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In der Ebene

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Das Dreieck $ABC$ besitzt an dem Punkt $C$ einen rechten Winkel. Wie lautet die Formel für den Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks? Gib die Länge der Seiten $a$ und $b$ in Abhängigkeit von der Seite $c$ und dem Winkel $\alpha$ an.
b)
Ersetze die Länge der Seiten $a$ und $b$ in der Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks und fasse so weit wie möglich zusammen. Die Länge der Seite $c$ soll dabei $8\,\text{cm}$ sein.
c)
Überlege dir, für welchen Wert von $\alpha$ der Flächeninhalt maximal wird. Zeichne die Funktion im Bereich $30°\leq\alpha\leq60°$ und lies den Winkel ab, bei dem die Funktion ihr Maximum besitzt. Berechne den größten Flächeninhalt.
#flächeninhalt#rechtwinkligesdreieck

Aufgabe 1

a)
Du hast gegeben, dass das Dreieck $ABC$ gleichschenklig ist, wobei die Seite $[AB]$ die Basis des Dreiecks darstellt. Gebe die Formel für den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks in Abhängigkeit des Winkels $\beta$ und der Länge der Grundseite $c$ an.
b)
Berechne den Umfang des zuvor beschriebenen Dreiecks mit der Grundseite $c=5 \text{ cm}$ und dem Winkel $\beta=30^°.$
#gleichschenkligesdreieck#umfang

Aufgabe 2

a)
Gib die Formel für den Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks in Abhängigkeit des Winkels $\gamma$ und der Länge der Seite $a$ an. Hierbei bezeichnet die Seite $c$ die Grundseite.
b)
Berechne den Flächenihalt eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Grundseite $c$ durch die zuvor bestimmten Formel. Du hast gegeben, dass die Länge der Seite $b= 4\text{ cm}$ und der Winkel $\alpha=40^°$ beträgt.
#flächeninhalt#gleichschenkligesdreieck

Aufgabe 3

Du hast die Ortsvektoren $\overrightarrow{OA}=\pmatrix{1\\-2}$ und $\overrightarrow{OB_n}=\pmatrix{6 \cdot \sin^2\phi\\3 \cdot \cos^2\phi}$, welche die Dreiecke $OAB_n$ aufspannen mit $\phi \in ]0^°;90^°[$ gegeben. $O$ bezeichnet hierbei den Ursprung mit den Koordinaten $(0\mid 0)$.
a)
Zeichne für $\phi=30^°$ und $\phi=60^°$ die Dreiecke $OAB_1$ und $OAB_2$. Bestimme dazu mit den gegebenen Winkeln die Koordinaten der Punkte $B_1$ und $B_2$.
b)
Gebe an, für welchen Wert von $\phi$ das Dreieck $OAB_n$ an dem Ursprung einen rechten Winkel besitzt.
#ortsvektor#rechterwinkel

Aufgabe 4

Das Parallelogramm $ABCD$ besitzt den Winkel $\alpha$ an dem Punkt $A$, der kleiner gleich $90^°$ ist und die Seite $a$ ist doppelt so lange als die Seite $b$.
a)
Berechne die Länge der Diagonalen $e$, welche vom Punkt $A$ zum Punkt $C$ verläuft in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ und der Länge der Seite $b$.
b)
Zeichne den Graphen der Länge der Diagonale in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ für $a=20 \text{ cm}$. Erstelle dazu eine Wertetabelle für $\alpha$ gleich $15^°$, $30^°$, $45^°$, $60^°$, $75^°$ und $90^°$.
#diagonale#parallelogramm
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Einführungsaufgabe

