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Aufgaben
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Aufgabe 1 - Arithmetisches Mittel

Bestimme das arithmetische Mittel der folgenden Werte:
$2,5\quad\quad 1\quad\quad 12\quad\quad 7,5\quad\quad \frac{3}{2}\quad\quad 6\quad\quad 11\quad\quad \frac{4}{5}\quad\quad 5,2\quad\quad 4,6$
$2,5\quad\quad 1 \;…$

Aufgabe 2 - Erwartungswert

Eine Schule möchte auf dem Schulfest Spenden für eine bessere digitale Ausstattung sammeln. Dazu befinden sich in einer Lostrommel $500$ Lose, darunter $100$ Gewinne und $400$ Nieten.
a)
Lena möchte $6$ Lose kaufen. Mit wie vielen Gewinnen kann sie dabei rechnen?
Lena möchte wenigstens $2$ Gewinne erhalten.
b)
Wie viele Lose muss sie kaufen, damit sie $2$ Gewinne erwarten kann?

Aufgabe 3 - Erwartungswert

Bei einem Glücksspiel werden zwei Würfel gleichzeitig geworfen. Sie sind beide mit den Ziffern $1$ bis $6$ beschriftet und haben wie gewöhnlich sechs Seiten. Je nach dem wie viele gemeinsame Teiler die beiden Augenzahlen haben, wird nach folgender Tabelle ausgezahlt:
Einen gemeinsamen Teiler Zwei gemeinsame Teiler Mehr als zwei gemeinsame Teiler
$0$ Euro $6$ Euro $9$ Euro
Einen gemeinsamen Teiler Zwei gemeinsame Teiler
$0$ Euro $6$ Euro
Es wird ein Einsatz von $3$ Euro gefordert.
a)
Berechne den Erwartungswert dieses Glücksspiels
b)
Ist dieses Spiel fair?
c)
Falls das Spiel nicht fair sein sollte: Wie muss die Gewinnauszahlung für zwei gemeinsame Teiler verändert werden, damit das Spiel fair wird?

Aufgabe 4 - Erwartungswert

Auf einem Jahrmarkt kann ein Glücksrad gedreht werden. Dieses ist in $18$ Bereiche unterteilt, wobei
  • $5$ Bereiche grün und
  • $13$ Bereiche rot sind.
Bei Grün erhält man den das Quadrat des Einsatzes zurück, bei Rot verliert man seinen gesetzten Einsatz. Katja setzt $2$ Euro.
a)
Welchen Gewinn kann Katja erwarten?
b)
Welchen Einsatz sollte Katja setzen, damit sie tatsächlich einen Gewinn erwarten kann?

Aufgabe 5 - Binomialverteilung

In einer Fabrik werden Glühbirnen hergestellt. Die Ausschusrate beträgt $2\;\%$. Diese Glühbirnen werden an einen Großhändler weitergeliefert.
a)
Wie viele Glühbirnen muss dieser kaufen, damit er $10.000$ funktionstüchtige Glühbirnen erhält?
Eine Schachtel, die vom Großhändler verkauft wird, enthält $100$ Glühbirnen.
b)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind genau $5$ Glühbirnen defekt?
c)
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens eine Glühbirne defekt ist?

Aufgabe 6 - Binomialverteilung und Bernoulli-Kette

Ein achtseitiger Würfel beschriftet mit den Ziffern $1$ bis $8$ wird viermal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
a)
Es wird genau zweimal die $3$ gewürfelt.
b)
Der erste Wurf muss eine $1$ sein.
c)
Nur der erste Wurf soll eine $1$ sein.
d)
Es soll einmal eine $4$ und dreimal eine $8$ geworfen werden.

