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Satz des Thales

Spickzettel
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Beispiel

Berechne $\beta$ mit $r=25\;\text{cm}$
Da das Dreieck $AMC$ gleichseitig ist, ist die Seite $\overline{AC}$ genauso lang wie der Radius $r=25\;\text{cm}$.
Ebenfalls gilt: im gleichseitigen Dreieck $AMC$ ist der Winkel $\alpha=60\,^\circ$ groß.
Somit ist der Winkel $\beta$ berechenbar über:
$\beta=180\,^\circ-90\,^\circ-60\,^\circ=30\,^\circ$
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Aufgaben
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Bearbeite die folgenden Aufgaben.
1.
Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck mit der Grundseite $\overline{AB}=4\;\text{cm}$.
2.
3.
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Lösungen
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1.
2.
Größe der Winkel \(\boldsymbol{\gamma_1}\), \(\boldsymbol{\gamma_2}\) und \(\boldsymbol{\gamma_3}\) bestimmen
Da um jede Strecke ein Halbkreis gezogen wurde und alle drei Punkte der Dreiecke auf dem zugehörigen Halbkreis liegen, gilt der Satz des Thales.
Da der Satz des Thales gilt, haben die drei Winkel $\gamma_1$, $\gamma_2$ und $\gamma_3$ jeweils eine Größe von 90°.
3.
Entfernung zwischen den Punkten S und P berechnen
Aufgrund des Satz des Thales, kann man der Skizze entnehmen, dass die Strecke $r$ senkrecht auf der Strecke $a$ steht. Du erhältst also ein rechtwinkliges Dreieck.
1. Schritt: Radius $\boldsymbol{r}$ berechnen
$\begin{array}{rll} d=&12,6\,\text{cm} &\scriptsize\mid\;:2\\[2pt] r=&6,3\,\text{cm}\\[2pt] \end{array}$
Der Radius $r$ beträgt $6,3$ cm.
2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{MS}}$ mit Hilfe des Satz des Pythagoras berechnen
$\begin{array}{rll} c^2=&a^2+b^2 &\scriptsize\mid\;\text{einsetzen}\\[2pt] \overline{MS}^2=&a^2+r^2\\[2pt] \overline{MS}^2=&(8,4\,\text{cm})^2+(6,3\,\text{cm})^2\\[2pt] \overline{MS}^2=&110,25\,\text{cm}^2 &\scriptsize\mid\;\sqrt{\;}\\[2pt] \overline{MS}=&10,5\,\text{cm}\\[2pt] \end{array}$
$ \overline{MS} = 10,5\,\text{cm} $
Die Strecke $\overline{MS}$ hat also eine Länge von $10,5$ cm.
3. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{PS}}$ berechnen
$\begin{array}{rll} \overline{PS}=&\overline{MS}-\overline{MP}\\[2pt] \overline{PS}=&\overline{MS}-r\\[2pt] \overline{PS}=&10,5\,\text{cm}-6,3\,\text{cm}\\[2pt] \overline{PS}=&4,2\,\text{cm}\\[2pt] \end{array}$
Die Hutspitze $S$ ist $4,2$ cm vom Punkt $P$ entfernt.
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