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Einbeschreibungsaufgaben

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Ebene und räumliche Geometrie: Einbeschreibungsaufgaben
Abb. 1: Dreieck mit einbeschriebenem Rechteck
Ebene und räumliche Geometrie: Einbeschreibungsaufgaben
Abb. 1: Dreieck mit einbeschriebenem Rechteck
a)
Gebe den Flächeninhalt des Rechtecks in Abhängigkeit der Länge der Seite $c$ und dem Winkel $\alpha$ an.
b)
Zeichne den Graphen für den Flächeninhalt in Abhängigkeit des Winkels $\alpha \in [0^°;90^°]$ für $c=6 \text{ cm}$. Erstelle dazu eine geeignete Wertetabelle.
#rechteck#flächeninhalt#winkel#rechtwinkligesdreieck

Aufgabe 1

Ebene und räumliche Geometrie: Einbeschreibungsaufgaben
Abb. 2: Dreieck mit einbeschriebenem Rechteck
Ebene und räumliche Geometrie: Einbeschreibungsaufgaben
Abb. 2: Dreieck mit einbeschriebenem Rechteck
a)
Gebe den Umfang der Rechtecke in Abhängigkeit der Länge der Strecke $\overline{GC}$ an.
b)
Berechne die benötigte Länge der Strecke $\overline{BC}$, sodass das Rechteck $DEFG$ ein Quadrat ist.
#rechteck#umfang#quadrat#gleichschenkligesdreieck

Aufgabe 2

Ebene und räumliche Geometrie: Einbeschreibungsaufgaben
Abb. 3: Gleichseitiges Dreieck
Ebene und räumliche Geometrie: Einbeschreibungsaufgaben
Abb. 3: Gleichseitiges Dreieck
a)
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $DEF$ in Abhängigkeit des Winkels $\gamma$ und der Länge der Seite $c$.
b)
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $DEF$ für $\gamma=30^°$ und $c=5 \text{ cm}$.
#flächeninhalt#dreieck#gleichseitigesdreieck

Aufgabe 3

Ebene und räumliche Geometrie: Einbeschreibungsaufgaben
Abb. 4: Raute mit einbeschriebenem Dreieck
Ebene und räumliche Geometrie: Einbeschreibungsaufgaben
Abb. 4: Raute mit einbeschriebenem Dreieck
a)
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $ABF$ in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ und der Länge der Seite $a$.
b)
Der Punkt $F$ teilt die Länge der Seite $c$ in zwei Abschnitte. Es gilt hierbei $\overline{DF}=\dfrac{1}{3} \cdot c$ und $\overline{FC}=\dfrac{2}{3} \cdot c$. Bestimme den Winkel $\alpha$ für den das Dreieck $ABF$ gleichschenklig ist.
#dreieck#raute#gleichschenkligesdreieck#flächeninhalt
Bildnachweise [nach oben]
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Einführungsaufgabe

a)
Du sollst den Flächeninhalt des Rechtecks $CFDE$ in Abhängigkeit der Länge der Seite $c$ und dem Winkel $\alpha$ berechnen. Du hast gegeben, dass die Strecke $\overline{DE}$ doppelt so lange ist, als die Strecke $\overline{FD}$. Bezeichne beispielsweise die Länge der Strecke $\overline{FD}$ mit $l$. Daraus folgt, dass die Strecke $\overline{DE}$ die Länge $2l$ besitzt.
Du kannst außerdem die Länge der Strecke $\overline{AD}$ mit $k$ bezeichnen. Daraus folgt, dass die Strecke $\overline{DB}$ die Länge $c-k$ besitzt. Außerdem weißt du, dass der Winkel im Dreieck $DBE$ an dem Punkt $D$ gleich dem Winkel $\alpha$ ist, da die beiden Winkel Stufenwinkel zueinander sind. Somit ergibt sich folgende Abbildung:
Ebene und räumliche Geometrie: Einbeschreibungsaufgaben
Abb. 1: Dreieck mit einbeschriebenem Rechteck
Ebene und räumliche Geometrie: Einbeschreibungsaufgaben
Abb. 1: Dreieck mit einbeschriebenem Rechteck
Für den Flächeninhalt $A$ des Rechtecks gilt folgende Formel mit der Länge $2l$ und der Breite $l$:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& 2 \cdot l \cdot l \\[5pt] &=& 2 \cdot l^2 \end{array}$
Du musst somit die Länge $l$ in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ und der Länge der Seite $c$ darstellen.
