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Zufallsvariable

Spickzettel
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Eine Variable $X$, deren Wert zufällig gebildet wird, nennt man eine Zufallsvariable.
Der Erwartungswert einer Zufallsvariable ist der Durchschnittswert der Ergebnisse.
Sind $x_1, x_2,…, x_n$ die Ergebnisse eines Experiments und
sind $p_1, p_2,…, p_n$ die Wahrscheinlichkeiten für jedes dieser Ergebnisse, dann ist
$E(X)=p_1\cdot x_1 + p_2\cdot x_2 + …. + p_n\cdot x_n$
der Erwartungswert der Zufallsvariable $X$.

Beispiel

Ein Wurf mit einem Würfel ist ein Zufallsexperiment. Die möglichen Ergebnisse beim Würfeln sind $x_1=1$, $x_2=2$, …, $x_6=6$ und die Wahrscheinlichkeiten sind $p_1, p_2,…, p_n=\frac{1}{6}$.%
$\begin{array}{} E(X)&=&\frac{1}{6}\cdot 1 + \frac{1}{6}\cdot 2 + \frac{1}{6}\cdot 3 + \frac{1}{6}\cdot 4 + \frac{1}{6}\cdot 5 + \frac{1}{6}\cdot 6\\ &=& \frac{1}{6} + \frac{2}{6} + \frac{3}{6} + \frac{4}{6} + \frac{5}{6} + \frac{6}{6}=\frac{21}{6}=3,5 \end{array}$
$E(X)=\;…$
Wenn du sehr oft würfelst und den Durchschnitt der Ergebnisse bildest, dann erhälst du den Wert 3,5.
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Aufgaben
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1.
Welche dieser Aussagen beinhaltet eine Zufallsvariable? Erkläre deine Antwort kurz und gib, falls möglich, die Zufallsvariable an.
a)
Die Dauer der Fahrzeit von Frankfurt nach Berlin mit der Deutschen Bahn beträgt 4 Stunden und 13 Minuten.
b)
Du gewinnst bei Schere, Stein, Papier.
c)
Ein Stein, der fallen gelassen wird, fällt auf den Boden.
d)
Die Lebenszeit einer Fliege beträgt oft nur wenige Tage.
e)
Jedes Lebewesen stirbt irgendwann.
2.
Die Lebensdauer eines Notebooks ist eine Zufallsvariable.
Ein Hersteller hat für seine Produkte diese Liste aufgestellt:
Lebensdauer $d$Wahrscheinlichkeit
$6 < d \leq 12$$5\,\%$
$12 < d \leq 16 $$20\,\%$
$16 < d \leq 20$$25\,\%$
$20 < d \leq 24$$35\,\%$
$24 < d \leq 36 $$10\,\%$
$36 < d $$5\,\%$
a)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ein Laptop älter als 24 Monate?
b)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit hält ein Laptop zwischen 12 und 24 Monaten?
3.
In einem Beutel befinden sich Kugeln mit Nummern darauf. Es sind fünf Kugeln mit der 1, sieben Kugeln mit der 2 und neun Kugeln mit der 3 im Beutel. Das Ziehen einer Kugel ist ein Laplace-Experiment.
a)
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, direkt hintereinander zwei Zweien ohne zurücklegen zu ziehen?
b)
Berechne den Erwartungswert.
4.
Du wettest mit einem Freund um den Ausgang eines Spiels, deren Wahrscheinlichkeiten ihr nicht kennt. Das Spiel hat nur zwei Ergebnisse: A und B.
Tritt A ein, dann erhältst du 5 €, tritt B ein, dann musst du 3 € bezahlen.
Wie müssen die Wahrscheinlichkeiten sein, falls du langfristig im Durchschnitt Gewinn machen willst (E(X)>0)?
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Lösungen
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1.
Aussagen überprüfen
a)
Ja, diese Aussage beinhaltet eine Zufallsvariable. Die Zugfahrt dauert nie exakt gleich lange und ist somit zufällig.
b)