a)
Du sollst die Formel für den Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks angeben und anschließend die Länge der Seiten $a$ und $b$ in Abhängigkeit der Länge der Seite $c$ und dem Winkel $\alpha$ angeben. Du hast hierfür gegeben, dass das Dreieck $ABC$ an dem Punkt $C$ einen rechten Winkel besitzt.
Daraus folgt die folgende Formel für den Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks:
$A_D=\dfrac{1}{2}\cdot a \cdot b$
$A_D=\dfrac{1}{2}\cdot a \cdot b$
Wenn du die Längen der Seiten $a$ und $b$ in Abhängigkeit von $c$ und $\alpha$ angeben willst, dann benötigst du die trigonometrischen Funktionen. Suche die trigonometrische Funktion, die den Winkel $\alpha$, die Grundseite $c$ und die zu beschreibende Seite enthält. Forme anschließend so um, dass die zu beschreibende Seite alleine steht.
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=&\dfrac{a}{c} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot c \\[5pt] \sin(\alpha)\cdot c&=&a \\[5pt] \end{array}$
$a=c \cdot \sin(\alpha)$
Du kannst die Länge der Seite $a$ durch $a=\sin(\alpha)\cdot c$ ausdrücken.
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{b}{c} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot c \\[5pt] \cos(\alpha)\cdot c&=&b \\[5pt] \end{array}$
$b=c \cdot \cos(\alpha)$
Du kannst die Länge der Seite $b$ durch $b=\cos(\alpha)\cdot c$ ausdrücken.
b)
Setze die Ausdrücke für $a$ und $b$, die du in Aufgabenteil a) aufgestellt hast, in die Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks ein und fasse soweit wie möglich zusammen. Beachte hierbei, dass $c = 8\,\text{cm}$ gilt. Somit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A_D&=&\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] A_D&=&\dfrac{1}{2}\cdot c\cdot\sin(\alpha)\cdot c\cdot\cos(\alpha) \\[5pt] A_D&=&\dfrac{1}{2}\cdot c^2\cdot\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha) &\quad \scriptsize \mid\; \text{Doppelwinkelfunktion}\\[5pt] A_D&=&\dfrac{1}{2}\cdot c^2\cdot\dfrac{1}{2}\sin(2\alpha)\\[5pt] A_D&=&\dfrac{c^2}{4}\cdot\sin(2\alpha) &\quad \scriptsize \mid\; c=8\,\text{cm}\\[5pt] A_D&=&\dfrac{(8\,\text{cm})^2}{4}\cdot\sin(2\alpha)\\[5pt] A_D&=&\dfrac{64\,\text{cm}^2}{4}\cdot\sin(2\alpha)\\[5pt] A_D&= & 16\,\text{cm}^2\cdot\sin(2\alpha)\\[5pt] \end{array}$
$A_D= \dotsc$
Die Formel für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von $\alpha$ lautet demnach $A_D=16\,\text{cm}^2\cdot\sin(2\alpha)$.
Wenn du viele Ausdrücke wie $\sin$ und $\cos$ in deinen Formeln stehen hast, dann kannst du häufig die Ausdrücke vereinfachen. Dazu benötigst du deine Formelsammlung. In diesem Beispiel hast du die Doppelwinkelfunktion ausgenutzt. Du hast den Ausdruck $\sin(2x)=2\sin(x)\cdot\cos(x)$ umgeformt zu $\dfrac{1}{2}\sin(2x)=\sin(x)\cdot\cos(x)$ und konntest anschließend die rechte Seite der Gleichung in der Rechnung mit der linken Seite ersetzen. So warst du in der Lage aus einer Rechnung mit $\sin$ und $\cos$ eine Rechnung zu machen, die nur $\sin$ enthält.
c)
Nun musst du dir überlegen, wann deine, in Aufgabenteil b) bestimmte, Formel maximal wird. Welchen Einfluss hat die Variable auf welchen Teil der Rechnung? Wie verläuft eine Sinusfunktion?
Prinzipiell multiplizierst du in deiner Formel einen festen Wert mit dem Ergebnis des $\sin$. Der Sinus nimmt Werte zwischen $-1$ und $1$ an. Den maximalen Wert erhältst du also, wenn das Ergebnis des Sinus $1$ ist. Wann ist das der Fall?
Seinen höchsten Wert nimmt der Sinus bei $90°$ an. Da der Ausdruck jedoch nicht $\sin(\alpha)$ lautet, sondern noch einen Vorfaktor trägt, musst du dafür sorgen, dass der Ausdruck im Sinus $90°$ ergibt. Setze den Ausdruck im Sinus mit den $90°$ gleich und berechne die notwendige Größe des Winkels $\alpha$.
$90°=2\alpha=45°$
Wenn der Winkel $\alpha$ $45°$ groß ist, dann wird der Flächeninhalt des Dreiecks maximal. Zeichne nun den Graphen der Funktion, die den Flächeninhalt angibt, und lies des Wert des Winkels ab. Überprüfe also, ob sich deine Überlegungen mit dem Funktionsgraph decken. Deine Zeichnung sollte so aussehen:
Du siehst, dass die Funktion in der Zeichnung ein Maximum bei $45°$ hat. Dieses Ergebnis deckt sich mit deinen Überlegungen. Setze diesen Wert für $\alpha$ in die Formel ein und berechne den Flächeninhalt des Dreiecks. Dadurch folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A_D&=& 16\,\text{cm}^2\cdot\sin(2\cdot45°) \\[5pt] &=& 16\,\text{cm}^2 \end{array}$
$A_D=16\,\text{cm}^2$
Der maximale Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $16\,\text{cm}^2$.
#sinusfunktion#sinus#kosinus