Hierbei kannst du zuerst im Dreieck $ADF$ die Länge $k$ in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ und der Länge $l$ wie folgt mit dem Sinus berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \sin \alpha&=& \dfrac{l}{k} & \quad \scriptsize \mid \, \cdot k \\[5pt] k \cdot \sin \alpha&=& l & \quad \scriptsize \mid \, : \sin \alpha \\[5pt] k&=& \dfrac{l}{\sin \alpha} \end{array}$
$k= \dfrac{l}{\sin \alpha} $
Anschließend kannst du im Dreieck $DBE$ die Länge $c-k$ in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ und der Länge $l$ wie folgt mit dem Kosinus berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha&=& \dfrac{2l}{c-k} & \quad \scriptsize \mid \, \cdot (c-k) \\[5pt] (c-k) \cdot \cos \alpha&=& 2l & \quad \scriptsize \mid \, : \cos \alpha \\[5pt] c-k&=& \dfrac{2l}{\cos \alpha} \end{array}$
$c-k= \dfrac{2l}{\cos \alpha} $
Durch die Beziehung $c=k+c-k$ kannst du die Länge $l$ in Abhängigkeit der Länge der Seite $c$ wie folgt darstellen:
$\begin{array}[t]{rll} c&=& k +c-k \\[5pt] &=& \dfrac{l}{\sin \alpha} + \dfrac{2l}{\cos \alpha} \\[5pt] &=& l \cdot \left(\dfrac{1}{\sin \alpha} + \dfrac{2}{\cos \alpha} \right) \\[5pt] &=& l \cdot \left(\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha} + \dfrac{2 \cdot \sin \alpha}{\cos \alpha \cdot \sin \alpha} \right) \\[5pt] &=& l \cdot \dfrac{\cos \alpha +2 \cdot \sin \alpha}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha} & \quad \scriptsize \mid \, : \dfrac{\cos \alpha +2 \cdot \sin \alpha}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha} \\[5pt] c \cdot \dfrac{\sin \alpha \cdot \cos \alpha}{\cos \alpha +2 \cdot \sin \alpha} &=& l \end{array}$
$l= \dotsc$
Daraus folgt für den Flächeninhalt $A$:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& 2 \cdot l^2 \\[5pt] &=& 2 \cdot \left( c \cdot \dfrac{\sin \alpha \cdot \cos \alpha}{\cos \alpha +2 \cdot \sin \alpha}\right)^2 \\[5pt] &=& 2 \cdot c^2 \cdot \dfrac{(\sin \alpha \cdot \cos \alpha)^2}{(\cos \alpha +2 \cdot \sin \alpha)^2} \\[5pt] &=& 2 \cdot c^2 \cdot \dfrac{(\sin \alpha \cdot \cos \alpha)^2}{(\cos \alpha)^2 +4 \cdot \cos \alpha \cdot \sin \alpha +4\cdot (\sin \alpha)^2} \\[5pt] \end{array}$
$A= \dotsc $
Hierbei gilt $(\sin \alpha)^2 + (\cos \alpha)^2=1$ und $2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha= \sin (2\cdot \alpha)$. Damit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& 2 \cdot c^2 \cdot 4 \cdot \dfrac{(\sin 2 \cdot \alpha )^2}{1 +4 \cdot \cos \alpha \cdot \sin \alpha +3\cdot (\sin \alpha)^2} \\[5pt] A&=& 8 \cdot c^2 \cdot \dfrac{(\sin (2 \cdot \alpha) )^2}{1 +2 \cdot \sin (2 \cdot \alpha) +3\cdot (\sin \alpha)^2} \\[5pt] \end{array}$
$A= \dotsc $
Somit hast du gezeigt, dass für den Flächeninhalt des Rechtecks in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ und der Länge der Seite $c$ folgende Formel gilt:
$A= 8 \cdot c^2 \cdot \dfrac{(\sin (2 \cdot \alpha) )^2}{1 +2 \cdot \sin (2 \cdot \alpha) +3\cdot (\sin \alpha)^2}$
$A= \dotsc$
b)
Du sollst den Graphen für den Flächeninhalt in Abhängigkeit des Winkels $\alpha \in [0^°;90^°]$ zeichnen. Hierfür hast du gegeben, dass $c=6 \text{ cm}$ gilt und du sollst dazu eine geeignete Wertetabelle erstellen. In der Teilaufgabe zuvor hast du bereits eine Formel für den Flächeninhalt in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ und der Länge der Seite $c$ angegeben. Mit $c=6 \text{ cm}$ folgt für den Flächeninhalt:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& 8 \cdot (6 \text{ cm})^2 \cdot \dfrac{(\sin (2 \cdot \alpha) )^2}{1 +2 \cdot \sin (2 \cdot \alpha) +3\cdot (\sin \alpha)^2} \\[5pt] &=& 8 \cdot 36 \text{ cm}^2 \cdot \dfrac{(\sin 2 \cdot \alpha )^2}{1 +2 \cdot \sin 2 \cdot \alpha +3\cdot (\sin \alpha)^2} \\[5pt] &=& 288 \text{ cm}^2 \cdot \dfrac{(\sin (2 \cdot \alpha) )^2}{1 +2 \cdot \sin (2 \cdot \alpha) +3\cdot (\sin \alpha)^2} \\[5pt] \end{array}$
