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Vermischte Aufgaben

Aufgaben
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1.  Bestimme den Typ der Dreiecke und nenne deren besonderen Eigenschaften.
a) 
b) 
c) 
d) 
2.  Bestimme die Fläche des gleichseitigen Dreiecks mit folgenden Eigenschaften.
a)  $a=5\,\text{cm}$
b)  $h_c=3\,\text{cm}$
c)  $u=12\,\text{cm}$
3.  Berechne den Umfang des gleichschenkligen Dreiecks, mit $c = 5\,\text{cm}$ und $a = 4\,\text{cm}$.
4.  Bestimme den Flächeninhalt und den Umfang der Figur, bei der $a=3\,\text{cm}$, $b=3,6\,\text{cm}$ und $c=4\,\text{cm}$ gegeben ist.
5.  Bestimme den Umfang eines gleichseitigen Dreiecks mit der Höhe $h=3\,\text{cm}$.
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Lösungen
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1.  Art und Eigenschaft
a)  Dies ist ein gleichschenkliges Dreieck, da es zwei gleich lange Seiten a und b besitzt und die Höhe h$_c$ die Basis c sowie den Winkel $\gamma$ halbiert.
b)  Dies ist ein rechtwinkliges Dreieck, da es einen 90° Grad Winkel besitzt, welcher der längsten Seite (Hypotenuse) gegenüber liegt.
c)  Dies ist ein stumpfwinkliges Dreieck, da $\gamma \gt 90^{\circ}$ gilt.
d)  Dies ist ein gleichseitiges Dreieck, da alle drei Seiten dieselbe Länge haben. Zusätzlich sind die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ gleich groß.
2.  Flächeninhalt
a)  Bestimme die Fläche mithilfe der Formel für den Flächeninhalt, da du die Variable a angegeben hast.
$ \begin{array}{rll} A&=\dfrac{a^2\cdot\sqrt{3}}{4}&\\[5pt] A&=\dfrac{(5\text{ cm})^2\cdot\sqrt{3}}{4}&\\[5pt] A&=\dfrac{25\text{ cm}^2\cdot\sqrt{3}}{4}&\\[5pt] A&=\dfrac{43,3\text{ cm}^2}{4}&\\[5pt] A&=10,83\text{ cm}^2&\\[5pt] \end{array} $
b)  Um die Fläche des gleichseitigen Dreiecks zu berechnen, benötigst du die Variable a. Diese kannst du mit Hilfe der Variablen h$_c$ und der Formel h$_c$=$\dfrac{a\cdot\sqrt{3}}{2}$ berechnen. Löse dazu die Formel für die Höhe nach der Variablen a auf.
$ \begin{array}{rll} h_c&=\dfrac{a\cdot\sqrt{3}}{2}&\scriptsize \mid:\sqrt{3} \\[5pt] \dfrac{h_c}{\sqrt{3}}&=\dfrac{a}{2}&\scriptsize \mid\cdot2 \\[5pt] a&=\dfrac{h_c}{\sqrt{3}}\cdot2& \end{array} $
Nachdem du die Formel umgestellt hast, kannst du für die Variable h$_c$ den Wert h$_c$= 3cm einsetzen.
$ \begin{array}{rll} a&=\dfrac{3\text{ cm}}{\sqrt{3}}\cdot2&\scriptsize \\[5pt] a&=3,5\text{ cm}& \end{array} $
Mit der errechneten Variablen a wird nun der gesuchte Flächeninhalt berechnet.
$ \begin{array}{rll} A&=\dfrac{a^2\cdot\sqrt{3}}{4}&\scriptsize \\[5pt] A&=\dfrac{(3,5\text{ cm})^2\cdot\sqrt{3}}{4}&\scriptsize \\[5pt] A&=\dfrac{12,25\text{ cm}^2\cdot\sqrt{3}}{4}\\[5pt] A&=\dfrac{21,22\text{ cm}^2}{4}\\[5pt] A&=5,3\text{ cm}^2& \end{array} $
c)  Da bei dieser Aufgabe nur der Umfang u= 12 cm angegeben ist, wird die Formel $u= 3\cdot a$ nach der Variablen a aufgelöst.