Aufgabe 1

a)
Du sollst die Formel für den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks in Abhängigkeit des Winkels $\beta$ und der Länge der Grundseite $c$ angeben. Du hast gegeben, dass die Seite $[AB]$ die Basis des Dreiecks $ABC$ darstellt.
Überlege dir, wie die Formel für den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks lautet und gib alle Streckenlängen in der Formel, die du nicht kennst in Abhängigkeit des Winkels und der Grundseite an. Vereinfache die Formel anschließend soweit du kannst.
Die Grundseite wird im gleichschenkligen Dreieck als die Seite bezeichnet an der die zwei gleichen Winkel anliegen. Die Formel für den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks lautet für die Grundseite $c$ $U_D=c + 2\cdot a$. Du kennst nur die Länge der Seite $c$.
Funktionale Abhängigkeit: In der Ebene
Abb. 2: Dreieck
Funktionale Abhängigkeit: In der Ebene
Abb. 2: Dreieck
Überlege dir, wie du die Seitenlänge $a$ mithilfe der rechtwinkligen Dreiecke ausdrücken kannst. Du kannst zuerst die Höhe $h$ durch den Tangens des Winkels $\beta$ mit der Seitenlänge $\dfrac{c}{2}$ ausdrücken. Hierbei gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \beta&=& \dfrac{h}{\frac{c}{2}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{c}{2} \\[5pt] h&=&\dfrac{c}{2} \cdot \tan \beta \end{array}$
$h=\dfrac{c}{2} \cdot \tan \beta$
Außerdem kannst du die Länge der Seite $a$ mit dem Sinus und der Länge der Höhe $h$ wie folgt darstellen:
$\begin{array}[t]{rll} \sin \beta&=& \dfrac{h}{a} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot a \\[5pt] a \cdot \sin \beta &=& h &\quad \scriptsize \mid\; :(\sin \beta) \\[5pt] a &=& \dfrac{h}{\sin \beta} \\[5pt] \end{array}$
$a= \dfrac{h}{\sin \beta}$
Du kannst somit $h=\dfrac{c}{2} \cdot \tan \beta$ in die berechnete Gleichung einsetzen und damit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} a&=& \dfrac{h}{\sin \beta} \\[5pt] &=& \dfrac{\dfrac{c}{2} \cdot \tan \beta}{\sin \beta} \\[5pt] \end{array}$
$ a=\dotsc$
Den Wert für $a$ kannst du somit in die Formel für den Umfang des Dreiecks einsetzen. Damit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} U&=& c + 2 \cdot a \\[5pt] &=& c + 2 \cdot \dfrac{\dfrac{c}{2} \cdot \tan \beta}{\sin \beta} \\[5pt] &=& c + \dfrac{c \cdot \tan \beta}{\sin \beta} \\[5pt] &=& c \cdot \left(1 + \dfrac{\tan \beta}{\sin \beta}\right) \\[5pt] \end{array}$
$U= \dotsc$
Da außerdem $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos \alpha}$ gilt folgt entsprechend für $\dfrac{\tan \beta}{\sin \beta}$ folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \tan\alpha&=& \dfrac{\sin\alpha}{\cos \alpha} &\quad \scriptsize \mid\; :\sin\alpha \\[5pt] \dfrac{\tan\alpha}{\sin \alpha} &=& \dfrac{1}{\cos \alpha} \\[5pt] \end{array}$
$\dfrac{\tan\alpha}{\sin \alpha}= \dfrac{1}{\cos \alpha}$
Somit folgt entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} U&=& c \cdot \left(1 + \dfrac{\tan \beta}{\sin \beta}\right)\\[5pt] &=& c \cdot \left(1 + \dfrac{1}{\cos \beta}\right) \\[5pt] \end{array}$
$U= \dotsc$
Du hast gezeigt, dass der Umfang in Abhängigkeit des Winkels $\beta$ und der Länge der Seite $c$ mit der Formel $U=c \cdot \left(1 + \dfrac{1}{\cos \beta}\right)$ berechnet werden kann.
b)
Du sollst den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Grundseite $c=5 \text{ cm}$ und dem Winkel $\beta=30^°$ berechnen. In der Teilaufgabe zuvor hast du bereits gezeigt, dass der Umfang in Abhängigkeit des Winkels $\beta$ und der Länge der Seite $c$ mit der Formel $U=c \cdot \left(1 + \dfrac{1}{\cos \beta}\right)$ berechnet werden kann. Somit kannst du $c=5 \text{ cm}$ und $\beta=30^°$ in die gegebene Formel einsetzen und daraus den gesuchten Umfang bestimmen. Somit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} U&=& c \cdot \left(1 + \dfrac{1}{\cos \beta}\right) \\[5pt] &=& 5 \text{ cm} \cdot \left(1 + \dfrac{1}{\cos 30^°}\right) \\[5pt] &\approx& 10,77 \text{ cm} \\[5pt] \end{array}$
$U \approx 10,77 \text{ cm} $
Somit beträgt der Umfang des gleichschenkligen Dreiecks etwa $10,77 \text{ cm}$.
#tangens#sinus#kosinus