$A= \dotsc$
Daraus folgt mit einer Schrittweite von $\Delta \alpha=15^°$ folgende Wertetabelle:
$\alpha$$0^°$$15^°$$30^°$$45^°$$60^°$$75^°$$90^°$
Flächeninhalt $A$ in $\text{ cm}^2$$0$$32,71$$62,03$$64$$43,36$$15,00$$0$
$\alpha$Flächeninhalt $A$
in $\text{ cm}^2$
$0^°$$0$
$15^°$$32,71$
$30^°$$ 62,03 $
$45^°$$64$
$60^°$$43,36$
$75^°$$15,00$
$90^°$$0$
Damit ergibt sich folgende Abbildung:
Ebene und räumliche Geometrie: Einbeschreibungsaufgaben
Abb. 2: Flächeninhalt in Abhängigkeit von $\alpha$
Ebene und räumliche Geometrie: Einbeschreibungsaufgaben
Abb. 2: Flächeninhalt in Abhängigkeit von $\alpha$
#sinus#kosinus

Aufgabe 1

a)
Du sollst den Umfang der Rechtecke $DEFG$ in Abhängigkeit der Länge der Strecke $\overline{GC}$ angeben. Du hast hierfür gegeben, dass das Dreieck $ABC$ gleichschenklig ist mit der Grundseite $c$ und $\overline{AC}=\overline{BC}=10 \text{ cm}$ und $\alpha=40^°$ gilt.
Setze hierbei beispielsweise für die Länge der Strecke $\overline{GC}$ den Parameter $x$ ein.
Du musst somit die Länge der Strecken $\overline{DG}$ und $\overline{GF}$ in Abhängigkeit der Länge der Strecke $\overline{GC}$ angeben. Du kannst zuerst die Länge der Strecke $\overline{AG}$ in Abhängigkeit des Parameters $x$ angeben und anschlißend mit dem Sinus die Länge der Strecke $\overline{DG}$ in Abhängigkeit des Parameters berechnen.
Für die Länge der Strecke $\overline{AG}$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AC}&=& \overline{AG} + \overline{GC} & \quad \scriptsize \mid \, -\overline{GC}\\[5pt] \overline{AC} - \overline{GC}&=& \overline{AG} \\[5pt] \overline{AG}&=& \overline{AC} - x \\[5pt] \overline{AG}&=& 10 \text{ cm} - x \end{array}$
$ \overline{AG}= 10 \text{ cm} - x $
Somit folgt mit dem Sinus für die Länge der Strecke $\overline{DG}$ mit $\alpha=40^°$:
$\begin{array}[t]{rll} \sin 40^°&=& \dfrac{\overline{DG}}{\overline{AG}} & \quad \scriptsize \mid \, \cdot \overline{AG}\\[5pt] \overline{AG} \cdot \sin 40^°&=& \overline{DG} \\[5pt] (10 \text{ cm} - x) \cdot \sin 40^°&=& \overline{DG} \\[5pt] \end{array}$
$\overline{DG}= \dotsc $
Anschließend musst du noch die Länge der Strecke $\overline{GF}$ berechnen. Zeichne dazu eine Höhe in das Dreieck $GFC$ ein. Außerdem weißt du, dass der Winkel an dem Punkt $G$ gleich dem Winkel $\alpha$ ist, da diese Winkel Stufenwinkel zueinander sind. Somit kannst du die Länge der Strecke $\overline{GF}$ mit dem Kosinus folgendermaßen berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \cos 40^°&=& \dfrac{\frac{\overline{GF}}{2}}{\overline{GC}} & \quad \scriptsize \mid \, \cdot \overline{GC}\\[5pt] \overline{GC} \cdot \cos 40^°&=&\dfrac{\overline{GF}}{2} & \quad \scriptsize \mid \, \cdot 2 \\[5pt] 2 \cdot \overline{GC} \cdot \cos 40^°&=& \overline{GF} \\[5pt] 2 \cdot x \cdot \cos 40^°&=& \overline{GF} \\[5pt] \end{array}$
$ \overline{GF}=2 x \cdot \cos 40^° $
Daraus folgt für den Umfang des Rechtecks $DEFG$ in Abhängigkeit der Länge der Strecke $\overline{GC}=x$:
$\begin{array}[t]{rll} U&=& 2 \cdot \overline{DG} + 2 \cdot \overline{GF} \\[5pt] &=& 2 \cdot (10 \text{ cm} - x) \cdot \sin 40^° +2 \cdot 2 \cdot x \cdot \cos 40^° \\[5pt] &=& 20 \text{ cm} \cdot \sin 40^° - 2x \cdot \sin 40^° +4 \cdot x \cdot \cos 40^° \\[5pt] &=& 20 \text{ cm} \cdot \sin 40^° +x \cdot (4 \cdot \cos 40^° -2 \cdot \sin 40^°) \\[5pt] \end{array}$
$U= \dotsc$
b)
Du sollst die Länge der Strecke $\overline{GC}$ So angeben, dass das Rechteck $DEFG$ ein Quadrat ist. Da des Rechteck $DEFG$ ein Quadrat sein soll muss entsprechend $\overline{DG}=\overline{GF}$. In der Teilaufgabe zuvor hast du bereits die Länge der Strecke $\overline{DG}$ und die Länge der Strecke $\overline{GF}$ in Abhängigkeit der Länge der Strecke $\overline{GC}$ bestimmt.
