Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Gemeinschaftsschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 8
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Grundkurs
Erweiterungskurs
VERA 8 Gymnasium
VERA 8 Realschule
VERA 8 Hauptschule
VERA 8 Gymnas...
Prüfung
wechseln
VERA 8 Gymnasium
VERA 8 Realschule
VERA 8 Hauptschule
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Allgemeines Dreieck

Spickzettel
Download als Dokument:PDF
Dreieck: Allgemeines Dreieck
Ein Dreieck besteht allgemein aus drei beliebig langen Seiten $a$, $b$ und $c$. Die Summe der Winkel in jedem Dreieck beträgt $180°$. Die Höhe des Dreiecks steht senkrecht auf der jeweiligen Seite und teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke.
Dreieck: Allgemeines Dreieck Ein Dreieck besteht allgemein aus drei beliebig langen Seiten $a$, $b$ und $c$. Die Summe der Winkel in jedem Dreieck beträgt $180°$. Die Höhe des Dreiecks steht senkrecht auf der jeweiligen Seite und teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke.
In einem Dreieck gelten folgende Regeln für:
  • Fläche: $A=\dfrac{1}{2}\cdot c\cdot h_c$
  • Umfang: $u=a+b+c$
  • Höhe: $h_c=\sqrt{b^2-c_1\;^2}=\sqrt{a^2-c_2\;^2}$
  • Winkel: $\alpha+ \beta+\gamma=180^{\circ}$
Für jedes Dreieck gelten folgende Sätze:
  • Außenwinkelsatz:$\;\alpha '= \beta+\gamma$
  • Satz von den Winkelweiten im Dreieck: Zur längeren Seiten gehört der größere gegenüberliegender Winkel: Ist $a\gt b$, so ist $\alpha\gt \beta$
  • Kehrsatz von den Winkelweiten im Dreieck: Zum größeren Winkel gehört die längere gegenüberliegende Seite: Ist $\alpha\gt \beta$, so ist $a\gt b$
  • Satz von Umweg: Die Summe der Längen zweier Seiten ist immer größer als die Länge der Dritten:
    • $a+b\gt c$
    • $b+c\gt a$
    • $a+c\gt b$
    Diese Ungleichungen werden Dreiecksungleichungen genannt.
Errechne aus gegebenen Größen den Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks mit $c=4\,\text{cm}$ und $h_c=2,5\,\text{cm}$.
$ \begin{array}{rl} A=&\dfrac{1}{2}\cdot c\cdot h_c\\[5pt] A=&\dfrac{1}{2}\cdot 4\,\text{cm}\cdot 2,5\,\text{cm}=5\,\text{cm}² \end{array} $
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Aufgaben
Download als Dokument:PDF
Bearbeite die folgenden Aufgaben.
Tipp:
Achte darauf, dass du für das bessere
Verständnis stets eine Skizze erstellst.
Dreieck: Allgemeines Dreieck
Dreieck: Allgemeines Dreieck Bearbeite die folgenden Aufgaben.
Tipp:
Achte darauf, dass du für das bessere
Verständnis stets eine Skizze erstellst.
1.  Ein Dreieck hat die Winkel $\alpha=70^{\circ}$ und $\beta=50^{\circ}$. Wie groß ist der Winkel $\gamma$?
Berechne zu jedem Winkel den Außenwinkel.
2.  Von einem Dreieck sind folgende Angaben bekannt:
$c=4\,\text{cm}$, $h_c=2\,\text{cm}$, $\alpha=70^{\circ}$ und $u=9,9\,\text{cm}$
Bestimme die Länge der Seiten $a$ und $b$.
3.  Welchen Umfang hat das Dreiecks mit der Seitenlänge $c=6\,\text{cm}$, $b=3\,\text{cm}$,
$h_c=2\,\text{cm}$ und dem Winkel $\beta=30^{\circ}$?
4.  Gib den Flächeninhalt eines Dreiecks mit der Höhe $h_c=3\,\text{cm}$
und der Seite $c=6\,\text{cm}$ an.
5.  Gegeben ist ein beliebiges Dreieck mit der Seitenlänge $a=4\,\text{cm}$ und $c=6\,\text{cm}$.
Der Winkel $\beta$ hat eine Größe von $\beta=30^{\circ}$.
Berechne die Fläche und den Umfang des Dreiecks.
6.  Rund um einen Badesee gibt es 3 Strandbäder. Vom Strandbad $A$ kann man die beiden anderen Strandbäder im Winkel von $\alpha=55°$ sehen. Die Entfernung von Strandbad $A$ und $B$ beträgt $c=3\,\text{km}$ und von Strandbad $A$ und $C$ beträgt $b=2\,\text{km}$.