Aufgabe 7 - (Un-)Abhängigkeit

In einer Urne befinden sich $3$ schwarze und $2$ gelbe Kugeln. Es soll sich hierbei um Ziehen ohne Zurücklegen handeln.
a)
Ist das Ziehen einer gelben und schwarzen Kugel stochastisch unabhängig?
Alle Kugeln werden zurück in die Urne gelegt, es bfinden sich also wieder $3$ schwarze und $2$ gelbe Kugeln in der Urne. Ein neuer Versuch wird gestartet, jedoch handelt es sich dieses Mal um Ziehen mit Zurücklegen.
b)
Ist das Ziehen einer gelben und schwarzen Kugel unter den neuen Umständen stochastisch unabhängig?
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Aufgabe 1 - Arithmetisches Mittel

Für das arithmetische Mittel gilt im Allgemeinen folgende Formel:
$\frac{1}{n}\cdot \left(x_1 + x_2 + … + x_n \right)$
$\frac{1}{n}\cdot \left(x_1 + x_2 + … + x_n \right)$
Das heißt, du musst zunächst $n$, die Anzahl aller angegebenen Werte, bestimmen. Insgesamt gibt es $\boldsymbol{n=10}$ Werte. Summiere nun alle Werte auf und teile durch $10$, um das arithmetische Mittel zu erhalten:
$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{n}\cdot \left(x_1 + x_2 + … + x_n \right)&=&\frac{1}{10}\cdot \left(2,5+1+12+7,5+\frac{3}{2}+6+11+\frac{4}{5}+5,2+4,6 \right) &\quad \\[5pt] &=&\frac{1}{10}\cdot \left(52,1 \right) &\quad \\[5pt] &=&5,21 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$5,21$
Das arithmetische Mittel beträgt $5,21$.

Aufgabe 2 - Erwartungswert

a)
Sei $Y$ die Zufallsvariable, die die Anzahl der Gewinne wiedergibt. Für den Erwartungswert von $Y$ gilt dann die folgende Formel:
$E(Y)=p_1 \cdot y_1 + p_2 \cdot y_2 + … + p_n \cdot y_n$
$E(Y)=p_1 \cdot y_1 + p_2 \cdot y_2 + … + p_n \cdot y_n$
Wenn sich insgesamt $500$ Lose in der Trommel befinden und darunter $100$ Gewinne und $400$ Nieten sind, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lena einen Gewinn zieht:
$p=\frac{100}{500}=\frac{1}{5}$.
Sie zieht $6$ Lose, damit lässt sich der Erwartungswert wie folgt berechnen:
$E(Y)=y \cdot p = 6 \cdot \frac{1}{5} = \frac{6}{5}$
Lena kann also mit etwa $\frac{6}{5}=1,2$ Gewinnen rechnen.
b)
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=\frac{1}{5}$ wird ein Gewinn gezogen. Hier ist nun $y$, die Anzahl der gekauften Lose, unbekannt. Dagegen wissen wir aber, dass der Erwartungswert $E(Y)=2$ betragen soll. Damit ergibt sie folgende Gleichung, welche du nach $y$ auflösen kannst:
$\begin{array}[t]{rll} E(Y)&=& y \cdot p&\quad \\[5pt] 2&=& y \cdot \frac{1}{5}&\quad \mid \scriptsize \;\cdot 5\\[5pt] 10&=& y &\quad\\[5pt] \end{array}$
Lena muss folglich $10$ Lose kaufen, damit sie im Schnitt mit $2$ Gewinnen rechnen kann.

