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Umkreis

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Erklärung

Der Umkreis eines Dreiecks ist ein Kreis, der alle Ecken des Dreiecks enthält.
Für die Konstruktion eines Umkreises des Dreicks $ABC$ führt man folgende Schritte durch:
1. Schritt: Mittelsenkrechten aller Seiten einzeichnen
Dazu:
  • Bestimme die Mitte der Strecken $\;\overline{AB},\;\overline{BC},\;\overline{AC}$
  • Konstruiere die Mittelsenkrechten. Dazu zeichne drei Geraden ein, die orthogonal zu der Seite sind und durch den jeweiligen Seitenmittelpunkt gehen.
  • Der Schnittpunkt der
    Mittelsenkrechten ist $M$.
    Dabei gilt: $\boldsymbol{M}$ hat zu jeder Ecke den gleichen Abstand
1. Schritt: Mittelsenkrechten aller Seiten einzeichnen
Dazu:
  • Bestimme die Mitte der Strecken $\;\overline{AB},\;\overline{BC},\;\overline{AC}$
  • Konstruiere die Mittelsenkrechten. Zeichne hierfür drei Geraden ein, die orthogonal zu der Seite sind und durch den jeweiligen Seitenmittelpunkt gehen.
  • Der Schnittpunkt der
    Mittelsenkrechten ist $M$.
    Dabei gilt: $\boldsymbol{M}$ hat zu jeder Ecke den gleichen Abstand
2. Schritt: Umkreis um das Dreieck $\boldsymbol{ABC}$ konstruieren
Da $M$ von allen Ecken gleich weit entfernt ist, liegen alle Ecken auf einem Kreis.
Zeichne nun einen Kreis mit Radius $\;\overline{MA}=\overline{MB}=\overline{MC}$ um den Mittelpunkt $M$.
Damit ist der Umkreis des Dreiecks $\boldsymbol{ABC}$ ein Kreis mit Radius $\boldsymbol{\;\overline{MA}=\overline{MB}=\overline{MC}}$ und Mittelpunkt $\boldsymbol{M}$.
2. Schritt: Umkreis um das Dreieck $\boldsymbol{ABC}$ konstruieren
Da $M$ von allen Ecken gleich weit entfernt ist, liegen alle Ecken auf einem Kreis.
Zeichne nun einen Kreis mit Radius $\;\overline{MA}=\overline{MB}=\overline{MC}$ um den Mittelpunkt $M$.
Damit ist der Umkreis des Dreiecks $\boldsymbol{ABC}$ ein Kreis mit Radius $\boldsymbol{\;\overline{MA}=\overline{MB}=\overline{MC}}$ und Mittelpunkt $\boldsymbol{M}$.
Für den Radius des Umkreises des Dreiecks $ABC$ gilt:
$R=\dfrac{\mid AB \mid \cdot \mid BC \mid\cdot \mid AC\mid}{4A_\text{Dreieck}}$
$R=\dfrac{\mid AB \mid \cdot \mid BC \mid\cdot \mid AC\mid}{4A_{\text{Dreieck}}}$
$A_\text{Dreieck}$ ist dabei die Fläche des Dreiecks.
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