Aus der vorherigen Teilaufgabe folgt mit $\overline{GC}=x$:
$\overline{GF}= 2 \cdot x \cdot \cos 40^°$ und $\overline{DG}=(10 \text{ cm} - x) \cdot \sin 40^°$.
Setze somit die gegebenen Formeln gleich und löse nach der unbekannten Länge $x$ auf. Daraus folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{GF}&=& \overline{DG} \\[5pt] 2 \cdot x \cdot \cos 40^°&=& (10 \text{ cm} - x) \cdot \sin 40^° \\[5pt] 2 \cdot x \cdot \cos 40^°&=& 10 \text{ cm} \cdot \sin 40^° -x \cdot \sin 40^° & \quad \scriptsize \mid \, +x \cdot \sin 40^° \ \\[5pt] 2 \cdot x \cdot \cos 40^° +x \cdot \sin 40^°&=& 10 \text{ cm} \cdot \sin 40^° \\[5pt] x \cdot (2 \cdot \cos 40^° + \sin 40^°)&=& 10 \text{ cm} \cdot \sin 40^° & \quad \scriptsize \mid \,:(2 \cdot \cos 40^° + \sin 40^°)\\[5pt] x &=& \dfrac{10 \text{ cm} \cdot \sin 40^°}{2 \cdot \cos 40^° + \sin 40^°} \\[5pt] x &\approx& 2,96 \text{ cm} \\[5pt] \end{array}$
$ x \approx 2,96 \text{ cm}$
Somit muss $\overline{GC} \approx 2,96 \text{ cm}$ gelten, damit das einbeschriebene Rechteck ein Quadrat ist.
#sinus#kosinus

Aufgabe 2

a)
Du sollst den Flächeninhalt des Dreiecks $DEF$ in Abhängigkeit des Winkels $\gamma$ und der Länge der Seite $c$ berechnen.
Die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks lautet:
$A=\dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h$
$A=\dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h$
Somit musst du die Länge der Grundseite $g$ und die Höhe $h$ des Dreiecks in Abhängigkeit des Winkels $\gamma$ und der Länge der Seite $c$ angeben. Du hast gegeben, dass der Punkt $F$ genau den Mittelpunkt der Seite $c$ darstellt und du weißt außerdem aus der Aufgabenstellung, dass das Dreieck $ABC$ gleichseitig ist. Das bedeutet, dass die Winkel $\alpha=\beta=\gamma = 60^°$ betragen und $a=b=c$ gilt.
Du kannst nun im Dreieck $FDA$ die Höhe des Dreicks $h$ in Abhängigkeit des Winkel $\gamma$ und der Länge der Seite $c$ bestimmen. Zeichne dazu zuerst die Höhe $h$ senkrecht zur Seite $c$ und durch den Punkt $D$ ein. Die Höhe $h$ teilt die Dreiecke in zwei Dreiecke welche im Allgemeinen nicht gleich groß sind. Bezeichne den Schnittpunkt der Höhe $h$ mit der Seite $c$ beispielsweise als Punkt $M$.
