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Winkelsumme

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Unter dem Begriff der Winkelsumme versteht man die Summe der Innenwinkel einer Figur.
Du kannst sie sowohl in Dreiecken als auch in Vierecken berechnen. Hier soll es jetzt aber nur um die Winkelsumme in Dreiecken gehen.
In jedem Dreieck ist die Winkelsumme der drei Innenwinkel immer 180°.
$\alpha + \beta + \gamma = 180°$
$\alpha + \beta + \gamma = 180°$
Wenn du also zwei Winkel gegeben hast, kannst du den dritten einfach berechnen.
Es gibt spitzwinklige, rechtwinklige und stumpfwinklige Dreiecke.
Dreieck: Winkelsumme
Dreieck: Winkelsumme
Beim spitzwinkligen Dreieck ist jeder der drei Innenwinkel kleiner als 90°.
Im rechtwinkligen Dreieck ist ein Innenwinkel 90° groß.
Enthält ein Dreieck einen Winkel, welcher größer als 90° ist, handelt es sich um ein stumpfwinkliges Dreieck.
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Aufgaben
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1.  Wie groß ist die Winkelsumme eines beliebigen Dreieckes?
2.  Folgende Winkel sind die Winkel in einem Dreieck. Bestimme jeweils $\alpha$.
a)  $\beta = 50°$, $\gamma = 40°$ b)  $\beta = 70°$, $\gamma = 80°$
c)  $\beta = 60°$, $\gamma = 60°$ d)  $\beta = 25°$, $\gamma = 65°$
3.  Bestimme den fehlenden Winkel im Punkt C.
Dreieck: Winkelsumme
Dreieck: Winkelsumme
4.  Ein Zimmermann muss ein Kirchendach so ausbauen, dass keine Dachlawine mehr abgehen kann. Dazu benötigt er den Steigungswinkel des Daches. Er weiß nur, dass das Dach gleichschenklig ist und der Giebel einen Winkel von $100°$ hat.
Welche Steigung hat dann das Dach?
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Lösungen
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1.  Winkelsumme von Dreiecken
Wenn du die Größen aller drei Winkel in einem Dreieck addierst, dann erhältst du als Ergebnis immer $180°$.
2.  gesuchter Winkel $\alpha$
In einem Dreieck sind alle Winkel zusammen immer $180°$ groß. Da zwei Winkel in den jeweiligen Dreiecken gegeben sind, berechnest du den Winkel $\alpha$ so:
$\alpha = 180° - \beta - \gamma$
a)  $\alpha = 180° - 50° - 40° = 90°$ b)  $\alpha = 180° - 70° - 80° = 30°$
c)  $\alpha = 180° - 60° - 60° = 60°$ d)  $\alpha = 180° - 25° - 65° = 90°$
a)  $\alpha = 180° - 50° - 40° = 90°$
b)  $\alpha = 180° - 70° - 80° = 30°$
c)  $\alpha = 180° - 60° - 60° = 60°$
d)  $\alpha = 180° - 25° - 65° = 90°$
3.  Winkel der Dreiecke
Bestimme zuerst den gesuchten Winkel im linken Dreieck. Dieses besitzt zwei Winkel von $40\,^\circ$ und $90\,^\circ$. So berechnest du den dritten Winkel im Dreieck:
$180\,^\circ-40\,^\circ-90\,^\circ=50\,^\circ$
Den Winkel im rechten Dreieck erhältst du auf dieselbe Art. Dort sind die beiden gegebenen Winkel $60\,^\circ$ und $90\,^\circ$ groß.
$180\,^\circ-60\,^\circ-90\,^\circ=30\,^\circ$
Die beiden fehlenden Winkel sind $50\,^\circ$ und $30\,^\circ$ groß.
4.  Steigung des Daches
Stelle dir das Dach wie ein gleichschenkliges Dreieck vor. Der obere Winkel hat hier ein Maß von $100\,^\circ$. Berechne zuerst, wie viel Grad für die anderen beiden Winkel übrig bleibt:
$180\,^\circ-100\,^\circ=80\,^\circ$
Bei einem gleichschenkligen Dreieck haben zwei Winkel dieselbe Größe. Deshalb werden diese $80\,^\circ$ gleichmäßig auf die zwei anderen Winkel verteilt:
$80\,^\circ:2=40\,^\circ$
Somit beträgt die Steigung des Dachs $40\,^\circ$.
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