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Bernoulli-Kette

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Interessiert man sich bei einem einstufigen Zufallsexperiment nur für die beiden Ergebnisse Erfolg und Misserfolg, so spricht man von einem Bernoulli-Experiment.
Eine $n$-fache Aneinanderreihung solcher voneinander unabhängigen Zufallsexperimente, wobei die Erfolgswarscheinlichkeit $p$ bei jeder Wiederholung gleich bleibt, heißt Bernoulli-Kette der Länge $n$.
Die Zufallsvariable $X$, welche die Anzahl der Erfolge bei einem Bernoulli-Experiment zählt, ist binomialverteilt. Ist $p$ die Wahrscheinlichkeit, in einem einzelnen Versuch einen Erfolg zu erzielen, dann gilt für die Wahrscheinlichkeit, in $n$ Versuchen genau $k$ Erfolge zu erzielen:
$P(X=k)=B_{n,p}(k) = \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
$\begin{array}[t]{rll} P(X=k)&=&B_{n,p}(k) \\[5pt] &=&\binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \end{array}$

Beispiel

Eine faire Münze wird $5$ mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dreimal Kopf fällt?
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer fairen Münze Kopf oder Zahl fallen beträgt jeweils $\frac{1}{2}$. Somit gilt $p=\frac{1}{2}$.
Da die Münze zudem $5$ mal geworfen wird gilt $n=5$, wobei $k=3$ die Anzahl der Erfolge (es fällt Kopf) beschreibt. Die Zufallsvariable $X$ beschreibt, wie oft Kopf fällt. Eingesetzt in obige Formel erhältst du:
$P(X=3)=B_{5,\frac{1}{2}}(3) = \binom{5}{3}\cdot \frac{1}{2}^3 \cdot (1-\frac{1}{2})^{5-3}=0,3125$
$P(X=3)=\;…$
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei $5$ Würfen dreimal Kopf fällt $31,25\%$.
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1.  Bei dem Spiel „Mensch ärger Dich nicht“ darf man eine seiner Figuren auf das Feld bringen, sobald man eine Sechs würfelt.
Wie groß ist bei fünfmaligem Würfeln die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse?
a) Genau zweimal wird eine Sechs geworfen.
b) Es wird keine Sechs geworfen.
c) Es wird höchstens einmal eine Sechs geworfen.
d) Es wird mindestens einmal eine Sechs geworfen.
2  Bei einem Losverkauf beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit $\frac{1}{12}$.
a)  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Kauf von sieben Losen genau zweimal zu gewinnen?
b)  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei viermaligem Spielen keinmal zu gewinnen?
c)  Wie oft muss man mitspielen, um mit mindestens $\small{95\,\%}$iger Wahrscheinlichkeit mindestens einmal zu gewinnen?
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1.
Wahrscheinlichkeiten berechnen
Bei dem gegebenen Zufallsereignis gibt es genau zwei mögliche Ergebnisse: entweder man würfelt eine Sechs, oder man würfelt keine Sechs. Wir sprechen dann von einem Bernoulli-Experiment. Die Wahrscheinlichkeit können wir nun berechnen mit
$P(X=k)=B_{n,p}(k)=\left(\begin{array}{r} n\\ k\\ \end{array}\right)\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}$
$P(X=k)=\;…$
$n$ ist dabei die Anzahl, wie oft das Experiment durchgeführt wird; $p$ ist die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu würfeln. Bei einem Würfel mit sechs großen Seiten gilt also $n=5$ und $p=\frac{1}{6}$. Wir sprechen daher von einer Bernoulli-Kette der Länge $5$. Sei $X$ die Zufallsvariable, die die Anzahl der geworfenen „Sechsen“ zählt.
a)
$\small{P(A)=P(X=2)=\left(\begin{array}{r} 5\\ 2\\ \end{array}\right)\cdot \left(\dfrac{1}{6}\right)^2\cdot\left(1-\dfrac{1}{6}\right)^{5-2}=10\cdot \left(\dfrac{1}{6}\right)^2\cdot\left(\dfrac{5}{6}\right)^{3}\approx0,16\mathrel{\widehat{=}}16\%}$
$P(A)=P(X=2)=\;…$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa $16\%$ wird genau zweimal die Sechs geworfen.
b)
$P(B)=P(X=0)=\left(\begin{array}{r} 5\\ 0\\ \end{array}\right)\cdot \left(\dfrac{1}{6}\right)^0\cdot\left(1-\dfrac{1}{6}\right)^{5}=1\cdot\left(\dfrac{5}{6}\right)^{5}\approx0,40\mathrel{\widehat{=}}40\%$