Aufgabe 2

a)
Du sollst die Formel für den Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks in Abhängigkeit vom Winkel $\gamma$ und der Länge der Seite $a$ angeben. Du weißt hierbei, dass die Seite $c$ die Grundseite des Dreiecks ist. Die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks mit der Grundseite $c$ und der Höhe $h$, welche senkrecht auf der Grundseite steht lautet:
$A=\dfrac{1}{2} \cdot c \cdot h$
$A=\dfrac{1}{2} \cdot c \cdot h$
Funktionale Abhängigkeit: In der Ebene
Abb. 3: Gleichschenkliges Dreieck
Funktionale Abhängigkeit: In der Ebene
Abb. 3: Gleichschenkliges Dreieck
Überlege dir, wie du die Längen der Seiten $c$ und $h$ mithilfe der rechtwinkligen Dreiecke ausdrücken kannst. Du kannst zuerst die Länge der Seite $c$ mit dem Winkel $\dfrac{\gamma}{2}$ und der Länge der Seite $a$ ausdrücken. Hierbei folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \sin \dfrac{\gamma}{2}&=& \dfrac{\frac{c}{2}}{a} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot a \\[5pt] \sin \dfrac{\gamma}{2} \cdot a&=&\dfrac{c}{2}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \\[5pt] 2 a \cdot \sin \dfrac{\gamma}{2} &=& c \\[5pt] \end{array}$
$ c= 2 a \cdot \sin \dfrac{\gamma}{2} $
Außerdem kannst du die Länge der Höhe $h$ mit dem Kosinus und der Länge der Seite $a$ wie folgt darstellen:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \dfrac{\gamma}{2}&=& \dfrac{h}{a} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot a \\[5pt] \cos \dfrac{\gamma}{2} \cdot a&=& h \\[5pt] \end{array}$
$ h=a \cdot \cos \dfrac{\gamma}{2} $
Du kannst somit $h=\cos \dfrac{\gamma}{2} \cdot a$ und $c=2a \cdot \sin \dfrac{\gamma}{2} $ in die Formel für den Flächeninhalt einsetzen. Damit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{1}{2} \cdot c \cdot h \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot 2a \cdot \sin \dfrac{\gamma}{2} \cdot \cos \dfrac{\gamma}{2} \cdot a \\[5pt] &=& a^2 \cdot \sin \dfrac{\gamma}{2} \cdot \cos \dfrac{\gamma}{2} \\[5pt] \end{array}$
$A= \dotsc$
Hierbei gilt die Gleichung $\sin \dfrac{\gamma}{2}=\sqrt{\dfrac{1- \cos \gamma}{2}}$ und $\cos \dfrac{\gamma}{2}=\sqrt{\dfrac{1+ \cos \gamma}{2}}$. damit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& a^2 \cdot \sqrt{\dfrac{1- \cos \gamma}{2}} \cdot \sqrt{\dfrac{1+ \cos \gamma}{2}} \\[5pt] &=& a^2 \cdot \sqrt{\dfrac{(1- \cos \gamma) \cdot (1+\cos \gamma )}{4}} \\[5pt] &=& a^2 \cdot \sqrt{\dfrac{1- \cos^2 \gamma}{4}} \\[5pt] &=& a^2 \cdot \sqrt{\dfrac{\sin^2 \gamma}{4}} \\[5pt] &=& a^2 \cdot \dfrac{\sin \gamma}{2} \\[5pt]
$A= \dotsc$
\end{array}$
Somit hast du gezeigt, dass der Flächeninhalt in Abhängigkeit der Seite $c$ und dem Winkel $\gamma$ durch $A=a^2 \cdot \dfrac{\sin \gamma}{2} $ gegeben ist.
b)
Du sollst mit der oben bestimmten Formel den Flächeninhalt für $b=4 \text{ cm}$ und $\alpha=30^°$ berechnen. Du hast hierfür gegeben, dass das Dreieck $ABC$ gleichschenklig ist und die Grundseite der Seite $c$ entspricht. Somit weißt du, dass $a=4 \text{ cm}$ und $\beta=40^°$ beträgt, da die Seiten und Winkel im gleichschnekligen Dreieck gleich groß sein müssen.
Somit kannst du den Winkel $\gamma$ bestimmen, den du zur Berechnung des Flächeninhalts nach der oben bestimmten Formel benötigst. Hierbei gilt, dass die Winkelsumme im Dreieck $180^°$ beträgt. Somit gilt folgende Gleichung:
$\alpha + \beta + \gamma=180^°$
$\alpha + \beta + \gamma=180^°$
Damit kannst du den gesuchten Winkel $\gamma$ wie folgt bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \alpha + \beta + \gamma &=& 180^° \\[5pt] 2 \cdot \alpha + \gamma &=& 180^° & \quad \scriptsize \mid \, -2 \cdot \alpha \\[5pt] \gamma &=& 180^° - 2 \cdot \alpha \\[5pt] &=& 180^° - 2 \cdot 40^° \\[5pt] &=& 100^° \\[5pt] \end{array}$
$ \gamma= 100^° $
Damit kannst du den Flächeninhalt folgendermaßen bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& a^2 \cdot \dfrac{\sin \gamma}{2} \\[5pt] &=& (4 \text{ cm})^2 \cdot \dfrac{\sin 100^°}{2} \\[5pt] &=& 16 \text{ cm}^2 \cdot \dfrac{\sin 100^°}{2} \\[5pt] &\approx& 7,88 \text{ cm}^2\\[5pt] \end{array}$
$ A \approx 7,88 \text{ cm}^2$
Somit beträgt der Flächeninhalt etwa $7,88 \text{ cm}^2$.
#winkel#kosinus#sinus

