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Umkreis

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Erklärung

Der Umkreis eines Dreiecks ist ein Kreis, der alle Ecken des Dreiecks enthält.
Für die Konstruktion eines Umkreises des Dreicks $ABC$ führt man folgende Schritte durch:
Dreieck: Umkreis
Dreieck: Umkreis
1. Schritt: Mittelsenkrechten aller Seiten einzeichnen
Dazu:
  • Bestimme die Mitte der Strecken $\;\overline{AB},\;\overline{BC},\;\overline{AC}$
  • Konstruiere die Mittelsenkrechten. Dazu zeichne drei Geraden ein, die orthogonal zu der Seite sind und durch den jeweiligen Seitenmittelpunkt gehen.
  • Der Schnittpunkt der
    Mittelsenkrechten ist $M$.
    Dabei gilt: $\boldsymbol{M}$ hat zu jeder Ecke den gleichen Abstand
1. Schritt: Mittelsenkrechten aller Seiten einzeichnen
Dazu:
  • Bestimme die Mitte der Strecken $\;\overline{AB},\;\overline{BC},\;\overline{AC}$
  • Konstruiere die Mittelsenkrechten. Zeichne hierfür drei Geraden ein, die orthogonal zu der Seite sind und durch den jeweiligen Seitenmittelpunkt gehen.
  • Der Schnittpunkt der
    Mittelsenkrechten ist $M$.
    Dabei gilt: $\boldsymbol{M}$ hat zu jeder Ecke den gleichen Abstand
Dreieck: Umkreis
Dreieck: Umkreis
2. Schritt: Umkreis um das Dreieck $\boldsymbol{ABC}$ konstruieren
Da $M$ von allen Ecken gleich weit entfernt ist, liegen alle Ecken auf einem Kreis.
Zeichne nun einen Kreis mit Radius $\;\overline{MA}=\overline{MB}=\overline{MC}$ um den Mittelpunkt $M$.
Damit ist der Umkreis des Dreiecks $\boldsymbol{ABC}$ ein Kreis mit Radius $\boldsymbol{\;\overline{MA}=\overline{MB}=\overline{MC}}$ und Mittelpunkt $\boldsymbol{M}$.
2. Schritt: Umkreis um das Dreieck $\boldsymbol{ABC}$ konstruieren
Da $M$ von allen Ecken gleich weit entfernt ist, liegen alle Ecken auf einem Kreis.
Zeichne nun einen Kreis mit Radius $\;\overline{MA}=\overline{MB}=\overline{MC}$ um den Mittelpunkt $M$.
Damit ist der Umkreis des Dreiecks $\boldsymbol{ABC}$ ein Kreis mit Radius $\boldsymbol{\;\overline{MA}=\overline{MB}=\overline{MC}}$ und Mittelpunkt $\boldsymbol{M}$.
Für den Radius des Umkreises des Dreiecks $ABC$ gilt:
$R=\dfrac{\mid AB \mid \cdot \mid BC \mid\cdot \mid AC\mid}{4A_\text{Dreieck}}$
$R=\dfrac{\mid AB \mid \cdot \mid BC \mid\cdot \mid AC\mid}{4A_{\text{Dreieck}}}$
$A_\text{Dreieck}$ ist dabei die Fläche des Dreiecks.
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Aufgaben
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1.  Umkreis eines Dreiecks konstruieren
Gegeben ist ein Dreieck mit den Ecken: $A(-2\mid \;0), \;B(2\mid \;0),\; C(-0\mid \;2)$.
a)  Berechne den Radius und Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks $ABC$.
b) Zeichne das Dreieck $ABC$ in ein Koordinatensystem mit seinem Umkreis ein.
2.  Abstand zwischen Gebäuden berechnen
Fabrik A möchte ein neues Lager bauen. Da die Gebäude der Fabrik das Lager gleich oft brauchen, soll das Lager von jedem Gebäude gleich weit entfernt sein.
Die drei Gebäude der Fabrik haben die gleiche Entfernung zueinander. Um die Fabrik steht ein Zaun, der $300\;\text{m}$ lang ist.
a)  Was kannst du über die Form des Fabrikgeländes sagen?
b)  Berechne die Entfernung von den Gebäuden der Fabrik zu dem Lager.
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Lösungen
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1. 
a) $\blacktriangleright$ Umkreis des Dreiecks $\boldsymbol{ABC}$ einzeichnen
Bekannt sind die Ecken: $A(-2\mid 0), \;B(2\mid 0),\; C(0\mid 2)$.
Trage die Punkte in das Koordinatensystem ein und verbinde diese. Dann bestimme die Koordinaten der Mittelpunkte jeder Seite. Anschließend zeichne die orthogonalen Geraden ein, die durch die Mittelpunkte verlaufen. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist der Mittelpunkt des Umkreises.