Hierbei kannst du den Winkel im Dreieck $FDA$ an dem Punkt $F$ in Abhängigkeit des Winkels $\gamma$ angeben. Bezeichne den Winkel beispielsweise mit $\beta$. Somit gilt für den Winkel $\beta$ folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} 90^°&=& \beta + \dfrac{\gamma}{2} & \quad \mid \, -\dfrac{\gamma}{2} \\[5pt] 90^° -\dfrac{\gamma}{2}&=& \beta \\[5pt] \end{array}$
$ \beta=90^° -\dfrac{\gamma}{2} $
Daraus ergibt sich folgende Skizze:
Ebene und räumliche Geometrie: Einbeschreibungsaufgaben
Abb. 3: Skizze
Ebene und räumliche Geometrie: Einbeschreibungsaufgaben
Abb. 3: Skizze
Im Dreieck kannst du nun die Längen der Strecken $c_1$ und $c_2$ in Abhängigkeit der Höhe $h$ und den Winkeln $\alpha$ und $\beta$ angeben. Für die Länge der Strecke $c_1$ kannst du in dem rechtwinkligen Dreieck $AMD$ den $Tangens$ verwenden. Dadurch folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha&=& \dfrac{h}{c_1} & \quad \mid \, \cdot c_1 \\[5pt] c_1 \cdot \tan \alpha&=& h & \quad \mid \, : \tan \alpha \\[5pt] c_1 &=& \dfrac{h}{\tan \alpha} \\[5pt] \end{array}$
$c_1= \dfrac{h}{\tan \alpha} $
Für die Länge der Strecke $c_2$ folgt mit dem Tangens und dem Winkel $\beta=90^° -\dfrac{\gamma}{2}$ entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \beta&=& \dfrac{h}{c_2} & \quad \mid \, \cdot c_2 \\[5pt] c_2 \cdot \tan \beta&=& h & \quad \mid \, : \tan \beta \\[5pt] c_2 &=& \dfrac{h}{\tan \beta} \\[5pt] c_2 &=& \dfrac{h}{\tan \left(90^° -\frac{\gamma}{2}\right)} \\[5pt] \end{array}$
$c_2= \dotsc$
Aus der Skizze lässt sich die Gleichung $c_1+c_2=\dfrac{c}{2}$ erkennen. Du kannst die Gleichung somit nach $c_2$ auflösen. Es folgt:
$\begin{array}[t]{rll} c_1 + c_2&=& \dfrac{c}{2} & \quad \mid \, - c_1 \\[5pt] c_2 &=& \dfrac{c}{2} -c_1 \\[5pt] \end{array}$
$c_2=\dfrac{c}{2} -c_1 $
Die Gleichung $c_2= \dfrac{c}{2} -c_1$ kannst du in die Gleichung $c_2 = \dfrac{h}{\tan \left(90^° -\frac{\gamma}{2}\right)}$ für $c_2$ einsetzen und nach $c_1$ auflösen. Damit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} c_2 &=& \dfrac{h}{\tan \beta} \\[5pt] \dfrac{c}{2} -c_1 &=& \dfrac{h}{\tan \tan \left(90^° -\frac{\gamma}{2}\right)} & \quad \mid \, + c_1 \\[5pt] \dfrac{c}{2} &=& \dfrac{h}{\tan \left(90^° -\frac{\gamma}{2}\right)} +c_1 & \quad \mid \, - \dfrac{h}{\tan \tan \left(90^° -\frac{\gamma}{2}\right)} \\[5pt] \dfrac{c}{2} -\dfrac{h}{ \tan \left(90^° -\frac{\gamma}{2}\right)} &=& c_1 \\[5pt] \end{array}$
$c_1= \dotsc$
Die Gleichungen $c_1=\dfrac{c}{2} -\dfrac{h}{\tan \left(90^° -\frac{\gamma}{2}\right)} $ und $c_1 = \dfrac{h}{\tan \alpha}$ kannst du gleichsetzen und damit die Höhe $h$ in Abhängigkeit des Winkels $\gamma$ und der Länge der Seite $c$ berechnen. Mit $\alpha=60^°$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} c_1 &=& c_1 \\[5pt] \dfrac{c}{2} -\dfrac{h}{ \tan \left(90^° -\frac{\gamma}{2}\right)} &=& \dfrac{h}{\tan \alpha} & \quad \mid \, + \dfrac{h}{ \tan \left(90^° -\frac{\gamma}{2}\right)}\\[5pt] \dfrac{c}{2} &=& \dfrac{h}{\tan \alpha} +\dfrac{h}{ \tan \left(90^° -\frac{\gamma}{2}\right)} \\[5pt] \dfrac{c}{2} &=& h \cdot \left( \dfrac{1}{\tan \alpha} +\dfrac{1}{ \tan \left(90^° -\frac{\gamma}{2}\right)} \right) \\[5pt] \dfrac{c}{2} &=& h \cdot \left( \dfrac{ \tan \left(90^° -\frac{\gamma}{2}\right)+ \tan \alpha}{\tan \alpha \cdot \tan \left(90^° -\frac{\gamma}{2}\right)} \right) & \quad \mid \, :\left( \dfrac{ \tan \left(90^° -\frac{\gamma}{2}\right)+ \tan \alpha}{\tan \alpha \cdot \tan \left(90^° -\frac{\gamma}{2}\right)} \right) \\[5pt] h &=& \dfrac{c}{2} \cdot \left( \dfrac{ \tan \left(90^° -\frac{\gamma}{2}\right) \cdot \tan \alpha}{ \tan \left(90^° -\frac{\gamma}{2}\right)+ \tan \alpha} \right) \\[5pt] &=& \dfrac{c}{2} \cdot \left( \dfrac{ \tan \left(90^° -\frac{\gamma}{2}\right) \cdot \tan 60^°}{ \tan \left(90^° -\frac{\gamma}{2}\right)+ \tan 60^°} \right) \\[5pt] &=& \dfrac{c}{2} \cdot \left( \dfrac{ \tan \left(90^° -\frac{\gamma}{2}\right) \cdot \sqrt{3}}{ \tan \left(90^° -\frac{\gamma}{2}\right)+ \sqrt{3} } \right) \\[5pt] \end{array}$
$h= \dotsc$
Den Ausdruck $\tan \left(90^° -\dfrac{\gamma}{2}\right)$ kannst du mit deiner Formelsammlung wie folgt umformen:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \left(90^° -\dfrac{\gamma}{2}\right) &=& \dfrac{\sin \left(90^° -\frac{\gamma}{2}\right) }{\cos \left(90^° -\frac{\gamma}{2}\right)} \\[5pt] &=& \dfrac{\sin \left(90^°+ \left(-\frac{\gamma}{2}\right) \right) }{\cos \left(90^° +\left(-\frac{\gamma}{2}\right)\right)} \\[5pt] &=& \dfrac{\cos \left(-\frac{\gamma}{2}\right) }{-\sin \left( -\frac{\gamma}{2}\right) } \\[5pt] &=& \dfrac{\cos \left(\frac{\gamma}{2}\right) }{\sin \left( \frac{\gamma}{2}\right) } \\[5pt] \end{array}$
$\tan \left(90^° -\dfrac{\gamma}{2}\right)= \dotsc $
Dies kannst du nun in die obige Gleichung einsetzen und damit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} h&=& \dfrac{c}{2} \cdot \left( \dfrac{ \frac{\cos \left(\frac{\gamma}{2}\right) }{\sin \left( \frac{\gamma}{2}\right) } \cdot \sqrt{3}}{ \frac{\cos \left(\frac{\gamma}{2}\right) }{\sin \left( \frac{\gamma}{2}\right) }+ \sqrt{3} } \right) \\[5pt] &=& \dfrac{c}{2} \cdot \left( \dfrac{ \frac{\cos \left(\frac{\gamma}{2}\right) }{\sin \left( \frac{\gamma}{2}\right) } \cdot \sqrt{3}}{ \frac{\cos \left(\frac{\gamma}{2}\right) }{\sin \left( \frac{\gamma}{2}\right) }+ \frac{\sin \left( \frac{\gamma}{2}\right) \cdot \sqrt{3} }{\sin \left( \frac{\gamma}{2}\right)} } \right) \\[5pt] &=& \dfrac{c}{2} \cdot \left( \dfrac{ \frac{\cos \left(\frac{\gamma}{2}\right) }{\sin \left( \frac{\gamma}{2}\right) } \cdot \sqrt{3}} { \frac{\cos \left(\frac{\gamma}{2}\right) +\sin \left( \frac{\gamma}{2}\right) \cdot \sqrt{3} }{\sin \left( \frac{\gamma}{2}\right) }} \right) \\[5pt] &=& \dfrac{c}{2} \cdot \left( \dfrac{\cos \left(\frac{\gamma}{2}\right) }{\sin \left( \frac{\gamma}{2}\right) } \cdot \sqrt{3} \cdot \dfrac{\sin \left( \frac{\gamma}{2}\right) }{\cos \left(\frac{\gamma}{2}\right) +\sin \left( \frac{\gamma}{2}\right) \cdot \sqrt{3} } \right) \\[5pt] &=& \dfrac{c}{2} \cdot \left( \dfrac{\cos \left(\frac{\gamma}{2}\right) \cdot \sqrt{3} }{\cos \left(\frac{\gamma}{2}\right) +\sin \left( \frac{\gamma}{2}\right) \cdot \sqrt{3} } \right) \\[5pt] \end{array}$
$h= \dotsc$
Damit kannst du die Länge der Grundseite im Dreieck $DEF$ durch den Tangens wie folgt berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \dfrac{\gamma}{2} &=& \dfrac{\frac{g}{2}}{h} & \quad \scriptsize \mid \, \cdot h \\[5pt] h \cdot \tan \dfrac{\gamma}{2} &=& \dfrac{g}{2} & \quad \scriptsize \mid \, \cdot 2 \\[5pt] 2 \cdot h \cdot \tan \dfrac{\gamma}{2} &=& g \\[5pt] \end{array}$
$ g= \dotsc$