Aufgabe 3

a)
Du sollst für $\phi=30^°$ und $\phi=60^°$ die Dreiecke $OAB_1$ und $OAB_2$ zeichnen. Dazu sollst du die Koordinaten der Punkte $B_1$ und $B_2$ berechnen. Der Ortsvektor der Punkte ist durch $\overrightarrow{OA}=\pmatrix{1\\-2}$ und $\overrightarrow{OB_n}=\pmatrix{6 \cdot \sin^2\phi\\3 \cdot \cos^2\phi}$ gegeben. Somit kannst du die Koordinaten der Punkte $B_1$ und $B_2$ mit dem gegebenen Winkel und dem Ortsvektor berechnen.
Für $\phi=30^°$ gilt für den Ortsvektor $\overrightarrow{OB_1}$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OB_1}&=& \pmatrix{6 \cdot \sin^2 \phi\\3 \cdot \cos^2 \phi} \\[5pt] &=&\pmatrix{6 \cdot \sin^2 30^°\\3 \cdot \cos^2 30^°}\\[5pt] &=& \pmatrix{ \dfrac{3}{2}\\\dfrac{9}{4}} \\[5pt] \end{array}$
$\overrightarrow{OB_1}=\pmatrix{ \dfrac{3}{2}\\\dfrac{9}{4}} $
Somit besitzt der Punkt $B_1$ die Koordinaten $\left(\dfrac{3}{2}\, \Bigg| \, \dfrac{9}{4}\right)$
Für $\phi=60^°$ folgt entsprechend für den Ortsvektor $\overrightarrow{OB_2}$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OB_2}&=& \pmatrix{6 \cdot \sin^2\phi\\3 \cdot \cos^2\phi} \\[5pt] &=&\pmatrix{6 \cdot \sin^2 60^°\\3 \cdot \cos^2 60^°}\\[5pt] &=& \pmatrix{ \dfrac{9}{4}\\\dfrac{3}{4}} \\[5pt] \end{array}$
$\overrightarrow{OB_2} =\pmatrix{ \dfrac{9}{4}\\\dfrac{3}{4}} $
Damit gilt $B_2\left(\dfrac{9}{4}\, \Biggl| \,\dfrac{3}{4}\right)$. Du kannst somit die Punkte $B_1$, $B_2$ und $A$ in ein Koordinatensystem eintragen und dadurch die Dreiecke zeichnen. Somit folgt folgende Darstellung:
Funktionale Abhängigkeit: In der Ebene
Abb. 4: Dreiecke
Funktionale Abhängigkeit: In der Ebene
Abb. 4: Dreiecke
b)
Du sollst den Wert für $\phi$ angeben, für den das Dreieck am Ursprung einen rechten Winkel besitzt. Du hast hierbei die Ortsvektoren mit $\overrightarrow{OA}=\pmatrix{1\\-2}$ und $\overrightarrow{OB_n}=\pmatrix{6 \cdot \sin^2\phi\\3 \cdot \cos^2\phi}$ gegeben. Du weißt, dass zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, falls das Skalarprodukt der beiden Vektoren Null wird.
Somit musst du den Winkel $\phi$ bestimmen für den $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB_n}=0$ gilt. Damit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB_n} &=& 0 \\[5pt] \pmatrix{1\\-2} \cdot \pmatrix{6 \cdot \sin^2\phi\\3 \cdot \cos^2\phi} &=& 0 \\[5pt] 6 \cdot \sin^2\phi - 6 \cdot \cos^2\phi &=& 0 & \quad \scriptsize \mid \, :6 \\[5pt] \sin^2\phi - \cos^2\phi &=& 0 & \quad \scriptsize \mid \, +\cos^2\phi \\[5pt] \sin^2\phi &=& \cos^2\phi & \quad \scriptsize \mid \, \sqrt{\,} \\[5pt] \sin \phi &=& \cos \phi \\[5pt] \end{array}$
$\sin \phi = \cos \phi $
Hierbei gilt, dass $\sin \alpha = \cos (90^° - \alpha)$. Damit folgt, dass $\phi=45^°$ gelten muss. Somit hast du gezeigt, dass das Dreieck $OAB_n$ für $\phi=45^°$ am Ursprung einen rechten Winkel besitzt.
#skalarprodukt

