Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Gymnasium (G9)
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 7
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
VERA 8
VERA 8
VERA 8
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Inkreis

Spickzettel
Download als Dokument:PDF

Erklärung

Der Inkreis eines Dreiecks ist ein Kreis, der alle Seiten des Dreiecks berührt.
Für die Konstruktion eines Inkreises des Dreiecks $ABC$ führt man folgende Schritte durch:
Dreieck: Inkreis
Dreieck: Inkreis
1. Schritt: Winkelhalbierenden aller Seiten einzeichnen
Dazu:
  • Bestimme die Mitte der Winkel $ \angle CAB\;$ und $\; \angle ABC $.
  • Konstruiere die Winkelhalbierenden. Zeichne dazu die Geraden ein, die die Winkel halbieren.
  • Den Schnittpunkt der
    Winkelhalbierenden bezeichne mit $M$.
  • Lege durch $M$ eine Halbgerade, die orthogonal zu der Seite $\;\overline{AB}\;$ ist.
  • Den Schnittpunkt der Geraden mit der Seite $\;\overline{AB}\;$ bezeichne mit $D$.
1. Schritt: Winkelhalbierenden aller Seiten einzeichnen
Dazu:
  • Bestimme die Mitte der Winkel $ \angle CAB\;$ und $\; \angle ABC $.
  • Konstruiere die Winkelhalbierenden. Zeichne dazu die Geraden ein, die die Winkel halbieren.
  • Den Schnittpunkt der
    Winkelhalbierenden bezeichne mit $M$.
  • Lege durch $M$ eine Halbgerade, die orthogonal zu der Seite $\;\overline{AB}\;$ ist.
  • Den Schnittpunkt der Geraden mit der Seite $\;\overline{AB}\;$ bezeichne mit $D$.
Dreieck: Inkreis
Dreieck: Inkreis
2. Schritt: Inkreis des Dreieck $\boldsymbol{ABC}$ konstruieren
  • Miss den Abstand zwischen den Punkten $M$ und $D$ mit dem Zirkel.
  • Zeichne einen Kreis mit dem Radius $\overline{MD}$ ein. Dieser ist der Inkreis des Dreiecks $ABC$.
Zeichne einen Kreis mit dem Radius $\overline{MD}$ um den Mittelpunkt $M$.
Somit ist der Inkreis des Dreiecks $\boldsymbol{ABC}$ ein Kreis mit Radius $\boldsymbol{\;\overline{MD}}$ und Mittelpunkt $\boldsymbol{M}$.
2. Schritt: Inkreis des Dreieck $\boldsymbol{ABC}$ konstruieren
  • Miss den Abstand zwischen den Punkten $M$ und $D$ mit dem Zirkel.
  • Zeichne einen Kreis mit dem Radius $\overline{MD}$ ein. Dieser ist der Inkreis des Dreiecks $ABC$.
Zeichne einen Kreis mit dem Radius $\overline{MD}$ um den Mittelpunkt $M$.
Somit ist der Inkreis des Dreiecks $\boldsymbol{ABC}$ ein Kreis mit Radius $\boldsymbol{\;\overline{MD}}$ und Mittelpunkt $\boldsymbol{M}$.
Für den Radius des Inkreises des Dreiecks $ABC$ gilt:
$r=\dfrac{2A}{u}$
$r=\dfrac{2A}{u}$
$A$ entspricht dabei der Fläche des Dreieicks.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Aufgaben
Download als Dokument:PDF
1.  Umkreis eines Dreiecks konstruieren
Gegeben ist ein Dreieck mit den Ecken: $A(-3\mid 0), \;B(3\mid 0),\; C(0\mid 3)$.
a) Zeichne das Dreieck $ABC$ in ein Koordinatensystem mit seinem Umkreis ein.
b)  Gib den Radius und den Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks $ABC$ an.
2.  Abstand zum Mittelpunkt berechnen
Man betrachtet ein Gebäude mit drei Seiten. Die erste Seite ist $8\;\text{m}$ lang, die anderen zwei Seiten haben eine Länge von $5\;\text{m}$. In der Mitte des Gebäudes befindet sich ein Brunnen. Auf jeder Seite des Gebäudes befindet sich eine Tür. Der Abstand zwischen dem Brunnen und der Tür ist immer gleich.
Der Weg zum Brunnen verläuft orthogonal zu der Seite des Gebäudes.
a)  Was kannst du über die Form des Gebäudes sagen?
b)  Berechne die Entfernung zwischen Tür und Brunnen.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1. 
a) $\blacktriangleright$ Inkreis des Dreiecks $\boldsymbol{ABC}$ konstruieren
Gegeben sind die Ecken des Dreiecks $ABC$: $A(-3\mid 0), \;B(3\mid 0),\; C(0\mid 3)$.
