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Inkreis

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Erklärung

Der Inkreis eines Dreiecks ist ein Kreis, der alle Seiten des Dreiecks berührt.
Für die Konstruktion eines Inkreises des Dreiecks $ABC$ führt man folgende Schritte durch:
1. Schritt: Winkelhalbierenden aller Seiten einzeichnen
Dazu:
  • Bestimme die Mitte der Winkel $ \angle CAB\;$ und $\; \angle ABC $.
  • Konstruiere die Winkelhalbierenden. Zeichne dazu die Geraden ein, die die Winkel halbieren.
  • Den Schnittpunkt der
    Winkelhalbierenden bezeichne mit $M$.
  • Lege durch $M$ eine Halbgerade, die orthogonal zu der Seite $\;\overline{AB}\;$ ist.
  • Den Schnittpunkt der Geraden mit der Seite $\;\overline{AB}\;$ bezeichne mit $D$.
1. Schritt: Winkelhalbierenden aller Seiten einzeichnen
Dazu:
  • Bestimme die Mitte der Winkel $ \angle CAB\;$ und $\; \angle ABC $.
  • Konstruiere die Winkelhalbierenden. Zeichne dazu die Geraden ein, die die Winkel halbieren.
  • Den Schnittpunkt der
    Winkelhalbierenden bezeichne mit $M$.
  • Lege durch $M$ eine Halbgerade, die orthogonal zu der Seite $\;\overline{AB}\;$ ist.
  • Den Schnittpunkt der Geraden mit der Seite $\;\overline{AB}\;$ bezeichne mit $D$.
2. Schritt: Inkreis des Dreieck $\boldsymbol{ABC}$ konstruieren
  • Miss den Abstand zwischen den Punkten $M$ und $D$ mit dem Zirkel.
  • Zeichne einen Kreis mit dem Radius $\overline{MD}$ ein. Dieser ist der Inkreis des Dreiecks $ABC$.
Zeichne einen Kreis mit dem Radius $\overline{MD}$ um den Mittelpunkt $M$.
Somit ist der Inkreis des Dreiecks $\boldsymbol{ABC}$ ein Kreis mit Radius $\boldsymbol{\;\overline{MD}}$ und Mittelpunkt $\boldsymbol{M}$.
2. Schritt: Inkreis des Dreieck $\boldsymbol{ABC}$ konstruieren
  • Miss den Abstand zwischen den Punkten $M$ und $D$ mit dem Zirkel.
  • Zeichne einen Kreis mit dem Radius $\overline{MD}$ ein. Dieser ist der Inkreis des Dreiecks $ABC$.
Zeichne einen Kreis mit dem Radius $\overline{MD}$ um den Mittelpunkt $M$.
Somit ist der Inkreis des Dreiecks $\boldsymbol{ABC}$ ein Kreis mit Radius $\boldsymbol{\;\overline{MD}}$ und Mittelpunkt $\boldsymbol{M}$.
Für den Radius des Inkreises des Dreiecks $ABC$ gilt:
$r=\dfrac{2A}{u}$
$r=\dfrac{2A}{u}$
$A$ entspricht dabei der Fläche des Dreieicks.
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