  • $x(M_{AB}) =\frac{1}{2} \cdot \left(x(A)+x(B)\right)=\frac{1}{2} \cdot (-2+2)=0$
    $y(M_{AB}) =\frac{1}{2} \cdot \left(y(A)+y(B)\right)=\frac{1}{2} \cdot (0+0) =0$
  • $x(M_{BC}) =\frac{1}{2} \cdot \left(x(B)+x(C)\right)=\frac{1}{2} \cdot (2+0)=1$
    $y(M_{BC}) =\frac{1}{2} \cdot \left(y(B)+y(C)\right)=\frac{1}{2} \cdot (2+0)=0$
  • $x(M_{AC}) =\frac{1}{2} \cdot \left(x(A)+x(C)\right)=\frac{1}{2} \cdot (-2+0)=-1$
    $y(M_{AC}) =\frac{1}{2} \cdot \left(y(A)+y(C)\right)=\frac{1}{2} \cdot (0+2) =1$
$ x(M_{AB}) = 0 $ $y(M_{AB}) = 0$ $x(M_{BC}) = 1$ $y(M_{BC}) = 0$ $x(M_{AC}) = -1$ $y(M_{AC}) = 1$
Somit erhältst du folgende Mittelpunkte:
  • $\boldsymbol{M_{AB}(0\mid 0)}$
  • $\boldsymbol{M_{BC}(1\mid 0)}$
  • $\boldsymbol{M_{AC}(-1\mid 1)}$
Du erhältst:
Dreieck: Umkreis
Dreieck: Umkreis
b) $\blacktriangleright$ Radius und Mittelpunkt des Umkreises bestimmen
  • Für den Mittelpunkt $M$ des Umkreises des Dreiecks $ABC$ gilt: $M$ ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der drei Seiten.
    Anhand der Skizze aus a) siehst du, dass sich die Mittelsenkrechten in dem Punkt $M(0\mid 0)$ schneiden.
    $\boldsymbol{M(0\mid\;0)}$ ist damit der Mittelpunkt des Umkreises.
  • Für den Radius $r$ des Umkreises des Dreiecks $ABC$ gilt: $r$ ist der Abstand zwischen dem Schnittpunkt der Mittelsenkrechten $m$ und einer der Ecken des Dreiecks.
    Da sich die Mittelsenkrechten im Punkt $M(0\mid\;0)$ schneiden, gilt:
    Der Radius des Umkreises ist gleich dem Abstand zwischen den Punkten $M$ und $C$.
    Anhand der Skizze aus a) erkennst du, dass der Abstand zwischen den Punkten $M$ und $C$ gleich der Differenz der $y$-Koordinaten ist, also gleich $2$.
    Somit ist der Radius $r$ des Umkreises gleich $\boldsymbol{2\;\text{LE}}$ .
2. 
a) $\blacktriangleright$ Aussage über die Form des Fabrikgelände treffen
Da es drei Gebäude gibt, die gleich weit voneinander entfernt sind, handelt es sich um einen Dreieck, dessen Ecken gleich weit voneinander entfernt sind.
Es handelt sich um ein gleichseitiges Dreieck.
b) $\blacktriangleright$ Radius und Mittelpunkt des Umkreises bestimmen
Die Entfernungen der Gebäude zur Fabrik sollen gleich sein. Da das Fabrikgelände die Form eines gleichseitigen Dreiecks hat, muss das Lager der Mittelpunkt des Umkreises um die Gebäude sein. Somit gilt:
Für den Radius des Umkreises gilt:
$R=\dfrac{\mid AB \mid \cdot \mid BC \mid\cdot \mid AC\mid}{4A}$
Für das gleichseitige Dreieck gilt:
  • Schenkel: $\mid AB \mid = \mid BC \mid = \mid AC\mid$
  • Fläche: $A=\dfrac{\mid AB \mid²\cdot\sqrt{3}}{4}$
  • Umfang: $u=3\cdot \mid AB \mid$
  • Höhe: $h=\dfrac{\mid AB \mid\cdot\sqrt{3}}{2}$
  • Radius des Umkreises: $R=\dfrac{\mid AB \mid ^3 }{4A}$
  • Berechne die Länge der Seiten:
  • Bekannt ist der Umkreis des Zauns. Der Zaun ist der Umfang des Dreiecks. Also gilt:
    $\begin{array}[t]{rll} u&=& 3\cdot \mid AB \mid &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] \dfrac{u}{3}&=& \mid AB \mid \end{array}$
    Somit gilt für die Länge der Seiten:
    $\mid AB \mid = \dfrac{300 \;\text{m}}{3}=100\;\text{m}$
  • Berechne die Höhe des Dreiecks:
    $h=\dfrac{100\;\text{m} \cdot\sqrt{3}}{2}=50\cdot \sqrt{3}\;\text{m}$
  • Berechne die Fläche des Dreiecks:
  • $A=\dfrac{100²\cdot\sqrt{3}}{4}=2.500\cdot \sqrt{3}\;\text{m²}$
    $A=\dfrac{100²\cdot\sqrt{3}}{4}=2.500\cdot \sqrt{3}\;\text{m²}$
  • Berechne den Radius des Umkreises des Dreiecks:
  • $R=\dfrac{\mid AB \mid ^3 \sqrt{3}}{4A}=\dfrac{\mid 100 \;\text{m} \mid ^3}{4\cdot 2.500\cdot \sqrt{3}\;\text{m²}}=\dfrac{100 \;\text{m}}{\sqrt{3}}\approx 57,74\;\text{m}$
    $\begin {array}[ccc] R&=&\dfrac{\mid AB \mid ^3 \sqrt{3}}{4A}\\ &=&\dfrac{\mid 100 \;\text{m} \mid ^3}{4\cdot 2.500\cdot \sqrt{3}\;\text{m²}}\\ &=&\dfrac{100 \;\text{m}}{\sqrt{3}}\approx 57,74\;\text{m}\\ \end{array}$
Die Entfernung vom Fabrikgebäude bis zum Lager beträgt $\boldsymbol{\approx 57,74\;\textbf{m}}$.
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