Du kannst nun die obige Gleichung für $h$ einsetzen und somit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} g&=& 2 \cdot h \cdot \tan \dfrac{\gamma}{2} \\[5pt] &=& 2 \cdot \dfrac{c}{2} \cdot \left( \dfrac{\cos \left(\frac{\gamma}{2}\right) \cdot \sqrt{3} }{\cos \left(\frac{\gamma}{2}\right) +\sin \left( \frac{\gamma}{2}\right) \cdot \sqrt{3} } \right) \cdot \tan \dfrac{\gamma}{2} \\[5pt] &=& c \cdot \left( \dfrac{\cos \left(\frac{\gamma}{2}\right) \cdot \sqrt{3} }{\cos \left(\frac{\gamma}{2}\right) +\sin \left( \frac{\gamma}{2}\right) \cdot \sqrt{3} } \right) \cdot \dfrac{\sin \left(\frac{\gamma}{2}\right)}{\cos \left(\frac{\gamma}{2}\right)} \\[5pt] &=& \dfrac{c \cdot \sin \left(\frac{\gamma}{2}\right) \cdot \sqrt{3} }{\cos \left(\frac{\gamma}{2}\right) +\sin \left( \frac{\gamma}{2}\right) \cdot \sqrt{3} } \\[5pt] \end{array}$
$ g= \dotsc$
Somit folgt für den Flächeninhalt des Dreiecks $DEF$ in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ und der Länge der Seite $c$:
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{c \cdot \sin \left(\frac{\gamma}{2}\right) \cdot \sqrt{3} }{\cos \left(\frac{\gamma}{2}\right) +\sin \left( \frac{\gamma}{2}\right) \cdot \sqrt{3} } \cdot \dfrac{c}{2} \cdot \left( \dfrac{\cos \left(\frac{\gamma}{2}\right) \cdot \sqrt{3} }{\cos \left(\frac{\gamma}{2}\right) +\sin \left( \frac{\gamma}{2}\right) \cdot \sqrt{3} } \right) \\[5pt] &=&\dfrac{c^2}{4} \cdot \dfrac{3 \cdot \sin \left(\frac{\gamma}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\gamma}{2}\right) }{\left(\cos \left(\frac{\gamma}{2}\right) +\sin \left( \frac{\gamma}{2}\right) \cdot \sqrt{3} \right)^2 } \\[5pt] &=&\dfrac{c^2}{4} \cdot \dfrac{3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin \left(2 \cdot \frac{\gamma}{2}\right) }{\left(\cos \left(\frac{\gamma}{2}\right) +\sin \left( \frac{\gamma}{2}\right) \cdot \sqrt{3} \right)^2 } \\[5pt] &=&\dfrac{3 \cdot c^2}{8} \cdot \dfrac{ \sin \gamma }{\left(\cos \left(\frac{\gamma}{2}\right) +\sin \left( \frac{\gamma}{2}\right) \cdot \sqrt{3} \right)^2 } \\[5pt] &=&\dfrac{3 \cdot c^2}{8} \cdot \dfrac{ \sin \gamma }{\left(\cos \left(\frac{\gamma}{2}\right) +\sin \left( \frac{\gamma}{2}\right) \cdot \sqrt{3} \right)^2 } \\[5pt] \end{array}$
$A= \dotsc $
Somit hast du gezeigt, dass für den Flächeninhalt in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ und der Länge der Seite $c$ die folgende Gleichung gilt:
$A=\dfrac{3 \cdot c^2}{8} \cdot \dfrac{ \sin \gamma }{\left(\cos \left(\frac{\gamma}{2}\right) +\sin \left( \frac{\gamma}{2}\right) \cdot \sqrt{3} \right)^2 } $
$ A= \dotsc $
b)
Du sollst den Flächeninhalt des Dreiecks $DEF$ für $\gamma=30^°$ und $c=5 \text{ cm}$ berechnen. In der vorherigen Teilaufgabe hast du für die Flächeninhalt des Dreiecks $DEF$ in Abhängigkeit des Winkels $\gamma$ und der Länge der Seite $c$ bereits eine Gleichung bestimmt.
Setze somit $\gamma=30^°$ und $c=5 \text{ cm}$ in die gegebene Gleichung aud der vorherigen Teilaufgabe ein und berechne den gesuchten Flächeninhalt wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{3 \cdot c^2}{8} \cdot \dfrac{ \sin \gamma }{\left(\cos \left(\frac{\gamma}{2}\right) +\sin \left( \frac{\gamma}{2}\right) \cdot \sqrt{3} \right)^2 } \\[5pt] &=& \dfrac{3 \cdot (5 \text{ cm})^2}{8} \cdot \dfrac{ \sin 30^°}{\left(\cos \left(\frac{30^°}{2}\right) +\sin \left( \frac{30^°}{2}\right) \cdot \sqrt{3} \right)^2 } \\[5pt] &=& \dfrac{3 \cdot (5 \text{ cm})^2}{8} \cdot \dfrac{ \sin 30^°}{\left(\cos \left(15^°\right) +\sin \left( 15^° \right) \cdot \sqrt{3} \right)^2 } \\[5pt] &\approx& 2,34 \text{ cm}^2 \\[5pt] \end{array}$
$A \approx 2,34 \text{ cm}^2 $
Der Flächeninhalt des Dreiecks $DEF$ beträgt somit für $\gamma=30^°$ und $c=5 \text{ cm}$ etwa $2,34 \text{ cm}^2$.