Aufgabe 3 - Erwartungswert

a)
Um das Problem mathematisch beschreiben zu können, musst du dir zunächst eine Zufallsvariable definieren. Wir definieren, dass die Zufallsvariable $X$ die Anzahl der gemeinsamen Teiler beider Augenzahlen angibt. Für den Erwartungswert von $X$ gilt dann die folgende Formel:
$E(X)=p_1 \cdot x_1 + p_2 \cdot x_2 + … + p_n \cdot x_n$
$E(X)=p_1 \cdot x_1 + p_2 \cdot x_2 + … + p_n \cdot x_n$
Dabei sind $p_i$ die relativen Wahrscheinlichkeiten, mit denen das Ereignis $x_i$ eintritt. Das heißt, $p_i$ gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Summe von $x_i$ Euro ausgezahlt wird. Dennoch musst du hier beachten, dass man für das Glücksspiel einen Einsatz von $3$ Euro aufbringen muss. Schließlich kann der Gewinn wie folgt angegeben werden:
Einen gemeinsamen Teiler Zwei gemeinsame Teiler Mehr als zwei gemeinsame Teiler
$0-3=-3$ Euro $6-3=3$ Euro $9-3=6$ Euro
Einen gemeinsamen Teiler Zwei gemeinsame Teiler
$0-3=-3$ Euro $6-3=3$ Euro
Ein negativer Gewinn bedeutet hier, dass der Spieler Geld verliert. Da jetzt die $x_i$ bekannt sind, musst du nur noch die relativen Wahrscheinlichkeiten $p_i$ bestimmen. Da diese jedoch von der Anzahl der gemeinsamen Teiler abhängen, betrachten wir zunächst diese:
$1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$
$1$ $1$ $1$ $1$ $1$ $1$ $1$
$2$ $1$ $2$ $1$ $2$ $1$ $2$
$3$ $1$ $1$ $2$ $1$ $1$ $2$
$4$ $1$ $2$ $1$ $3$ $1$ $2$
$5$ $1$ $1$ $1$ $1$ $2$ $1$
$6$ $1$ $2$ $2$ $2$ $1$ $4$
Zum Beispiel: Die Zahl $3$ hat mit der Zahl $6$ zwei gemeinsame Teiler ($1$ und $3$). Weiterhin kannst du feststellen, dass es keinen Unterschied macht, ob du die Teiler von $(4,5)$ oder $(5,4)$ betrachtest. Dementsprechend gibt es dann insgesamt $\boldsymbol{21}$ verschiedene Kombinationen, davon haben zwei Zahlen:
  • Einen gemeinsamen Teiler: $12$
  • Zwei gemeinsame Teiler: $7$
  • Drei oder mehr gemeinsame Teiler: $2$
Jetzt kannst du alle Werte einsetzen und erhältst:
$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& \frac{12}{21} \cdot (-3) + \frac{7}{21}\cdot 3 + \frac{2}{21}\cdot 6&\quad \\[5pt] &=& -\frac{12}{7} + 1 + \frac{4}{7}&\quad \\[5pt] &=& -\frac{1}{7}&\quad \\[5pt] \end{array}$
Der Erwartungswert beträgt demnach $-\frac{1}{7}\approx -0,14$ Euro, das heißt, der Spieler kann erwarten, dass er ungefähr $14$ Cent pro Spiel verliert.
b)
Ein Spiel ist genau dann fair, wenn $\boldsymbol{E(X)=0}$ gilt, also wenn weder Verlust noch Gewinn gemacht werden kann. Da du aber zuvor in Teilaufgabe a) bestimmt hast, dass man mit einem Verlust von $14$ Cent rechnen kann, ist dieses Glücksspiel nicht fair ist.
c) Damit das Spiel fair ist, muss $E(X)=0$ gelten. Um das zu erreichen, kannst du den Gewinn für das Ereignis zwei gemeinsame Teiler verändern. Wir erhalten also die folgende Gleichung, wenn wir den Gewinn von $3$ Euro durch eine unbekannte Variable $x$ ersetzen:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& \frac{12}{21} \cdot (-3) + \frac{7}{21}\cdot x + \frac{2}{21}\cdot 6&\quad \\[5pt] 0&=& -\frac{12}{7} + \frac{1}{3}\cdot x + \frac{4}{7}&\quad \\[5pt] 0&=& -\frac{8}{7} + \frac{1}{3}\cdot x &\quad \mid\; \scriptsize +\frac{8}{7}\\[5pt] \frac{8}{7}&=& \frac{1}{3}\cdot x &\quad \mid\; \scriptsize \cdot 3\\[5pt] \frac{24}{7}&=&x &\quad \\[5pt] \end{array}$
$\frac{24}{7}=x$
Der Gewinn für zwei gemeinsame Teiler muss also $\frac{24}{7} \approx 3,43$ Euro betragen, damit das Spiel für alle Beteiligten fair bleibt. (Bei einem Einsatz von $3$ Euro müssen dann laut Tabelle $3,43+3=6,43$ Euro ausgezahlt werden.)