Aufgabe 4

a)
Du sollst die Länge der Diagonalen $e$ in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ und der Länge der Seite $b$ berechnen. Hierfür hast du gegeben, dass das Parallelogramm den Winkel $\alpha$ im Punkt $A$ besitzt und dieser kleiner gleich $90^°$ ist. Außerdem hast du gegeben, dass die Seite $a$ doppelt so lange, als die Seite $b$ ist. Somit gilt entsprechend $a=2 \cdot b$.
Hierbei weißt du, dass das Parallelogramm nach rechts gekippt ist, da der Winkel $\alpha$ zwischen $0^°$ und $90^°$ liegt. Somit ist die längere der beiden Diagonalen die Diagonale, welche vom Punkt $A$ zum Punkt $C$ verläuft.
Funktionale Abhängigkeit: In der Ebene
Abb. 5: Parallelogramm
Funktionale Abhängigkeit: In der Ebene
Abb. 5: Parallelogramm
Somit kannst du die Länge der Diagonalen mit dem Satz des Pythagoras aus den Seiten $a+k$ und der eingezeichneten Höhe $h$ berechnen. Du sollst hierbei die Länge der Diagonalen $e$ in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ und der Länge der Seite $b$ bestimmen. Du weißt bereits, dass $a=2\cdot b$ gilt. Somit musst du noch die Länge der Seite $k$ und die Höhe $h$ in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ und der Länge der Seite $b$ angeben.
Mit dem Sinus folgt entsprechend für die Höhe $h$:
$\begin{array}[t]{rll} \sin \alpha &=& \dfrac{h}{b} & \quad \scriptsize \mid \, \cdot b \\[5pt] b \cdot \sin \alpha&=& h\\[5pt] \end{array}$
$h=b \cdot \sin \alpha$
Entsprechend folgt mit dem Kosinus für die Länge der Seite $k$:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha &=& \dfrac{k}{b} & \quad \scriptsize \mid \, \cdot b \\[5pt] b \cdot \cos \alpha&=& k\\[5pt] \end{array}$
$k=b \cdot \cos \alpha$
Daraus folgt für die Länge der Diagonale $e$ mit dem Satz des Pythagoras und $a=2b$, $k=b \cdot \cos \alpha$ und $h=b \cdot \sin \alpha$:
$\begin{array}[t]{rll} e^2&=& (a+k)^2 + h^2 & \quad \scriptsize \mid \, \sqrt{\,} \\[5pt] e&=& \sqrt{(2b +b \cdot \cos \alpha)^2 + (b \cdot \sin \alpha)^2}\\[5pt] &=& \sqrt{b^2 \cdot (2 + \cos \alpha)^2 + b^2 \cdot (\sin \alpha)^2}\\[5pt] &=& \sqrt{b^2 \cdot 4 + 4 \cdot \cos \alpha + (\cos \alpha)^2 + b^2 \cdot (\sin \alpha)^2}\\[5pt] &=& b \cdot \sqrt{4 + 4 \cdot \cos \alpha + (\cos \alpha)^2 + (\sin \alpha)^2}\\[5pt] \end{array}$