$ \begin{array}{rll} u&=3\cdot a&\scriptsize \mid:3 \\[5pt] a&=\dfrac{u}{3} &\scriptsize \\[5pt] a&=\dfrac{12\;\text{cm}}{3} &\scriptsize \\[5pt] a&=4\text{ cm}& \end{array} $
Nun wird die Variable \(a = 3\text{ cm}\) in die Formel für den Flächeninhalt eingesetzt.
$ \begin{array}{rll} A&=\dfrac{a^2\cdot\sqrt{3}}{4}&\scriptsize \\[5pt] A&=\dfrac{(4\text{ cm})^2\cdot\sqrt{3}}{4}&\scriptsize \\[5pt] A&=\dfrac{16\text{ cm}^2\cdot\sqrt{3}}{4}\\[5pt] A&=\dfrac{27,71\text{ cm}^2}{4}\\[5pt] A&=6,93\text{ cm}^2& \end{array} $
3.  Umfang
Bei gleichschenkligen Dreiecken lautet die Formel für den Umfang $u= 2 \cdot a + c$. Da die Variablen a und c bekannt sind, kann der Umfang gleich berechnet werden.
$ \begin{array}{rll} u&=2 \cdot 4\text{ cm} + 5 \text{ cm}&\scriptsize \\[5pt] u&=8\text{ cm} + 5 \text{ cm}&\scriptsize \\[5pt] u&=13\text{ cm}& \end{array} $
4.  Flächeninhalt und Umfang
Berechne bei dieser Aufgabe zuerst den Umfang, da du die nötigen Angaben dazu hast. Zähle hierzu anhand des Schaubildes ab, wie viele Seiten jeweils von $a$, $b$ und $c$ zum Umfang gehören. Daraus ergibt sich die Formel:
$ \begin{array}{rll} u&=2a + 2c + b&\scriptsize \\[5pt] u&=2\cdot3\text{ cm} + 2\cdot4\text{ cm} + 3,6\text{ cm}&\scriptsize \\[5pt] u&=6\text{ cm} + 8\text{ cm} + 3,6\text{ cm}&\scriptsize \\[5pt] u&=17,6\text{ cm}& \end{array} $
Da sich diese Figur aus drei verschiedenen Dreiecken zusammensetzt, muss für jedes der drei Dreiecke der Flächeninhalt einzeln berechnet werden.
Flächeninhalt $A_1$:
Für die Berechnung des Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks sind alle Variablen gegeben.
$ \begin{array}{rll} A&=\dfrac{a^2\cdot\sqrt{3}}{4}&\scriptsize \\[5pt] A&=\dfrac{(3\text{ cm})^2\cdot\sqrt{3}}{4}&\scriptsize \\[5pt] A&=\dfrac{9\text{ cm}^2\cdot\sqrt{3}}{4}&\scriptsize \\[5pt] A&=3,9\text{ cm}^2& \end{array} $
Flächeninhalt $A_2$:
Da dieses Dreieck rechtwinklig ist, steht die Variable b mit $3,6$ cm für die Hypotenuse, da sie dem rechten Winkel gegenüberliegt. Die Länge der Seite, welche gleichzeitig zu dem gleichseitige Dreieck zählt, ist somit auch mit einer Länge von 3 cm bekannt. Für die Berechnung des Flächeninhalts wird laut der Formel $A= \dfrac{1}{2}\cdot a \cdot b$ die Variable a benötigt. Berechne diese mit Hilfe des Satz des Pythagoras.
$ \begin{array}{rll} a^2&=c^2 - b^2&\scriptsize \\[5pt] a^2&=(3,6\text{ cm})^2 - (3\text{ cm})^2&\scriptsize \\[5pt] a^2&=12,96\text{ cm}^2 - 9\text{ cm}^2&\scriptsize \\[5pt] a^2&=3,96\text{ cm}^2&\scriptsize \mid\sqrt{\;} \\[5pt] a&=1,99\text{ cm}& \end{array} $
Setze nun den berechneten Wert für a sowie den Wert für b in die Formel für den Flächeninhalt ein.