Aufgabe 4 - Erwartungswert

a)
Bei dem so konstruierten Glücksspiel ist der Gewinn vom Einsatz $x$ abhängig. Die Wahrscheinlichkeit, dass Katja gewinnt, beträgt
$p=\frac{5}{18}$.
Den Erwartungswert kannst du dann folgendermaßen bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& x^2 \cdot p&\quad \\[5pt] &=& 2 \cdot 2 \cdot \frac{5}{18}&\quad \\[5pt] &=& \frac{20}{18}&\quad \\[5pt] &=& \frac{10}{9}&\quad \\[5pt] \end{array}$
Katja kann einen Gewinn von $\frac{10}{9} \approx 1,1$ Euro erwarten.
b)
Im Aufgabenteil zuvor hat Katja $2$ Euro gesetzt, kann aber nur mit einem Gewinn von etwa $1,1$ rechnen. Wie groß muss also der Einsatz sein, damit sie keinen Verlust und gegebenenfalls sogar Gewinn macht? Dazu kannst du folgende Ungleichung aufstellen:
$x \leq E(X) \Leftrightarrow x \leq x^2 \cdot \frac{5}{18}$
Erklärung: Auf der linken Seite steht der Einsatz, sprich der Verlust, den Katja bei einem Einsatz $x$ machen würde. Dieser soll jedoch kleiner gleich dem erwarteten Gewinn auf der rechten Seite sein. Löst du nun nach $x$ auf, erhältst du einen möglichen Betrag, den Katja setzen kann, damit sie voraussichtlich keinen Verlust macht.
$\begin{array}[t]{rll} x&\leq & x^2 \cdot \frac{5}{18}&\quad \mid \; \scriptsize -x\\[5pt] 0&\leq & x^2 \cdot \frac{5}{18}-x&\quad \mid \; \scriptsize x \text{ ausklammern}\\[5pt] 0&\leq & x \left(x \cdot \frac{5}{18}-1\right)&\quad \\[5pt] \end{array}$
$x\leq=\;…$
Nach dem Satz vom Nullprodukt wäre hier $x=0$ eine zulässige Lösung. Dennoch bedeutet ein Einsatz von Null Euro, dass man am Spiel nicht teilnimmt. Überprüfe also, wann der Term in der Klammer größer gleich Null wird.
$\begin{array}[t]{rll} 0&\leq & x \cdot \frac{5}{18}-1&\quad \mid \; \scriptsize +1\\[5pt] 1&\leq & x \cdot \frac{5}{18}&\quad \mid \; \scriptsize \cdot \frac{18}{5}\\[5pt] \frac{18}{5}&\leq & x &\quad \\[5pt] \end{array}$
Bei einem Einsatz von mehr als $\frac{18}{5}=3,60$ Euro macht Katja bei diesem Glücksspiel Gewinn.