Wie weit ist das Strandbad $B$ von $C$ entfernt.
Dreieck: Allgemeines Dreieck
Dreieck: Allgemeines Dreieck
7.  Der Kirchturm in Suurhusen bei Emden ist der schiefste Turm der Welt. Der $27\,\text{m}$ hohe Turm ist um $2,47\,\text{m}$ geneigt. Der Pastor Wessels sitzt im Abstand $a=40\,\text{m}$ vor dem zu ihm geneigten Turm.
In welchem Winkel sieht der Pastor die Kirchturmspitze?
Dreieck: Allgemeines Dreieck
Dreieck: Allgemeines Dreieck
8.  Von einem gleichschenkligen Dreieck sind folgende Angaben bekannt:
$c=8 \;\text{cm}$ und $\alpha=45°$.
Konstruiere das Dreieck $ABC$.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1. Winkel $\boldsymbol\gamma$
Die Winkelsumme im Dreieck beträgt $180^{\circ}$:
$\begin{array}[t]{rll} \alpha+\beta+\gamma&=\; 180 ^{\circ}&\quad \scriptsize \\[5pt] 70^{\circ}+50^{\circ}+\gamma&=\; 180^{\circ}&\\[5pt] 120^{\circ}+\gamma&=\; 180^{\circ}& \quad \scriptsize \mid \;-120^{\circ}\\[5pt] \gamma&=\; 60^{\circ}&\\[5pt] \end{array}$
Der gesuchte Winkel ist $\boldsymbol{\gamma=60^{\circ}}$.
Um die Außenwinkel zu berechnen, wende den Außenwinkelsatz an:
  • $\alpha'=\beta+\gamma=50^{\circ}+60^{\circ}=110^{\circ}$
  • $\beta'=\alpha+\gamma=70^{\circ}+60^{\circ}=130^{\circ}$
  • $\gamma'=\alpha+\beta=70^{\circ}+50^{\circ}=120^{\circ}$
Die gesuchte Außenwinkel sind: $\boldsymbol{\alpha'=110^{\circ}, \;\beta'=130^{\circ},\;\gamma'=120^{\circ}}$.
2.  Seitenlängen b
$ \begin{array}{rll} \sin\;\alpha=&\dfrac{h_c}{b}&\scriptsize \text{umstellen}\\[5pt] b=&\dfrac{h_c}{\sin\;\alpha }&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] b=&\dfrac{2 \text{ cm}}{\sin\;70^{\circ}}\\[5pt] b=&\dfrac{2 \text{ cm}}{0,94}\\[5pt] b\approx&2,1 \text{ cm} \end{array} $
Seitenlängen a
$ \begin{array}{rll} u=&a+b+c&\scriptsize \text{umstellen}\\[5pt] a=&u-b-c&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] a=&9,9 \text{ cm}-2,1 \text{ cm}-4 \text{ cm}\\[5pt] a=&3,8 \text{ cm} \end{array} $
3.  Umfang berechnen
1. Schritt: Seitenlänge a
$ \begin{array}{rll} \sin\;\beta=&\dfrac{h_c}{a}&\scriptsize \text{umstellen}\\[5pt] a=&\dfrac{h_c}{\sin\;\beta }&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] a=&\dfrac{2 \text{ cm}}{\sin\;30^{\circ}}\\[5pt] a=&4 \text{ cm}\\[5pt] \end{array} $
2. Schritt: Umfang berechnen
$ \begin{array}{rll} u=&a+b+c&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] u=&4 \text{ cm}+3 \text{ cm}+6 \text{ cm}\\[5pt] u=&13 \text{ cm} \end{array} $
4.  Flächeninhalt
$ \begin{array}{rll} A=&\dfrac{1}{2}\cdot c\cdot h_c&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] A=&\dfrac{1}{2}\cdot 3 \text{ cm}\cdot 6 \text{ cm}\\[5pt] A=&9 \text{ cm}² \end{array} $
5.  Flächeninhalt berechnen
1. Schritt: Höhe $\mathbf{h_c}$ berechnen
$ \begin{array}{rll} \sin\;\beta=&\dfrac{h_c}{a}&\scriptsize \mid\cdot a \\[5pt] \sin\;\beta\cdot a=&h_c&\scriptsize einsetzen \\[5pt] \sin\;30^{\circ}\cdot 4 \text{ cm}=&h_c\\[5pt] 2 \text{ cm}=&h_c\\[5pt] \end{array} $
2. Schritt: Flächeninhalt berechnen
$ \begin{array}{rll} A=&\dfrac{1}{2}\cdot h_c\cdot c&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] A=&\dfrac{1}{2}\cdot 2 \text{ cm}\cdot 6 \text{ cm}\\[5pt] A=&6 \text{ cm}²\\[5pt] \end{array} $
Umfang berechnen
Nun kannst du mit Hilfe des Satz von Pythagoras die Teilstrecke $c_2$ bestimmen.