$P(B)=P(X=0)=\;…$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa $40\%$ wird keine Sechs geworfen.
c)
$\begin{array}[t]{rll} P(C)=&P(X\leq1)=P(X=0)+P(X=1)&\scriptsize P(X=0)=0,4\;\text{(s. Aufgabenteil b))}\\[5pt] =&0,4+\binom{5}{1}\cdot\left(\dfrac{1}{6}\right)^1\cdot\left(1-\dfrac{1}{6}\right)^{5-1}\\[5pt] =&\scriptsize{0,4+\dfrac{5}{6}\cdot\left(\dfrac{5}{6}\right)^4=0,4+0,4=0,8\mathrel{\widehat{=}}80\%} \end{array} $
$P(C)=P(X\leq1)=\;…$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa $80\%$ wird höchstens einmal eine Sechs geworfen.
d)
$\begin{array}[t]{rll} P(D)=&P(X\geq1)=1-P(X=0)&\quad\scriptsize \text{Gegenereignis und}\;P(X=0)=0,4 \\[5pt] =&1-0,4=0,6\mathrel{\widehat{=}}60\% \end{array} $
$P(D)=P(X\geq1)=\;…$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa $60\%$ wird mindestens eine Sechs geworfen.
2.
Gewinnwahrscheinlichkeit berechnen
a)
Wahrscheinlichkeit für genau zwei Gewinn-Lose ermitteln
Bei der Ziehung von einem Los handelt es sich um ein Bernoulli-Experiment mit den beiden Ereignissen, dass man entweder ein Gewinnlos, oder eine Niete zieht. Die $n$-fache Ziehung macht aus diesem Experiment eine Bernoulli-Kette der Länge $n$. Somit gilt:
$P(Z=k)=B_{n,p}(k)=\left(\begin{array}{r} n\\ k\\ \end{array}\right)\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}$
$P(Z=k)=\;…$
Die Wahrscheinlichkeit $p$ für ein Los, das gewinnt, wird dir direkt in der Aufgabenstellung gegeben: $p=\frac{1}{12}$. Insgesamt wird eine Stichprobe von 7 Losen betrachtet. Somit ist $n=7$. Sei $Z$ die Zufallsvariable, welche die Anzahl der Gewinn-Lose zählt.
$\begin{array}[t]{rll} P(Z=2)=&B_{7,\frac{1}{12}}(2)\\[5pt] =&\left( {\begin{array}{*{20}c} {7} \\ {2} \\ \end{array}} \right) \cdot(\frac{1}{12})^{2}\cdot\left(1-\frac{1}{12}\right)^{7-2}\\[5pt] =&21\cdot(\frac{1}{12})^2\cdot\left(\frac{11}{12}\right)^5\approx0,094\approx9,4\% \end{array}$
$P(Z=2)=\;…$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa $9,4\%$ befinden sich unter 7 Losen genau 2 Gewinn-Lose.
b)
Wahrscheinlichkeit für keinen Gewinn berechnen
Nun verändert sich $n$ zu $n=4$: Es werden nur 4 Lose gekauft. Die Wahrscheinlichkeit $p$ hingegen bleibt gleich.
$\begin{array}[t]{rll} P(Z=0)=&B_{4,\frac{1}{12}}(0)\\[5pt] =&\left( {\begin{array}{*{20}c} {4} \\ {0} \\ \end{array}} \right) \cdot\frac{1}{12}^{0}\cdot\left(1-\frac{1}{12}\right)^{4-0}\\[5pt] =&1\cdot(\frac{11}{12})^4\approx0,706\approx70,6\% \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa $70,6\%$ befindet sich unter 4 Losen kein einziges Gewinn-Los.
c)
Mindestanzahl der Spiele ermitteln
Um die Anzahl der Versuche zu bestimmen, um mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit von $95\%$ mindestens einen Gewinn zu ziehen, muss $P(Z\geq1)\geq0,95$ gelten:
$\begin{array}[t]{rll} P(Z\geq1)\geq&0,95&\quad\scriptsize \text{Gegenereignis}\\ 1-P(Z=0)\geq&0,95&\quad\scriptsize\mid\;-1 \\ -P(Z=0)\geq&-0,05&\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-1) \\ P(Z=0)\leq&0,05&\quad\scriptsize p=\frac{1}{12}\quad \text{n unbekannt}\\[5pt] \end{array}$
$P(Z\geq1)\geq\;…$
Dabei gilt: $P(Z=0)=B_{n,\frac{1}{12}}(0) $
$\begin{array}[t]{rll} \binom{n}{0}\cdot(\frac{1}{12})^0\cdot\left(1-\frac{1}{12}\right)^{n-0}\leq&0,05\\[5pt] \left(\frac{11}{12}\right)^{n}\leq&0,05&\quad\scriptsize log(\;) \\[5pt] \log{\left(\left(\frac{11}{12}\right)^{n}\right)}\leq&\log{(0,05)}&\quad\scriptsize log(a^n)=n\cdot\log{(a)} \\[5pt] n\cdot\log\left(\frac{11}{12}\right)\leq&\log(0,05)&\quad\scriptsize\mid\;:\log(\left(\frac{11}{12}\right)\quad \text{Achtung:}\; \log(\frac{11}{12})<0\\[5pt] n\geq&\dfrac{\log(0,05)}{\log(\frac{11}{12})}\approx34,43 \end{array}$
$\binom{n}{0}\cdot(\frac{1}{12})^0\cdot\;…$
Es muss mindestens 35 mal gespielt werden, bis man mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\%$ wenigstens einmal gewinnt.
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