$e= \dotsc$
Hierbei weißt du, dass $(\sin \alpha)^2 + (\cos \alpha)^2=1$ gilt. Entsprechend folgt:
$\begin{array}[t]{rll} e&=& b \cdot \sqrt{4 + 4 \cdot \cos \alpha + (\cos \alpha)^2 + (\sin \alpha)^2}\\[5pt] &=& b \cdot \sqrt{4 + 4 \cdot \cos \alpha + 1}\\[5pt] &=& b \cdot \sqrt{5 + 4 \cdot \cos \alpha} \\[5pt] \end{array}$
$e= \dotsc$
Dadurch hast du gezeigt, dass für die Länge der Diagonale $e$ in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ und der Länge der Seite $b$ $e=b \cdot \sqrt{5 + 4 \cdot \cos \alpha}$ gilt.
b)
Du sollst den Graphen der Länge der Diagonalen in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ zeichnen. Hierbei hast du gegeben, dass $a=20 \text{ cm}$ gilt. Du sollst hierfür eine Tabelle erstellen, worin du die Länge der Diagonale $e$ in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ angibst. Du sollst die Länge der Diagonale für $\alpha$ gleich $15^°$, $30^°$, $45^°$, $60^°$ und $75^°$ berechnen.
Setze dazu die Werte für $\alpha$ in die bereits bestimmte Formel für die Länge der Diagonalen ein. Hierfür benötigst du noch die Länge der Seite $b$. Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass $a=2 \cdot b$ gilt, wobei $a=20 \text{ cm}$ gegeben ist. Somit folgt für die Länge der Seite $b$:
$\begin{array}[t]{rll} a&=& 2 \cdot b & \quad \scriptsize \mid \, :2\\[5pt] \dfrac{a}{2}&=& b \\[5pt] \dfrac{20 \text{ cm}}{2}&=& b \\[5pt] b&=& 10 \text{ cm} \\[5pt] \end{array}$
$ b=10 \text{ cm}$
Mit $b=10 \text{ cm}$ und den gegebenen Werten für $\alpha$ kannst du die Längen der Diagonale $e$ mit der bereits bestimmten Formel $e=b \cdot \sqrt{5 + 4 \cdot \cos \alpha}$ durch den Winkel $\alpha$ bestimmen. Entsprechend folgt für die Tabelle:
$\alpha$$ 15^°$$ 30^°$$45^°$$60^°$$ 75^°$$ 90^°$
Länge von $e$ in $\text{cm}$$29,77 $$29,09$$27,98$$26,46$$24,57$$22,36$
$\alpha$Länge von $e$ in $\text{cm}$
$15^° $$ 29,77$
$ 30^°$$29,09$
$45^° $$27,98$
$ 60^°$$ 26,46$
$75^° $$24,57$
$90^° $$22,36$
Trage die gegebenen Werte in ein passendes Koordinatensystem ein und verbinde die Werte zu einem Graphen. Daraus ergibt sich folgender Graph:
Funktionale Abhängigkeit: In der Ebene
Abb. 6: Graph
Funktionale Abhängigkeit: In der Ebene
Abb. 6: Graph
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