Ja, diese Aussage beinhaltet eine Zufallsvariable, weil es zufällig ist ob du gewinnst oder verlierst.
c)
Nein, diese Aussage enthält keine Zufallsvariable, das Experiment hat immer den gleichen Ausgang.
d)
Ja, diese Aussage enthält eine Zufallsvariable, da der Todeszeitpunkt einer Fliege zufällig ist.
e)
Diese Aussage enthält keine Zufallsvariable sondern ist eine Tatsache.
2.
Lebensdauer von Notebooks
a)
Wahrscheinlichkeit berechnen:
Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Monate kannst du aus der Tabelle ablesen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Laptop älter als 24 Monate wird beträgt:
$P(24 < d \leq 36)= 10 \,\%$
$P(36< d)= 5 \,\%$
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit insgesamt:
$P(>24) = P(24 < d \leq 36) + P(36< d) = 10\,\% + 5\,\% = 15\,\%.$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $15\,\% $ wird ein Laptop älter als 24 Monate.
b)
Wahrscheinlichkeit berechnen:
Entnehme die Wahrscheinlichkeiten der Tabelle:
$P(12\text{ bis } 24) = P(12 < d \leq 16) + P(16 < d \leq 20) + P(20 < d \leq 24) = 20\,\% + 25\,\% + 35\,\% = 80\,\%$
$P(12\text{ bis } 24) =\;…$
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Laptop zwischen 12 und 24 Monate hält, beträgt 80%.
3.
Wahrscheinlichkeit berechnen
a)
Wahrscheinlichkeit berechnen:
Insgesamt sind $5+7+9= 21$ Kugeln in dem Beutel.
Die Wahrscheinlichkeit eine 2 zu ziehen beträgt:
$P(2)=\dfrac{7}{21}=\dfrac{1}{3}$
Die Wahrscheinlichkeit bei einem zweiten Zug erneut eine 2 zu ziehen, nachdem die erste Kugel nicht zurückgelegt wurde beträgt:
$P(2)=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}$
Berechne die Wahrscheinlichkeit, direkt hintereinander zwei Zweien zu ziehen, ohne die Kugel zurückzulegen:
$P(2,2)= P(2)\cdot P(2)=\dfrac{1}{3}\cdot{\dfrac{3}{10}}=0,1=10\%$
$P(2,2)=\;…$
Die Wahrscheinlichkeit, zwei Zweien hintereinander zu ziehen, ist 10%.
b)
Erwartungswert berechnen:
Den Erwartungswert errechnest du mit dieser Formel:
$E(X)= p_1\cdot x_1+p_2\cdot x_2+p_3\cdot x_3$
Setze für $x_1$ bis $x_3$ die Nummer der Kugel und für $p_1$ bis $p_3$ die entsprechende Wahrscheinlichkeit ein.
$E(X)= \left(\dfrac{5}{21}\cdot1\right)+\left(\dfrac{7}{21}\cdot2\right)+\left(\dfrac{9}{21}\cdot3\right)$
$E(X)=\;…$
$E(X)\approx 2,2$
Der Erwartungswert beträgt 2,2.
4.
Wahrscheinlichkeit einer Wette bestimmen
Tipp:
Die Wahrscheinlichkeit ist p.
Die Gegenwahrscheinlichkeit ist $1 -p.$
Stelle eine Gleichung auf, die die Wahrscheinlichkeiten beinhaltet:
$E(X)>0$
$E(X)= p_1\cdot x_1+p_2\cdot x_2$
$x_1=5\,\text{€}$ $\quad$ $x_2=3\,\text{€}$
$p_1=p$$\quad$ $p_2=1-p$
Setze die Werte in die Gleichung ein und löse sie nach p auf.
$\begin{array}[t]{rll} 5p - 3\cdot(1-p)& > & 0&\quad \scriptsize \mid\; \\[5pt] 5p - 3 + 3p &>& 0&\quad \scriptsize \mid\; +3\\[5pt] 5p + 3p &>& 3\\[5pt] 8p &> & 3&\quad \scriptsize \mid\; :8\\[5pt] p&>& \frac{3}{8} \end{array}$
Die Gegenwahrscheinlichkeit beträgt: $(1-p)=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$
Die Wahrscheinlichkeit muss $p >\frac{3}{8}$ und die Gegenwahrscheinlichkeit muss $(1-p)<\frac{5}{8}$ sein, um langfristig gesehen Gewinn zu machen.
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