Trage die Punkte $A$, $B$, $C$ in das Koordinatensystem ein und verbinde diese. Dann konstruiere die Winkelhalbierenden der Ecken $ \angle CAB\;$ und $\; \angle ABC $ und zeichne sie ein. Die Winkelhalbierenden schneiden sich in dem Punkt $M$. Anschließend zeichne die zu $\overline{AB}\;$ orthogonale Gerade ein, die durch den Punkt $M$ verläuft:
Dreieck: Inkreis
Dreieck: Inkreis
Zeichne nun den Inkreis ein mit:
  • $M$ ist der Mittelpunkt des Inkreises.
  • $\overline{MD}\;$ ist der Radius des Inkreises.
Somit erhältst du folgende Skizze:
Dreieck: Inkreis
Dreieck: Inkreis
b) $\blacktriangleright$ Radius und Mittelpunkt des Inkreises bestimmen
  • Für den Mittelpunkt $M$ des Inkreises des Dreiecks $ABC$ gilt: $M$ ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden der Ecken $ \angle CAB\;$ und $\; \angle ABC $.
    Anhand der Skizze aus a) siehst du, dass sich die Winkelhalbierenden in dem Punkt $M( 1,24\mid 0)$ schneiden.
    Somit ist $\boldsymbol{M(1,24\mid 0)}$ der Mittelpunkt des Inkreises.
  • Für den Radius $r$ des Inkreises des Dreiecks $ABC$ gilt: $r$ ist der Abstand zwischen dem Schnittpunkt der beiden Winkelhalbierenden und dem Punkt $D$. Der Punkt $D$ ist der Schnittpunkt der Halbgeraden, die durch den Mittelpunkt $M$ orthogonal zu der Seite $AB$ verläuft.
    Da die Winkelhalbierenden sich in dem Punkt $M(1,24\mid 0)$ schneiden und der Punkt $D$ die Koordinaten $(0\mid 0)$ hat, gilt:
    Der Radius des Inkreises ist gleich dem Abstand zwischen den Punkten $M$ und $D$.
    Anhand der Skizze aus a) siehst du, dass der Abstand zwischen den Punkten $M$ und $D$ gleich der Differenz der $y$-Koordinaten ist, also gleich $1,24$.
    Somit ist der Radius $r$ des Inkreises gleich $\boldsymbol{1,24\;\textbf{LE}}$ .
2. 
a) $\blacktriangleright$ Aussage über die Form des Gebäudes treffen
Das Gebäude hat zwei Seiten, die gleich lang sind. Die dritte Seite ist länger als die anderen.
Damit handelt es sich um ein gleichschenklinges Dreieck.
b) $\blacktriangleright$ Radius des Inkreises bestimmen
Die Entfernung der Türen zum Brunnen ist immer gleich. Zeichnet man einen Kreis mit dem Brunnen als Mittelpunkt, so erhält man einen Inkreis des Gebäudes. Ermittle den Inkreisradius des Gebäudes, das die Form eines gleichschenklingen Dreiecks hat.
Es gilt:
Für den Radius des Inkreises gilt:
$r=\dfrac{2A }{u}$
Für das gleichschenklige Dreieck gilt:
  • Schenkel: $\mid AC \mid = \mid BC \mid $
  • Umfang: $u=2\cdot \mid AC \mid+\mid AB \mid$
  • Höhe: $h_{AB}$=$\sqrt{\mid AC \mid^2-\frac{\mid AB \mid^2}{4}}$
  • Fläche: $A=\dfrac{\mid AB \mid}{2}\cdot h_{AB}$
  • Berechne den Umfang des Gebäudes:
  • Bekannt sind die Längen der Seiten: $\mid AC \mid = \mid BC \mid =5$ und $ \mid AB \mid =8$. Also gilt:
    $u =2\cdot 5 \;\text{m}+8\;\text{m}=18\;\text{m}$
  • Berechne die Höhe des Gebäudes:
  • $h_{AB}=\sqrt{(5 \;\text{m})^2-\frac{(8 \;\text{m})^2}{4}}=\sqrt{25 \;\text{m}^2-\frac{64 \;\text{m}^2}{4}}=\sqrt{25 \;\text{m}^2-16 \;\text{m}^2}=\sqrt{9 \;\text{m}^2}=3 \;\text{m}$
    $\begin{array}[ccc] h_{AB}&=&\sqrt{(5 \;\text{m})^2-\frac{(8 \;\text{m})^2}{4}}\\ &=&\sqrt{25 \;\text{m}^2-\frac{64 \;\text{m}^2}{4}}\\ &=&\sqrt{25 \;\text{m}^2-16 \;\text{m}^2}\\ &=&\sqrt{9 \;\text{m}^2}\\ &=&3 \;\text{m} \end{array}$
  • Berechne die Fläche des Gebäudes:
    $A=\dfrac{8 \;\text{m}}2 \cdot 3 \;\text{m} =12\;\text{m}^2$
  • Berechne den Radius des Inkreises des Gebäudes:
    $r=\dfrac{2\cdot 12\;\text{m}^2}{18\;\text{m}}=\dfrac{4}{3}\;\text{m}$
Die Entfernung zwischen dem Brunnen und der Tür beträgt $\boldsymbol{\dfrac{4}{3}\;\text{m}}$.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App