$ \begin{array}{rll} A&=\dfrac{1}{2}\cdot a \cdot b&\scriptsize \\[5pt] A&=\dfrac{1}{2}\cdot 1,99\text{ cm} \cdot 3\text{ cm}&\scriptsize \\[5pt] A&=2,99\text{ cm}^2& \end{array} $
Flächeninhalt $A_3$:
Bei gleichschenkligen Dreiecken wird der Flächeninhalt mit der Formel $A= \dfrac{c}{2}\cdot\sqrt{a^2 - \dfrac{c^2}{4}}$ berechnet. Für die Variable c wird der Wert der zuvor berechneten Variablen a eingesetzt, da diese sowohl dem gleichschenkligen als auch dem rechtwinkligen Dreieck angehört. Die Variable $a$ ist mit der Länge von $4$ cm durch die Angaben in der Aufgabe gegeben.
$ \begin{array}{rll} A&=\dfrac{c}{2}\cdot\sqrt{a^2 - \dfrac{c^2}{4}}&\scriptsize \\[5pt] A&=\dfrac{1,99\text{ cm}}{2}\cdot\sqrt{(4\text{ cm})^2 - \dfrac{(1,99\text{ cm})^2}{4}}&\scriptsize \\[5pt] A&=0,995\text{ cm}\cdot\sqrt{16\text{ cm}^2 - 0,99\text{ cm}}&\scriptsize \\[5pt] A&=3,85\text{ cm}^2& \end{array} $
$ \begin{array}{rll} A&=\dfrac{c}{2}\cdot\sqrt{a^2 - \dfrac{c^2}{4}}&\scriptsize \\[5pt] A&=\dfrac{1,99\text{ cm}}{2}\cdot\sqrt{(4\text{ cm})^2 - \dfrac{(1,99\text{ cm})^2}{4}}&\scriptsize \\[5pt] A&=0,995\text{ cm}\cdot\sqrt{16\text{ cm}^2 - 0,99\text{ cm}}&\scriptsize \\[5pt] A&=3,85\text{ cm}^2& \end{array} $
Um den gesamten Flächeninhalt der Figur zu erhalten, müssen die zuvor einzel berechneten Flächeninhalte der verschiedenen Dreiecke addiert werden.
$A_g= A_1 + A_2 + A_3$
$A_g= 3,9\text{ cm}^2 + 2,99\text{ cm}^2 + 3,85\text{ cm}^2$
$A_g= 10,74\text{ cm}^2$
5.  Umfang
Um den Umfang des gleichseitigen Dreiecks bestimmen zu können, musst du als erstes die Länge der Schenkel berechnen. Hierfür benötigst du folgende Formel:
$h=\dfrac{a\cdot\sqrt3}{2}$
Nun setzt du den Wert $3$ cm für $h$ ein und löst die Gleichung nach $a$ auf.
$ \begin{array}{rll} 3\text{ cm}=&\dfrac{a\cdot\sqrt3}{2}&\scriptsize \mid \cdot 2 \\[5pt] 6\text{ cm}=&a\cdot\sqrt3&\scriptsize \mid :\sqrt3 \\[5pt] a=&\frac{6\text{ cm}}{\sqrt3}&\scriptsize \\[5pt] a\approx&3,46\text{ cm}&\scriptsize \end{array} $
Da bei einem gleichseitigen Dreieck alle Schenkel gleichlang sind, kannst du mit folgender Formel den Umfang des Dreiecks bestimmen:
$ \begin{array}{rll} u=&3 \cdot a&\scriptsize \\[5pt] u=&3 \cdot3,46\text{ cm}&\scriptsize \\[5pt] u=&10,38 \text{ cm}&\scriptsize \end{array} $
Das gleichseitige Dreieck hat einen Umfang von $10,38$ cm.
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