#kosinus#tangens#sinus

Aufgabe 3

a)
Du sollst den Flächeninhalt des Dreiecks $ABF$ in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ und der Länge der Seite $a$ bestimmen. Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich mit folgender Formel:
$A= \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h_g$
$A= \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h_g$
Zur Berechnung des Flächeninhalts benötigst du hierfür noch die Länge der Höhe $h$. Zeichne hierfür die Höhe $h$ ein, welche senkrecht auf der Seite $a$ steht und durch den Punkt $D$ verläuft. Daraus ergeben sich zwei rechtwinklige Dreiecke.
In diesem rechtwinkligen Dreieck hast du bereits die Länge der Seite $d$ in Abhängigkeit der Länge der Seite $a$ gegeben, da es sich hierbei um eine Raute handelt und damit $a=d$ gilt. Mit dem Winkel $\alpha$ kannst du die gesuchte Höhe $h$ folgendermaßen mit dem Sinus bestimmmen:
$\begin{array}[t]{rll} \sin \alpha&=& \dfrac{h}{d} \\[5pt] \sin \alpha&=& \dfrac{h}{a} & \quad \scriptsize \mid \, \cdot a \\[5pt] a \cdot \sin \alpha &=& h \\[5pt] \end{array}$
$h=a \cdot \sin \alpha$
Somit folgt für den Flächeninhalt in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ und der Länge der Seite $a$ folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h\\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin \alpha \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sin \alpha\\[5pt] \end{array}$
$A= \dfrac{a^2}{2} \cdot \sin \alpha$
Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABF$ in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ und der Länge der Seite $a$ ist somit durch $A=\dfrac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sin \alpha$ gegeben.
b)
Du sollst den Winkel $\alpha$ bestimmen für den das Dreieck $ABF$ gleichschenklig ist, wobei der Punkt $F$ die Seite $c$ in zwei Abschnitte teilt. Hierbei gilt entsprechend $\overline{DF}= \dfrac{1}{3} \cdot c$ und $\overline{FC}= \dfrac{2}{3} \cdot c$. Zeichne senkrecht zur Seite $a$ die Höhe $h$ durch den Punkt $D$ ein. Bezeichne den Schnittpunkt der Höhe durch den Punkt $D$ mit der Seite $A$ beispielsweise mit $G$.
Außerdem kannst du nochmals die Höhe $h$ senkrecht zur Seite $a$ und durch den Punkt $F$ einzeichnen. Bezeichne den Schnittpunkt dieser Höhe beispielsweise mit $H$. Daraus ergibt sich folgende Skizze:
Ebene und räumliche Geometrie: Einbeschreibungsaufgaben
Abb. 4: Skizze
Ebene und räumliche Geometrie: Einbeschreibungsaufgaben
Abb. 4: Skizze
Da es sich um eine Raute handelt gilt hierbei $c=a$ und an der Skizze kannst du erkennen, dass die Gleichung $\overline{HA}= \overline{GH} + \overline{GA}$ gelten muss. Das Dreieck $ABF$ soll hierbei gleichschenklig sein, dass bedeutet, dass entsprechend $\overline{HA}=\dfrac{a}{2}$ gelten muss.
Außerdem hast du gegeben, dass $\overline{DF}= \dfrac{1}{3} \cdot c$ gilt. Weiter gilt $d=a$ und $\overline{DF}=\overline{GH}$. Somit folgt für die Länge der Strecke $\overline{GA}$ folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{HA}&=&\overline{GH} + \overline{GA} & \quad \scriptsize \mid \, - \overline{GH} \\[5pt] \overline{HA} - \overline{GH} &=& \overline{GA} \\[5pt] \dfrac{a}{2} -\dfrac{1}{3} \cdot a &=& \overline{GA} \\[5pt] \overline{GA} &=&\dfrac{a}{6} \\[5pt] \end{array}$
$\overline{GA} =\dfrac{a}{6} $
Damit kannst du im rechtwinkligen Dreieck $AGD$ den Winkel $\alpha$ durch den Kosinus wie folgt bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha&=& \dfrac{\overline{GA}}{\overline{DA}} \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{\frac{a}{6}}{a} \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{1}{6} & \quad \scriptsize \mid \, \cos^{-1}(\,)\\[5pt] \alpha&=& \cos^{-1}\left(\dfrac{1}{6}\right) \\[5pt] &\approx& 80,41^°\\[5pt] \end{array}$
$\alpha \approx 80,41^°$
Somit muss $\alpha \approx 80,41^°$ gelten, damit das Dreieck $ABF$ gleichschenklig ist.
#sinus#kosinus
Bildnachweise [nach oben]
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