Dreieck: Allgemeines Dreieck
Dreieck: Allgemeines Dreieck
$ \begin{array}{rll} a^2=&c_2^2+h_c^2&\scriptsize \text{umstellen}\\[5pt] c_2^2=&a^2-h_c^2&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] c_2^2=&(4 \text{ cm})^2-(2 \text{ cm})^2\\[5pt] c_2^2=&12 \text{ cm}^2&\scriptsize \mid\sqrt{\;}\\[5pt] c_2\approx& 3,46 \text{ cm} \end{array} $
2. Schritt: Teilstrecke $\mathbf{c_1}$
$c_1=c-c_2$
$c_1=6 \text{ cm}-3,46 \text{ cm}$
$c_1=2,54 \text{ cm}$
3. Schritt: Seite b berechnen
$ \begin{array}{rll} b^2=&h_c^2+c_1^2&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] b^2=&(2 \text{ cm})^2+(2,54 \text{ cm})^2\\[5pt] b^2=&10,45 \text{ cm}^2&\scriptsize \mid\sqrt{\;}\\[5pt] b=&3,23 \text{ cm} \end{array} $
4. Schritt: Umfang berechnen
$ \begin{array}{rll} u=&a+b+c&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] u=&4 \text{ cm}+3,23 \text{ cm}+6 \text{ cm}\\[5pt] u=&13,23 \text{ cm} \end{array} $
6.  Seite $\mathbf{a}$ berechnen
Berechne die Seite $a$ mit dem Kosinussatz.
$ \begin{array}{rll} a²=&b²+c²-2\cdot b \cdot c \cdot \cos\;\alpha&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] a²=&(2 \text{ km})²+(3 \text{ km})²-2\cdot 2 \text{ km} \cdot 3 \text{ km} \cdot \cos\;55^{\circ}\\[5pt] a²=&4 \text{ km}²+9 \text{ km}²-(12 \text{ km}² \cdot 0,5736)\\[5pt] a²=&4 \text{ km}²+9 \text{ km}²-6,89 \text{ km}²\\[5pt] a²=&6,11 \text{ km}²&\scriptsize \mid\sqrt{\;}\\[5pt] a=&2,47 \text{ km}\\[5pt] \end{array} $
Das Strandbad B ist $2,47 \text{ km}$ vom Strandbad C entfernt.
7.  Winkel berechnen
Dreieck: Allgemeines Dreieck
Dreieck: Allgemeines Dreieck
1. Schritt: Strecke $\mathbf{a_1}$ berechnen
$ \begin{array}{rcll} a_1&=&a-a_2&\text{einsetzen} \\[5pt] a_1&=&40 \text{ m}-2,47 \text{ m}&\\[5pt] a_1&=&37,53 \text{ m}&\ \end{array} $
2. Schritt: Winkel $\mathbf{\alpha}$ berechnen
$ \begin{array}{rll} \tan\;\alpha=&\dfrac{h}{a_1}&\scriptsize einsetzen\\[5pt] \tan\;\alpha=&\dfrac{27 \text{ m}}{37,53 \text{ m}}\\[5pt] \tan\;\alpha=&0,7194&\scriptsize \mid \tan^{-1}\\[5pt] \alpha=&35,73^{\circ}\\[5pt] \end{array} $
Der Pastor sieht die Kirchturmspitze im Winkel von $35,73^{\circ}$.
8.  Dreieck konstruieren
Gegeben sind folgende Werte: $c=8\;\text{cm}$ und $\alpha=45^{\circ}$.
Um das Dreieck zu konstruieren, führe folgende Schritte durch:
  1. Zeichne zuerst zwei Punkte, die $8\;\text{cm}$ voneinander entfernt sind.
  2. Benenne diese Punkte mit $A$ und $B$.
  3. Lege eine Gerade durch $A$ unter dem Winkel $\alpha=45^{\circ}$.
  4. Da das Dreieck gleichschenkig ist, ist der Winkel $\beta$, der bei dem Punkt $B$ liegt, auch $45^{\circ}$. Also lege eine Gerade durch Punkt $B$ unter dem Winkel $\beta=45^{\circ}$
  5. Die beiden Geraden aus 3. und 4. schneiden sich im Punkt $C$.
So hast du den gleichschenkligen Dreieck $ABC$ konstruiert.
Dreieck: Allgemeines Dreieck
Dreieck: Allgemeines Dreieck
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lernvideos
Download als Dokument:
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App