Aufgabe 5 - Binomialverteilung

a)
Der Großhändler möchte insgesamt $10.000$ funktionstüchtige Glühbirnen erwerben. Da aber eine Ausschussrate von $p=0,02$ vorliegt, muss er jedoch mehr als $10.000$ Glühbirnen kaufen. Um herauszufinden, wie groß die unbekannte Anzahl $X$ der Glühbirnen ist, kannst du folgende Überlegung vornehmen:
Sind jeweils $2\;\%$ defekt, so heißt das gerade, dass $98\;\%=0,98$ funktionsfähig sind. Du kannst also die unbekannte Anzahl $X$ mit $0,98$ multiplizieren, um die Anzahl aller nicht defekten Birnen unter den gekauften zu erhalten. Diese Anzahl soll gerade $10.000$ entsprechen. In einer mathematischen Gleichung ausgedrückt heißt das:
$\begin{array}[t]{rll} X \cdot 0,98&=&10.000&\quad \mid\; \scriptsize : 0,98\\[5pt] X &=&10.204,1&\quad \\[5pt] \end{array}$
Der Großhändler muss folglich etwa $10.204$ Glühbirnen kaufen, damit $10.000$ funktionsfähig sind.
b)
In einer Schachtel befinden sich $100$ Glühbirnen. Auch in dieser Schachtel ist mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=0,02$ eine Glühbirne defekt. Es gibt nur die Möglichkeiten, dass eine Glühbirne defekt oder nicht defekt ist. Außerdem bleibt die Wahrscheinlichkeit für jede Glühbirne gleich, dass sie defekt ist. Es handelt sich hierbei also um eine Binomialverteilung mit den Parametern $n=100$ und $p=0,02$. Die allgemeine Formel für die Binomialverteilung lautet, sofern die Zufallsvariable $X$ die Anzahl der defekten Birnen beschreibt:
$P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot (p)^k \cdot (1-p)^{n-k}$
$P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot (p)^k \cdot (1-p)^{n-k}$
Willst du also die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass $5$ Birnen defekt sind, so kannst du die Werte $n=100$, $p=0,02$ und $k=5$ einsetzen und ausrechnen:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=5)&=& \binom{100}{5}\cdot (0,02)^5 \cdot (1-0,02)^{100-5}&\quad \\[5pt] &=& \binom{100}{5}\cdot (0,02)^5 \cdot (0,98)^{95}&\quad \\[5pt] &=& 75.287.520 \cdot (0,02)^5 \cdot (0,98)^{95}&\quad \\[5pt] &\approx& 0.0353&\quad \\[5pt] \end{array}$
$P(X=5)=\;…$
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich $5$ defekte Birnen in der Schachtel befinden, beträgt $3,53\;\%$.
c) Soll höchstens eine Glühbirne defekt sein, so suchen wir die Wahrscheinlichkeit
$P(X \leq 1)=P(X=0)+P(X=1)$
Berechne diese Wahrscheinlichkeiten wie zuvor und addiere sie anschließend:
$\begin{array}[t]{rll} P(X\leq 1)&=& P(X=0)+P(X=1)&\quad \\[5pt] &=& \binom{100}{0}\cdot (0,02)^0 \cdot (0,98)^{100}+\binom{100}{1}\cdot (0,02)^1 \cdot (0,98)^{99}&\quad \\[5pt] &=& 1 \cdot 1 \cdot (0,98)^{100}+ 100 \cdot 0,02 \cdot (0,98)^{99}&\quad \\[5pt] &\approx& 0.4033&\quad \\[5pt] \end{array}$
$P(X\leq 1)=\;…$
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich höchstens eine defekte Birne in der Schachtel befindet, beträgt $40,33\;\%$.

