4,1)}=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{36}$
$\text{P(2,3)}=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{36}$
$\text{P(3,2)}=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{36}$
Berechne mit der 2.Pfadregel, die Wahrscheinlichkeit in der Summe eine 5 zu werfen.
$\text{P(Summe=5)}=\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{36}=\dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9}=11,1\%$
$\text{P(Summe=5)}=\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{36}\\=\dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9}=11,1\%$
Diese Aussage ist richtig.
d)
P(Summe=9)$\mathbf{>}$P(Summe=8)
Es gibt vier verschiedene Möglichkeiten, dass die Summe 9 ist.
$\text{E}=\left\{(\text{3,6});(\text{4,5});(\text{5,4});(\text{6,3})\right\}$
Berechne die Wahrscheinlichkeit wie in c).
$\text{P(Summe=9)}=\dfrac{1}{9}=11,1\%$
Es gibt fünf verschiedene Möglichkeiten, dass die Summe 8 ist.
$\text{E}=\left\{(\text{2,6});(\text{3,5});(\text{4,4});(\text{5,3});(\text{6,2})\right\}$
Berechne die Wahrscheinlichkeit wie in c).
$\text{P(Summe=8)}=\dfrac{5}{36}=13,9\%$
Diese Aussage ist falsch.
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