Aufgabe 6 - Binomialverteilung und Bernoulli-Kette

a)
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebige Ziffer geworfen wird, ist für alle Ziffern gleich und beträgt $\boldsymbol{p=\frac{1}{8}}$. Es soll nun $\boldsymbol{n=4}$ geworfen werden. Soll darunter genau zweimal die $3$ gewürfelt werden, so ist die Wahrscheinlichkeit $P(X=2)$ gesucht, wenn die Zufallsvariable $X$ die Anzahl der gewürfelten Zahl angibt.
Setze in die Formel der Binomialverteilung ein und berechne:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=k)&=& \binom{n}{k}\cdot (p)^k \cdot (1-p)^{n-k}&\quad \\[5pt] P(X=2)&=& \binom{4}{2}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)^2 \cdot \left(1-\frac{1}{8}\right)^{4-2}&\quad \\[5pt] &=& 6 \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^2 \cdot \left(\frac{7}{8}\right)^{2}&\quad \\[5pt] &\approx& 0,0718&\quad \\[5pt] \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $7,17\;\%$ wird zweimal eine $3$ unter vier Würfen geworfen.
b)
Soll der erste Wurf eine $1$ sein, so ist es egal, ob die darauffolgenden drei Würfe ebenfalls eine $1$ oder andere Ziffern zeigen. Du kannst also davon ausgehen, dass nur einmal $\boldsymbol{n=1}$ gewürfelt wird. Die Wahrscheinlichkeit, eine $1$ zu würfeln, bleibt mit $\boldsymbol{p=\frac{1}{8}}$ gleich.
$\begin{array}[t]{rll} P(X=k)&=& \binom{n}{k}\cdot (p)^k \cdot (1-p)^{n-k}&\quad \\[5pt] P(X=1)&=& \binom{1}{1}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)^1 \cdot \left(1-\frac{1}{8}\right)^{1-1}&\quad \\[5pt] &=& 1 \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^1 \cdot \left(\frac{7}{8}\right)^{0}&\quad \\[5pt] &=& \frac{1}{8}&\quad \\[5pt] &\approx& 0,125&\quad \\[5pt] \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $12,50\;\%$ wird zu Beginn eine $1$ unter vier Würfen geworfen.
c)
Soll nur der erste Wurf eine $1$ sein, so dürfen alle folgenden Augenzahlen keine $1$ sein. In desem Fall ist es also sinnvoll mit einer Bernoulli-Kette zu arbeiten. Interpretiere den Sachvarhalt als Baumdiagramm:
  • Zuerst wird mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{8}$ eine $1$ geworfen.
  • Anschließend soll dreimal keine $1$ geworfen werden. Eine Zahl ungleich $1$ zu werfen, hat die Wahrscheinlichkeit $1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$
Mit Hilfe der Pfadmultiplikation erhältst du schließlich:
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{"Nur 1. Wurf eine 1"})&=& \frac{1}{8} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{7}{8} &\quad \\[5pt] &=& \frac{1}{8} \cdot \frac{7}{8}^3 &\quad \\[5pt] &\approx& 0,0837 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$P(\text{"Nur 1. Wurf eine 1"})=$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $8,37\;\%$ wird nur zu Beginn eine $1$ unter vier Würfen geworfen.
d)
Unter den vier Würfen soll nun einmal eine $4$ und dreimal eine $8$ geworfen werden. Auch hier empfiehlt es sich, mit einer Bernoulli-Kette zu arbeiten. Hier ist im Gegensatz zur Teilfaufgabe zuvor die Reihenfolge, in der die Ziffern auftreten, nicht von Bedeutung. Daher gibt es mehrere Möglichkeiten, ein solches Ergebnis zu erhalten:
  • $4\quad$ - $\quad 8\quad$ - $\quad 8\quad$ - $\quad 8$
  • $8\quad$ - $\quad 4\quad$ - $\quad 8\quad$ - $\quad 8$
  • $8\quad$ - $\quad 8\quad$ - $\quad 4\quad$ - $\quad 8$
  • $8\quad$ - $\quad 8\quad$ - $\quad 8\quad$ - $\quad 4$
Es gibt also $4$ Möglichkeiten, dass das Ergebnis einmal $4$, dreimal $8$ auftritt. Da die Multiplikation kommutativ ist, kannst du die Wahrscheinlichkeit für einen der vier Fälle berechnen und mit der Anzahl der Möglichkeiten multiplizieren:
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{"einmal 4, dreimal 8"})&=& 4 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8} &\quad \\[5pt] &=& 4 \cdot \frac{1}{8}^4 &\quad \\[5pt] &\approx& 0,0010 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$P(\text{"einmal 4, dreimal 8"})=\;…$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,1\;\%$ wird unter vier Würfen einmal eine $4$ und dreimal eine $8$ geworfen.

Aufgabe 7 - (Un-)Abhängigkeit

a)
In einer Urne befinden sich $3$ schwarze und $2$ gelbe Kugeln. Es soll sich hierbei um Ziehen ohne Zurücklegen handeln. Ein Ereignis ist genau dann stochastisch unabhängig, wenn für zwei Ereignisse $S$ und $G$ gilt:
$P(S \cap G)=P(S) \cdot P(G)$
$P(S \cap G)=P(S) \cdot P(G)$
Berechne also die einzelnen Wahrscheinlichkeiten $P(S)$, $P(G)$ und $P(S \cap G)$ und überprüfe. Da sich $3$ schwarze Kugeln von insgesamt $5$ in der Urne befinden, muss $P(S)=\frac{3}{5}$ gelten. Analog gilt dann auch $P(G)=\frac{2}{5}$. Für den Durchschnitt beider Ereignisse können wir die folgende Formel verwenden:
$P(S \cap G)= P(S)\cdot P_S(G)$
Hierbei ist $P_S(G)$ die Wahrscheinlichkeit, dass eine gelbe Kugel gezogen wird, wenn zuvor bereits eine schwarze Kugel gezogen wurde. Bei diesem Vorgang wird nur die gesamte Anzahl der Kugeln um $1$ vermindert, aber nicht die Anzahl der gelben Kugeln, daher gilt: $P_S(G)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$. Eingesetzt erhältst du folglich:
$\begin{array}[t]{rll} P(S \cap G)&=& P(S)\cdot P_S(G)&\quad \\[5pt] &=& \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}&\quad \\[5pt] &=& \frac{3}{10}&\quad \\[5pt] \end{array}$
Berechnest du nun das Produkt aus $P(S)$ und $P(G)$, so kannst du jedoch feststellen:
$\begin{array}[t]{rll} P(S) \cdot P(G)&=& \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}&\quad \\[5pt] &=& \frac{6}{25}&\quad \\[5pt] \end{array}$
Es gilt $P(S \cap G)=\frac{3}{10}\neq \frac{6}{25}=P(S) \cdot P(G)$. Damit stimmt der Durchschnitt nicht mit dem Produkt überein, demnach liegt hier keine stochastische Unabhängigkeit vor.
b)
Eine neuer Versuch wird gestartet, dieses Mal handelt es sich jedoch um Ziehen mit Zurücklegen. Berechne also die einzelnen Wahrscheinlichkeiten $P(S)$, $P(G)$ und $P(S \cap G)$ und überprüfe. Da sich $3$ schwarze Kugeln von insgesamt $5$ in der Urne befinden, muss $P(S)=\frac{3}{5}$ gelten. Analog gilt dann auch $P(G)=\frac{2}{5}$. Für den Durchschnitt beider Ereignisse können wir auch hier die folgende Formel verwenden:
$P(S \cap G)= P(S)\cdot P_S(G)$
Hierbei ist $P_S(G)$ die Wahrscheinlichkeit, dass eine gelbe Kugel gezogen wird, wenn zuvor bereits eine schwarze Kugel gezogen wurde. Bei diesem Vorgang wird dieses Mal nicht die gesamte Anzahl der Kugeln um $1$ vermindert, da es sich um Ziehen mit Zurücklegen handelt. Daher gilt: $P_S(G)=\frac{2}{5}$. Eingesetzt erhältst du folglich:
$\begin{array}[t]{rll} P(S \cap G)&=& P(S)\cdot P_S(G)&\quad \\[5pt] &=& \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}&\quad \\[5pt] &=& \frac{6}{25}&\quad \\[5pt] \end{array}$
Berechnest du nun das Produkt aus $P(S)$ und $P(G)$, so kannst du feststellen:
$\begin{array}[t]{rll} P(S) \cdot P(G)&=& \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}&\quad \\[5pt] &=& \frac{6}{25}&\quad \\[5pt] \end{array}$
Es gilt $P(S \cap G)= \frac{6}{25}=P(S) \cdot P(G)$. Damit stimmt der Durchschnitt mit dem Produkt überein, demnach liegt hier stochastische Unabhängigkeit vor.
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